S1+S2+S3+……+S2008=? Sn=1/2×【(1-n/n)+(n/n+1)】 S1=4/1,S2=7/12,S3=17/24,S4=31/40
\u6570\u5b66\u9ad8\u624b \u8bf7\u4e3e\u624b\u4e4b\u52b3 \u6570\u5b66\u9898:\u8bbeS1=1+1/1^2+1/2^2,S2=1+1/2^2+1/3^2,S3=1+1/3^2+1/4^2......Sn=1+1/n^2\u56e0\u4e3aSn=1+1/n^2+1/(n+1)^2=(n^4+2n^3+3n^2+2n+1)/(n^2*(n+1)^2)=(n*(n+1)+1)^2/(n^2*(n+1)^2)
\u6240\u4ee5\u221aSn=\u221a(n*(n+1)+1)^2/(n^2*(n+1)^2)=[n(n+1)+1]/[n(n+1)]
\u6240\u4ee5S=3/2+7/6+13/12+...+[n(n+1)+1]/[n(n+1)]=(1+1/2)+(1+1/6)+...+(1+1/(n(n+1)))=n+[1/2+1/6+...+1/(n(n+1))]=n+[(1-1/2)+(1/2-1/3)+...+(1/n-1/(n+1))]=n+1-1/(n+1)
1/Sn=n/(n+1)-(n-1)/n=1/(n(n+1))
1/Sn-1=(n-1)/n-(n-2)/(n-1)=1/(n(n-1))
Sn=n(n+1) Sn-1=n(n-1)
an=Sn-Sn-1=2n
1/a1=1/S1=1/(1+1) a1=2 a1\u4e5f\u7b26\u5408
\u6240\u4ee5\u901a\u9879\u516c\u5f0f\u4e3a an=2n
b1=1/4 bn/bn-1=(1/2)^2n/(1/2)^(2n-2)=1/4
\u6240\u4ee5bn\u4e3a\u9996\u9879\u4e3a1/4\uff0c\u516c\u6bd4\u4e3a1/4\u7684\u7b49\u6bd4\u6570\u5217
Tn=1/4*(1-(1/4)^n)/(1-1/4)=1/3*(1-(1/4)^n)
n=1\u6709\u6700\u5c0f\u503c1/4 n\u4e3a\u6b63\u65e0\u7a77\u65f6\uff0cTn\u6700\u591a\u4e3a1/3\uff0c\u6240\u4ee5Tn<1/3
\u7efc\u4e0a 1/m=1/3
\u7b2c\u4e00\u4e2a m4 \u7b2c\u4e8c\u4e2a m=5
\u53d6\u4ea4\u96c6 m=5
于是s1^2+s2^2+s3^2+…+sn^2<1/4+1/16+(1/4-1/6)/2+……+[1/(2n-2)-1/2n]/2=1/4+1/16+1/8-1/4n=7/16-1/4n<7/16
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