一元三次共轭复根求解公式
高等数学并没有说三次方程没有求根公式。事实上，3次和4次方程都有求根公式，5次及以上的高次方程才没有一般的解析公式。3次方程求根公式是著名的卡尔丹公式
方程x^3+px+q=0的三个根为
x1=[-q/2+(q^2/4+p^3/27)^(1/2)]^(1/3)+
+[-q/2-(q^2/4+p^3/27)^(1/2)]^(1/3)
x2=w[-q/2+(q^2/4+p^3/27)^(1/2)]^(1/3)+
+w^2[-q/2-(q^2/4+p^3/27)^(1/2)]^(1/3)
x2=w^2[-q/2+(q^2/4+p^3/27)^(1/2)]^(1/3)+
+w[-q/2-(q^2/4+p^3/27)^(1/2)]^(1/3)
其中w=(-1+√3i)/2.
推导过程：
1、方程x^3=1的解为x1=1,x2=-1/2+i√3/2=ω,x3=-1/2-i√3/2=ω^2
2、方程x^3=A的解为x1=A（1/3）,x2=A^(1/3)*ω,x3=
A^(1/3)*ω^2
3、一般三次方程ax^3+bx^2+cx+d=0(a≠0),两边同时除以a,可变成x^3+ax^2+bx+c=0的形式。再令x=y-a/3,代入可消去次高项，变成x^3+px+q=0的形式。
设x=u+v是方程x^3+px+q=0的解，代入整理得：
(u+v)(3uv+p)+u^3+v^3+q=0
①
如果u和v满足uv=-p/3,u^3+v^3=-q则①成立，由一元二次方程韦达定理u^3和V^3是方程
y^2+qy-p^3/27=0的两个根。
解之得，y=-q/2±(q^2/4+p^3/27)^(1/2)
不妨设A=-q/2-(q^2/4+p^3/27)^(1/2),B=-q/2+(q^2/4+p^3/27)^(1/2)
则u^3=A,v^3=B
u=
A（1/3）或者A^(1/3)*ω或者A^(1/3)*ω^2
v=
B（1/3）或者B^(1/3)*ω或者B^(1/3)*ω^2
但是考虑到uv=-p/3，所以u、v只有三组解：
u1=
A（1/3）,v1=
B（1/3）
u2=A^(1/3)*ω,v2=B^(1/3)*ω^2
u3=A^(1/3)*ω^2,v3=B^(1/3)*ω
那么方程x^3+px+q=0的三个根也出来了，即
x1=u1+v1=
A（1/3）+B（1/3）
x2=
A^(1/3)*ω+B^(1/3)*ω^2
x3=
A^(1/3)*ω^2+B^(1/3)*ω
这正是著名的卡尔丹公式。你直接套用就可以求解了。
△=q^2/4+p^3/27为三次方程的判别式。
当△>=0时，有一个实根和两个共轭复根；
当△<0时，有三个实根。
根与系数关系是：设ax^3+bx^2+cx+d=0(a≠0）的三根为x1,x2,x3,
则x1+x2+x3=-b/a,x1x2+x2x3+x1x3=c/a,x1x2x3=-d/a.
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