cosx比sinx+cosx 0到二分之π的定积分 需要过程 参考答案四分之π 定积分∫1/(sinx+cosx)dx,(区间0到π/2 )...

0\u5230\u4e8c\u5206\u4e4b\u03c0 sinx\u548ccosx\u4e0d\u662f\u9762\u79ef\u76f8\u540c\u5417\uff1f\u4e3a\u4ec0\u4e48\u5206\u62100\u5230\u56db\u5206\u4e4b\u03c0\u548c\u56db\u5206\u4e4b\u03c0\u5230\u4e8c\u5206\u4e4b\u03c0\uff1f

\u9898\u76ee\u4e0d\u662f\u6709\u7edd\u5bf9\u503c\u561b\uff0c\u7136\u540e\u53bb\u7edd\u5bf9\u503c\uff0c\u96f6\u5230\u56db\u5206\u4e4b\u03c0cosx\u5927\u4e8esinx\uff0c\u56db\u5206\u4e4b\u03c0\u5230\u4e8c\u5206\u4e4b\u03c0sinx\u5927\u4e8ecosx\uff0c\u6240\u4ee5\u5c31\u5206\u6210\u4e24\u90e8\u5206\u8ba1\u7b97

\u7b54\u6848\u662f\u68392*\uff08lntan3pi/8-lntanpi/8)\u3002
\u89e3\u6790\u8fc7\u7a0b\u5982\u4e0b\uff1a
S1/(sinx+cosx)dx\u79ef\u5206\u533a\u95f40\u52301/2\u03c0
=\u68392*Ssec(x-pi/4)d(x-pi/4)
=\u68392*ln|tan(x/2+pi/8)\u79ef\u5206\u533a\u95f40\u52301/2\u03c0
=\u68392*\uff08lntan3pi/8-lntanpi/8)
\u6269\u5c55\u8d44\u6599
\u88ab\u79ef\u51fd\u6570\u4e2d\u542b\u6709\u4e09\u89d2\u51fd\u6570\u7684\u79ef\u5206\u516c\u5f0f\u6709\uff1a




\u5bf9\u4e8e\u5b9a\u79ef\u5206\uff0c\u8bbef(x)\u5728\u533a\u95f4[a,b]\u4e0a\u8fde\u7eed\uff0c\u5219f(x)\u5728[a,b]\u4e0a\u53ef\u79ef\u3002\u8bbef(x)\u533a\u95f4[a,b]\u4e0a\u6709\u754c\uff0c\u4e14\u53ea\u6709\u6709\u9650\u4e2a\u95f4\u65ad\u70b9\uff0c\u5219f(x)\u5728[a,b]\u4e0a\u53ef\u79ef\u3002\u8bbef(x)\u5728\u533a\u95f4[a,b]\u4e0a\u5355\u8c03\uff0c\u5219f(x)\u5728[a,b]\u4e0a\u53ef\u79ef\u3002
\u4e00\u4e2a\u5b9a\u79ef\u5206\u5f0f\u7684\u503c\uff0c\u5c31\u662f\u539f\u51fd\u6570\u5728\u4e0a\u9650\u7684\u503c\u4e0e\u539f\u51fd\u6570\u5728\u4e0b\u9650\u7684\u503c\u7684\u5dee\u3002
\u79ef\u5206\u90fd\u6ee1\u8db3\u4e00\u4e9b\u57fa\u672c\u7684\u6027\u8d28\u3002\u5728\u9ece\u66fc\u79ef\u5206\u610f\u4e49\u4e0a\u8868\u793a\u4e00\u4e2a\u533a\u95f4\uff0c\u5728\u52d2\u8d1d\u683c\u79ef\u5206\u610f\u4e49\u4e0b\u8868\u793a\u4e00\u4e2a\u53ef\u6d4b\u96c6\u5408\u3002
\u53c2\u8003\u8d44\u6599\u6765\u6e90\uff1a\u767e\u5ea6\u767e\u79d1-\u5b9a\u79ef\u5206

方法一
令cosx=a(sinx+cosx)+b(sinx+cosx)'
=a(sinx+cosx)+b(cosx-sinx)
=(a+b)cosx+(a-b)sinx,
得a+b=1,a-b=0,a=b=1/2,
于是Jcosx/(sinx+cosx)dx
=(1/2)J[(sinx+cosx)+(sinx+cosx)']/(sinx+cosx)dx
=(1/2)Jdx+(1/2)J1/(sinx+cosx)d(sinx+cosx)

=(1/2)[x+ln|sinx+cosx|]+c

于是易得原定积分=pi/4，pi=3.141592...,J表示积分符号。

方法二
∫(0,pi/2)cosx/(sinx+cosx)dx
令x=pi/2-t,则pi=<t<=0,dx=-dt
∫(0,pi/2)cosx/(sinx+cosx)dx
=-∫(pi/2,0)sinx/(sinx+cosx)dx
=∫(0,pi/2)sinx/(sinx+cosx)dx
所以
∫(0,pi/2)cosx/(sinx+cosx)dx=∫(0,pi/2)sinx/(sinx+cosx)dx
=(1/2)[∫(0,pi/2)cosx/(sinx+cosx)dx+∫(0,pi/2)sinx/(sinx+cosx)dx]
=(1/2)∫(0,pi/2)(sinx+cosx)/(sinx+cosx)dx
=(1/2)∫(0,pi/2)dx=pi/4

扩展阅读：asinx-bcosx ... sinx 2+cosx 2 ... sin x+y ... secx 2 ... limx 0lnx ... 1-cosx sinx ... sin x ... tanx-sinx ... sinx- 3cosx ...