如何推导出一元四次方程的求根公式? 如何解一元四次方程 一元五次方程求根公式
\u4e00\u5143\u56db\u6b21\u65b9\u7a0b\u7684\u516c\u5f0f\u662f\u4ec0\u4e48\uff1f\u600e\u4e48\u63a8\u5bfc\u7684\uff1f\u9ad8\u4e8e\u56db\u6b21\u4e0d\u662f\u6ca1\u6709\u516c\u5f0f\uff0c\u662f\u6ca1\u6709\u7528\u6839\u5f0f\u8868\u793a\u7684\u516c\u5f0f\uff0c\u4f46\u5982\u4e94\u6b21\u65b9\u7a0b\u5c31\u53ef\u4ee5\u7528\u692d\u5706\u51fd\u6570\u6216\u4e09\u89d2\u51fd\u6570\u89e3\u51fa\u51c6\u786e\u503c\u3002\u4e00\u5143\u4e09\u6b21\u65b9\u7a0b\u7684\u6c42\u6839\u516c\u5f0f\u7528\u901a\u5e38\u7684\u6f14\u7ece\u601d\u7ef4\u662f\u4f5c\u4e0d\u51fa\u6765\u7684\uff0c\u7528\u7c7b\u4f3c\u89e3\u4e00\u5143\u4e8c\u6b21\u65b9\u7a0b\u7684\u6c42\u6839\u516c\u5f0f\u7684\u914d\u65b9\u6cd5\u53ea\u80fd\u5c06\u578b\u5982ax^3+bx^2+cx+d+0\u7684\u6807\u51c6\u578b\u4e00\u5143\u4e09\u6b21\u65b9\u7a0b\u5f62\u5f0f\u5316\u4e3ax^3+px+q=0\u7684\u7279\u6b8a\u578b\u3002 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x^3+px+q=0\u7684\u4e00\u5143\u4e09\u6b21\u65b9\u7a0b\u7684\u6c42\u6839\u516c\u5f0f\u7684\u5f62\u5f0f\u5e94\u8be5\u4e3ax=A^(1/3)+B^(1/3)\u578b\uff0c\u5373\u4e3a\u4e24\u4e2a\u5f00\u7acb\u65b9\u4e4b\u548c\u3002\u5f52\u7eb3\u51fa\u4e86\u4e00\u5143\u4e09\u6b21\u65b9\u7a0b\u6c42\u6839\u516c\u5f0f\u7684\u5f62\u5f0f\uff0c\u4e0b\u4e00\u6b65\u7684\u5de5\u4f5c\u5c31\u662f\u6c42\u51fa\u5f00\u7acb\u65b9\u91cc\u9762\u7684\u5185\u5bb9\uff0c\u4e5f\u5c31\u662f\u7528p\u548cq\u8868\u793aA\u548cB\u3002\u65b9\u6cd5\u5982\u4e0b\uff1a \uff081\uff09\u5c06x=A^(1/3)+B^(1/3)\u4e24\u8fb9\u540c\u65f6\u7acb\u65b9\u53ef\u4ee5\u5f97\u5230 \uff082\uff09x^3=(A+B)+3(AB)^(1/3)(A^(1/3)+B^(1/3)) \uff083\uff09\u7531\u4e8ex=A^(1/3)+B^(1/3)\uff0c\u6240\u4ee5\uff082\uff09\u53ef\u5316\u4e3a x^3=(A+B)+3(AB)^(1/3)x\uff0c\u79fb\u9879\u53ef\u5f97 \uff084\uff09x^3\uff0d3(AB)^(1/3)x\uff0d(A+B)\uff1d0\uff0c\u548c\u4e00\u5143\u4e09\u6b21\u65b9\u7a0b\u548c\u7279\u6b8a\u578bx^3+px+q=0\u4f5c\u6bd4\u8f83\uff0c\u53ef\u77e5 \uff085\uff09\uff0d3(AB\uff09^\uff081/3\uff09\uff1dp,\uff0d(A+B)=q\uff0c\u5316\u7b80\u5f97 \uff086\uff09A+B\uff1d\uff0dq\uff0cAB\uff1d-\uff08p/3\uff09^3 \uff087\uff09\u8fd9\u6837\u5176\u5b9e\u5c31\u5c06\u4e00\u5143\u4e09\u6b21\u65b9\u7a0b\u7684\u6c42\u6839\u516c\u5f0f\u5316\u4e3a\u4e86\u4e00\u5143\u4e8c\u6b21\u65b9\u7a0b\u7684\u6c42\u6839\u516c\u5f0f\u95ee\u9898\uff0c\u56e0\u4e3aA\u548cB\u53ef\u4ee5\u770b\u4f5c\u662f\u4e00\u5143\u4e8c\u6b21\u65b9\u7a0b\u7684\u4e24\u4e2a\u6839\uff0c\u800c(6)\u5219\u662f\u5173\u4e8e\u5f62\u5982ay^2+by+c=0\u7684\u4e00\u5143\u4e8c\u6b21\u65b9\u7a0b\u4e24\u4e2a\u6839\u7684\u97e6\u8fbe\u5b9a\u7406\uff0c\u5373 \uff088\uff09y1\uff0by2\uff1d\uff0d\uff08b/a\uff09,y1*y2=c/a (9)\u5bf9\u6bd4\uff086\uff09\u548c\uff088\uff09\uff0c\u53ef\u4ee4A\uff1dy1\uff0cB\uff1dy2\uff0cq\uff1db/a\uff0c-\uff08p/3\uff09^3\uff1dc/a (10)\u7531\u4e8e\u578b\u4e3aay^2+by+c=0\u7684\u4e00\u5143\u4e8c\u6b21\u65b9\u7a0b\u6c42\u6839\u516c\u5f0f\u4e3a 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\uff081\uff09\u5c06x=A^(1/3)+B^(1/3)\u4e24\u8fb9\u540c\u65f6\u7acb\u65b9\u53ef\u4ee5\u5f97\u5230
\uff082\uff09x^3=(A+B)+3(AB)^(1/3)(A^(1/3)+B^(1/3))
\uff083\uff09\u7531\u4e8ex=A^(1/3)+B^(1/3),\u6240\u4ee5\uff082\uff09\u53ef\u5316\u4e3a
x^3=(A+B)+3(AB)^(1/3)x,\u79fb\u9879\u53ef\u5f97
\uff084\uff09x^3\uff0d3(AB)^(1/3)x\uff0d(A+B)\uff1d0,\u548c\u4e00\u5143\u4e09\u6b21\u65b9\u7a0b\u548c\u7279\u6b8a\u578bx^3+px+q=0\u4f5c\u6bd4\u8f83,\u53ef\u77e5
\uff085\uff09\uff0d3(AB\uff09^\uff081/3\uff09\uff1dp,\uff0d(A+B)=q,\u5316\u7b80\u5f97
\uff086\uff09A+B\uff1d\uff0dq,AB\uff1d-\uff08p/3\uff09^3
\uff087\uff09\u8fd9\u6837\u5176\u5b9e\u5c31\u5c06\u4e00\u5143\u4e09\u6b21\u65b9\u7a0b\u7684\u6c42\u6839\u516c\u5f0f\u5316\u4e3a\u4e86\u4e00\u5143\u4e8c\u6b21\u65b9\u7a0b\u7684\u6c42\u6839\u516c\u5f0f\u95ee\u9898,\u56e0\u4e3aA\u548cB\u53ef\u4ee5\u770b\u4f5c\u662f\u4e00\u5143\u4e8c\u6b21\u65b9\u7a0b\u7684\u4e24\u4e2a\u6839,\u800c(6)\u5219\u662f\u5173\u4e8e\u5f62\u5982ay^2+by+c=0\u7684\u4e00\u5143\u4e8c\u6b21\u65b9\u7a0b\u4e24\u4e2a\u6839\u7684\u97e6\u8fbe\u5b9a\u7406,\u5373
\uff088\uff09y1\uff0by2\uff1d\uff0d\uff08b/a\uff09,y1*y2=c/a
(9)\u5bf9\u6bd4\uff086\uff09\u548c\uff088\uff09,\u53ef\u4ee4A\uff1dy1,B\uff1dy2,q\uff1db/a,-\uff08p/3\uff09^3\uff1dc/a
(10)\u7531\u4e8e\u578b\u4e3aay^2+by+c=0\u7684\u4e00\u5143\u4e8c\u6b21\u65b9\u7a0b\u6c42\u6839\u516c\u5f0f\u4e3a
y1\uff1d\uff0d\uff08b\uff0b\uff08b^2\uff0d4ac\uff09^(1/2)\uff09/(2a)
y2\uff1d\uff0d\uff08b\uff0d\uff08b^2\uff0d4ac\uff09^(1/2)\uff09/(2a)
\u53ef\u5316\u4e3a
(11)y1\uff1d\uff0d(b/2a)-((b/2a)^2-(c/a))^(1/2)
y2\uff1d\uff0d(b/2a)+((b/2a)^2-(c/a))^(1/2)
\u5c06(9)\u4e2d\u7684A\uff1dy1,B\uff1dy2,q\uff1db/a,-\uff08p/3\uff09^3\uff1dc/a\u4ee3\u5165\uff0811\uff09\u53ef\u5f97
(12)A\uff1d\uff0d(q/2)-((q/2)^2\uff0b\uff08p/3\uff09^3\uff09^(1/2)
B\uff1d\uff0d(q/2)+((q/2)^2\uff0b\uff08p/3\uff09^3\uff09^(1/2)
(13)\u5c06A,B\u4ee3\u5165x=A^(1/3)+B^(1/3)\u5f97
(14)x=\uff08\uff0d(q/2)-((q/2)^2\uff0b\uff08p/3\uff09^3\uff09^(1/2)\uff09^(1/3)+\uff08\uff0d(q/2)+((q/2)^2\uff0b\uff08p/3\uff09^3\uff09^(1/2)\uff09^(1/3)
\u5f0f (14)\u53ea\u662f\u4e00\u5143\u4e09\u65b9\u7a0b\u7684\u4e00\u4e2a\u5b9e\u6839\u89e3,\u6309\u97e6\u8fbe\u5b9a\u7406\u4e00\u5143\u4e09\u6b21\u65b9\u7a0b\u5e94\u8be5\u6709\u4e09\u4e2a\u6839,\u4e0d\u8fc7\u6309\u97e6\u8fbe\u5b9a\u7406\u4e00\u5143\u4e09\u6b21\u65b9\u7a0b\u53ea\u8981\u6c42\u51fa\u4e86\u5176\u4e2d\u4e00\u4e2a\u6839,\u53e6\u4e24\u4e2a\u6839\u5c31\u5bb9\u6613\u6c42\u51fa\u4e86.
x^y\u5c31\u662fx\u7684y\u6b21\u65b9
\u597d\u590d\u6742\u7684\u8bf4
\u5854\u5854\u5229\u4e9a\u53d1\u73b0\u7684\u4e00\u5143\u4e09\u6b21\u65b9\u7a0b\u7684\u89e3\u6cd5
\u4e00\u5143\u4e09\u6b21\u65b9\u7a0b\u7684\u4e00\u822c\u5f62\u5f0f\u662f
x3+sx2+tx+u=0
\u5982\u679c\u4f5c\u4e00\u4e2a\u6a2a\u5750\u6807\u5e73\u79fby=x+s/3,\u90a3\u4e48\u6211\u4eec\u5c31\u53ef\u4ee5\u628a\u65b9\u7a0b\u7684\u4e8c\u6b21\u9879\u6d88
\u53bb.\u6240\u4ee5\u6211\u4eec\u53ea\u8981\u8003\u8651\u5f62\u5982
x3=px+q
\u7684\u4e09\u6b21\u65b9\u7a0b.
\u5047\u8bbe\u65b9\u7a0b\u7684\u89e3x\u53ef\u4ee5\u5199\u6210x=a-b\u7684\u5f62\u5f0f,\u8fd9\u91cca\u548cb\u662f\u5f85\u5b9a\u7684\u53c2\u6570.
\u4ee3\u5165\u65b9\u7a0b,\u6211\u4eec\u5c31\u6709
a3-3a2b+3ab2-b3=p(a-b)+q
\u6574\u7406\u5f97\u5230
a3-b3 =(a-b)(p+3ab)+q
\u7531\u4e8c\u6b21\u65b9\u7a0b\u7406\u8bba\u53ef\u77e5,\u4e00\u5b9a\u53ef\u4ee5\u9002\u5f53\u9009\u53d6a\u548cb,\u4f7f\u5f97\u5728x=a-b\u7684\u540c\u65f6,
3ab+p=0.\u8fd9\u6837\u4e0a\u5f0f\u5c31\u6210\u4e3a
a3-b3=q
\u4e24\u8fb9\u5404\u4e58\u4ee527a3,\u5c31\u5f97\u5230
27a6-27a3b3=27qa3
\u7531p=-3ab\u53ef\u77e5
27a6 + p3 = 27qa3
\u8fd9\u662f\u4e00\u4e2a\u5173\u4e8ea3\u7684\u4e8c\u6b21\u65b9\u7a0b,\u6240\u4ee5\u53ef\u4ee5\u89e3\u5f97a.\u8fdb\u800c\u53ef\u89e3\u51fab\u548c\u6839x.
\u8d39\u62c9\u91cc\u53d1\u73b0\u7684\u4e00\u5143\u56db\u6b21\u65b9\u7a0b\u7684\u89e3\u6cd5
\u548c\u4e09\u6b21\u65b9\u7a0b\u4e2d\u7684\u505a\u6cd5\u4e00\u6837,\u53ef\u4ee5\u7528\u4e00\u4e2a\u5750\u6807\u5e73\u79fb\u6765\u6d88\u53bb\u56db\u6b21\u65b9\u7a0b
\u4e00\u822c\u5f62\u5f0f\u4e2d\u7684\u4e09\u6b21\u9879.\u6240\u4ee5\u53ea\u8981\u8003\u8651\u4e0b\u9762\u5f62\u5f0f\u7684\u4e00\u5143\u56db\u6b21\u65b9\u7a0b\uff1a
x4=px2+qx+r
\u5173\u952e\u5728\u4e8e\u8981\u5229\u7528\u53c2\u6570\u628a\u7b49\u5f0f\u7684\u4e24\u8fb9\u914d\u6210\u5b8c\u5168\u5e73\u65b9\u5f62\u5f0f.\u8003\u8651\u4e00\u4e2a\u53c2\u6570
a,\u6211\u4eec\u6709
(x2+a)2 = (p+2a)x2+qx+r+a2
\u7b49\u5f0f\u53f3\u8fb9\u662f\u5b8c\u5168\u5e73\u65b9\u5f0f\u5f53\u4e14\u4ec5\u5f53\u5b83\u7684\u5224\u522b\u5f0f\u4e3a0,\u5373
q2 = 4(p+2a)(r+a2)
\u8fd9\u662f\u4e00\u4e2a\u5173\u4e8ea\u7684\u4e09\u6b21\u65b9\u7a0b,\u5229\u7528\u4e0a\u9762\u4e00\u5143\u4e09\u6b21\u65b9\u7a0b\u7684\u89e3\u6cd5,\u6211\u4eec\u53ef\u4ee5
\u89e3\u51fa\u53c2\u6570a.\u8fd9\u6837\u539f\u65b9\u7a0b\u4e24\u8fb9\u90fd\u662f\u5b8c\u5168\u5e73\u65b9\u5f0f,\u5f00\u65b9\u540e\u5c31\u662f\u4e00\u4e2a\u5173\u4e8ex
\u7684\u4e00\u5143\u4e8c\u6b21\u65b9\u7a0b,\u4e8e\u662f\u5c31\u53ef\u4ee5\u89e3\u51fa\u539f\u65b9\u7a0b\u7684\u6839x
先将四次方程化为x^4+ax^3+bx^2+cx+d=0的形式。
令x=y-a/4,整理后得到y^4+py^2+qy+r=0 (1)
设y^4+py^2+qy+r=(y^2+ky+t)(y^2-ky+m)=y^4+(t+m-k^2)y^2+k(m-t)y+tm
比较dy对应项系数,得t+m-k^2=p,k(m-t)=q,tm=r
设k≠0,把t和m当作未知数,解前两个方程,得t=(k^3+pk-q)/(2k),m=(k^3+pk+q)/(2k)
再代入第三个方程,得((k^3+pk)^2-q^2)/(4k^2)=r 。
即k^6+2pk^4+(p^2-4r)k^2-q^2=0
解这个方程,设kο是它的任意一根,tο和mο是k=ko时t和m的值那么方程(1)就成为 (y^2+koy+to)(y^2-koy+mo)=0
解方程y^2+koy+to=0和y^2-koy+mo=0就可以得出方程(1)的四个根,各根加上-4/a就可以得出原方程的四个根。
费拉里法
方程两边同时除以最高次项的系数可得 x^4+bx^3+cx^2+dx+e=0 (1)
移项可得 x^4+bx^3=-cx^2-dx-e (2)
两边同时加上(1/2bx)^2 ,可将(2)式左边配成完全平方,
方程成为 (x^2+1/2bx)^2=(1/4b^2-c)x^2-dx-e (3)
在(3)式两边同时加上(x^2+1/2bx)y+1/4y^2
可得 [(x^2+1/2bx)+1/2y]^2= (1/4b^2-c+y)x^2+(1/2by-d)x+1/4y^2-e (4)
(4)式中的y是一个参数。当(4)式中的x为原方程的根时,不论y取什么值,(4)式都应成立。特别,如果所取的y值使(4)式右边关于x的二次三项式也能变成一个完全平方式,则对(4)对两边同时开方可以得到次数较低的方程。
为了使(4)式右边关于x的二次三项式也能变成一个完全平方式,只需使它的判别式变成0,即 (1/2by-d)^2-4(1/4b^2-c+y)(1/4y^2-e)=0 (5)
这是关于y的一元三次方程,可以通过塔塔利亚公式来求出y应取的实数值。
把由(5)式求出的y值代入(4)式后,(4)式的两边都成为完全平方,两边开方,可以得到两个关于x的一元二次方程。 解这两个一元二次方程,就可以得出原方程的四个根。
详情请见
http://baike.baidu.com/view/1054084.htm
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