如何推导出一元四次方程的求根公式？ 如何解一元四次方程 一元五次方程求根公式
\u4e00\u5143\u56db\u6b21\u65b9\u7a0b\u7684\u516c\u5f0f\u662f\u4ec0\u4e48\uff1f\u600e\u4e48\u63a8\u5bfc\u7684\uff1f\u9ad8\u4e8e\u56db\u6b21\u4e0d\u662f\u6ca1\u6709\u516c\u5f0f\uff0c\u662f\u6ca1\u6709\u7528\u6839\u5f0f\u8868\u793a\u7684\u516c\u5f0f\uff0c\u4f46\u5982\u4e94\u6b21\u65b9\u7a0b\u5c31\u53ef\u4ee5\u7528\u692d\u5706\u51fd\u6570\u6216\u4e09\u89d2\u51fd\u6570\u89e3\u51fa\u51c6\u786e\u503c\u3002\u4e00\u5143\u4e09\u6b21\u65b9\u7a0b\u7684\u6c42\u6839\u516c\u5f0f\u7528\u901a\u5e38\u7684\u6f14\u7ece\u601d\u7ef4\u662f\u4f5c\u4e0d\u51fa\u6765\u7684\uff0c\u7528\u7c7b\u4f3c\u89e3\u4e00\u5143\u4e8c\u6b21\u65b9\u7a0b\u7684\u6c42\u6839\u516c\u5f0f\u7684\u914d\u65b9\u6cd5\u53ea\u80fd\u5c06\u578b\u5982ax^3+bx^2+cx+d+0\u7684\u6807\u51c6\u578b\u4e00\u5143\u4e09\u6b21\u65b9\u7a0b\u5f62\u5f0f\u5316\u4e3ax^3+px+q=0\u7684\u7279\u6b8a\u578b\u3002 \u4e00\u5143\u4e09\u6b21\u65b9\u7a0b\u7684\u6c42\u89e3\u516c\u5f0f\u7684\u89e3\u6cd5\u53ea\u80fd\u7528\u5f52\u7eb3\u601d\u7ef4\u5f97\u5230\uff0c\u5373\u6839\u636e\u4e00\u5143\u4e00\u6b21\u65b9\u7a0b\u3001\u4e00\u5143\u4e8c\u6b21\u65b9\u7a0b\u53ca\u7279\u6b8a\u7684\u9ad8\u6b21\u65b9\u7a0b\u7684\u6c42\u6839\u516c\u5f0f\u7684\u5f62\u5f0f\u5f52\u7eb3\u51fa\u4e00\u5143\u4e09\u6b21\u65b9\u7a0b\u7684\u6c42\u6839\u516c\u5f0f\u7684\u5f62\u5f0f\u3002\u5f52\u7eb3\u51fa\u6765\u7684\u5f62\u5982 x^3+px+q=0\u7684\u4e00\u5143\u4e09\u6b21\u65b9\u7a0b\u7684\u6c42\u6839\u516c\u5f0f\u7684\u5f62\u5f0f\u5e94\u8be5\u4e3ax=A^(1/3)+B^(1/3)\u578b\uff0c\u5373\u4e3a\u4e24\u4e2a\u5f00\u7acb\u65b9\u4e4b\u548c\u3002\u5f52\u7eb3\u51fa\u4e86\u4e00\u5143\u4e09\u6b21\u65b9\u7a0b\u6c42\u6839\u516c\u5f0f\u7684\u5f62\u5f0f\uff0c\u4e0b\u4e00\u6b65\u7684\u5de5\u4f5c\u5c31\u662f\u6c42\u51fa\u5f00\u7acb\u65b9\u91cc\u9762\u7684\u5185\u5bb9\uff0c\u4e5f\u5c31\u662f\u7528p\u548cq\u8868\u793aA\u548cB\u3002\u65b9\u6cd5\u5982\u4e0b\uff1a \uff081\uff09\u5c06x=A^(1/3)+B^(1/3)\u4e24\u8fb9\u540c\u65f6\u7acb\u65b9\u53ef\u4ee5\u5f97\u5230 \uff082\uff09x^3=(A+B)+3(AB)^(1/3)(A^(1/3)+B^(1/3)) \uff083\uff09\u7531\u4e8ex=A^(1/3)+B^(1/3)\uff0c\u6240\u4ee5\uff082\uff09\u53ef\u5316\u4e3a x^3=(A+B)+3(AB)^(1/3)x\uff0c\u79fb\u9879\u53ef\u5f97 \uff084\uff09x^3\uff0d3(AB)^(1/3)x\uff0d(A+B)\uff1d0\uff0c\u548c\u4e00\u5143\u4e09\u6b21\u65b9\u7a0b\u548c\u7279\u6b8a\u578bx^3+px+q=0\u4f5c\u6bd4\u8f83\uff0c\u53ef\u77e5 \uff085\uff09\uff0d3(AB\uff09^\uff081/3\uff09\uff1dp,\uff0d(A+B)=q\uff0c\u5316\u7b80\u5f97 \uff086\uff09A+B\uff1d\uff0dq\uff0cAB\uff1d-\uff08p/3\uff09^3 \uff087\uff09\u8fd9\u6837\u5176\u5b9e\u5c31\u5c06\u4e00\u5143\u4e09\u6b21\u65b9\u7a0b\u7684\u6c42\u6839\u516c\u5f0f\u5316\u4e3a\u4e86\u4e00\u5143\u4e8c\u6b21\u65b9\u7a0b\u7684\u6c42\u6839\u516c\u5f0f\u95ee\u9898\uff0c\u56e0\u4e3aA\u548cB\u53ef\u4ee5\u770b\u4f5c\u662f\u4e00\u5143\u4e8c\u6b21\u65b9\u7a0b\u7684\u4e24\u4e2a\u6839\uff0c\u800c(6)\u5219\u662f\u5173\u4e8e\u5f62\u5982ay^2+by+c=0\u7684\u4e00\u5143\u4e8c\u6b21\u65b9\u7a0b\u4e24\u4e2a\u6839\u7684\u97e6\u8fbe\u5b9a\u7406\uff0c\u5373 \uff088\uff09y1\uff0by2\uff1d\uff0d\uff08b/a\uff09,y1*y2=c/a (9)\u5bf9\u6bd4\uff086\uff09\u548c\uff088\uff09\uff0c\u53ef\u4ee4A\uff1dy1\uff0cB\uff1dy2\uff0cq\uff1db/a\uff0c-\uff08p/3\uff09^3\uff1dc/a (10)\u7531\u4e8e\u578b\u4e3aay^2+by+c=0\u7684\u4e00\u5143\u4e8c\u6b21\u65b9\u7a0b\u6c42\u6839\u516c\u5f0f\u4e3a y1\uff1d\uff0d\uff08b\uff0b\uff08b^2\uff0d4ac\uff09^(1/2)\uff09/(2a) y2\uff1d\uff0d\uff08b\uff0d\uff08b^2\uff0d4ac\uff09^(1/2)\uff09/(2a) \u53ef\u5316\u4e3a (11)y1\uff1d\uff0d(b/2a)-((b/2a)^2-(c/a))^(1/2) y2\uff1d\uff0d(b/2a)+((b/2a)^2-(c/a))^(1/2) \u5c06(9)\u4e2d\u7684A\uff1dy1\uff0cB\uff1dy2\uff0cq\uff1db/a\uff0c-\uff08p/3\uff09^3\uff1dc/a\u4ee3\u5165\uff0811\uff09\u53ef\u5f97 (12)A\uff1d\uff0d(q/2)-((q/2)^2\uff0b\uff08p/3\uff09^3\uff09^(1/2) B\uff1d\uff0d(q/2)+((q/2)^2\uff0b\uff08p/3\uff09^3\uff09^(1/2) (13)\u5c06A\uff0cB\u4ee3\u5165x=A^(1/3)+B^(1/3)\u5f97 (14)x=\uff08\uff0d(q/2)-((q/2)^2\uff0b\uff08p/3\uff09^3\uff09^(1/2)\uff09^(1/3)+\uff08\uff0d(q/2)+((q/2)^2\uff0b\uff08p/3\uff09^3\uff09^(1/2)\uff09^(1/3) \u5f0f(14)\u53ea\u662f\u4e00\u5143\u4e09\u65b9\u7a0b\u7684\u4e00\u4e2a\u5b9e\u6839\u89e3\uff0c\u6309\u97e6\u8fbe\u5b9a\u7406\u4e00\u5143\u4e09\u6b21\u65b9\u7a0b\u5e94\u8be5\u6709\u4e09\u4e2a\u6839\uff0c\u4e0d\u8fc7\u6309\u97e6\u8fbe\u5b9a\u7406\u4e00\u5143\u4e09\u6b21\u65b9\u7a0b\u53ea\u8981\u6c42\u51fa\u4e86\u5176\u4e2d\u4e00\u4e2a\u6839\uff0c\u53e6\u4e24\u4e2a\u6839\u5c31\u5bb9\u6613\u6c42\u51fa\u4e86\u3002 x^y\u5c31\u662fx\u7684y\u6b21\u65b9 \u597d\u590d\u6742\u7684\u8bf4 \u5854\u5854\u5229\u4e9a\u53d1\u73b0\u7684\u4e00\u5143\u4e09\u6b21\u65b9\u7a0b\u7684\u89e3\u6cd5 \u4e00\u5143\u4e09\u6b21\u65b9\u7a0b\u7684\u4e00\u822c\u5f62\u5f0f\u662f x3+sx2+tx+u=0 \u5982\u679c\u4f5c\u4e00\u4e2a\u6a2a\u5750\u6807\u5e73\u79fby=x+s/3\uff0c\u90a3\u4e48\u6211\u4eec\u5c31\u53ef\u4ee5\u628a\u65b9\u7a0b\u7684\u4e8c\u6b21\u9879\u6d88 \u53bb\u3002\u6240\u4ee5\u6211\u4eec\u53ea\u8981\u8003\u8651\u5f62\u5982 x3=px+q \u7684\u4e09\u6b21\u65b9\u7a0b\u3002 \u5047\u8bbe\u65b9\u7a0b\u7684\u89e3x\u53ef\u4ee5\u5199\u6210x=a-b\u7684\u5f62\u5f0f\uff0c\u8fd9\u91cca\u548cb\u662f\u5f85\u5b9a\u7684\u53c2\u6570\u3002 \u4ee3\u5165\u65b9\u7a0b\uff0c\u6211\u4eec\u5c31\u6709 a3-3a2b+3ab2-b3=p(a-b)+q \u6574\u7406\u5f97\u5230 a3-b3 =(a-b)(p+3ab)+q \u7531\u4e8c\u6b21\u65b9\u7a0b\u7406\u8bba\u53ef\u77e5\uff0c\u4e00\u5b9a\u53ef\u4ee5\u9002\u5f53\u9009\u53d6a\u548cb\uff0c\u4f7f\u5f97\u5728x=a-b\u7684\u540c\u65f6\uff0c 3ab+p=0\u3002\u8fd9\u6837\u4e0a\u5f0f\u5c31\u6210\u4e3a a3-b3=q \u4e24\u8fb9\u5404\u4e58\u4ee527a3\uff0c\u5c31\u5f97\u5230 27a6-27a3b3=27qa3 \u7531p=-3ab\u53ef\u77e5 27a6 + p3 = 27qa3 \u8fd9\u662f\u4e00\u4e2a\u5173\u4e8ea3\u7684\u4e8c\u6b21\u65b9\u7a0b\uff0c\u6240\u4ee5\u53ef\u4ee5\u89e3\u5f97a\u3002\u8fdb\u800c\u53ef\u89e3\u51fab\u548c\u6839x\u3002 \u8d39\u62c9\u91cc\u53d1\u73b0\u7684\u4e00\u5143\u56db\u6b21\u65b9\u7a0b\u7684\u89e3\u6cd5 \u548c\u4e09\u6b21\u65b9\u7a0b\u4e2d\u7684\u505a\u6cd5\u4e00\u6837\uff0c\u53ef\u4ee5\u7528\u4e00\u4e2a\u5750\u6807\u5e73\u79fb\u6765\u6d88\u53bb\u56db\u6b21\u65b9\u7a0b \u4e00\u822c\u5f62\u5f0f\u4e2d\u7684\u4e09\u6b21\u9879\u3002\u6240\u4ee5\u53ea\u8981\u8003\u8651\u4e0b\u9762\u5f62\u5f0f\u7684\u4e00\u5143\u56db\u6b21\u65b9\u7a0b\uff1a x4=px2+qx+r \u5173\u952e\u5728\u4e8e\u8981\u5229\u7528\u53c2\u6570\u628a\u7b49\u5f0f\u7684\u4e24\u8fb9\u914d\u6210\u5b8c\u5168\u5e73\u65b9\u5f62\u5f0f\u3002\u8003\u8651\u4e00\u4e2a\u53c2\u6570 a\uff0c\u6211\u4eec\u6709 (x2+a)2 = (p+2a)x2+qx+r+a2 \u7b49\u5f0f\u53f3\u8fb9\u662f\u5b8c\u5168\u5e73\u65b9\u5f0f\u5f53\u4e14\u4ec5\u5f53\u5b83\u7684\u5224\u522b\u5f0f\u4e3a0\uff0c\u5373 q2 = 4(p+2a)(r+a2) \u8fd9\u662f\u4e00\u4e2a\u5173\u4e8ea\u7684\u4e09\u6b21\u65b9\u7a0b\uff0c\u5229\u7528\u4e0a\u9762\u4e00\u5143\u4e09\u6b21\u65b9\u7a0b\u7684\u89e3\u6cd5\uff0c\u6211\u4eec\u53ef\u4ee5 \u89e3\u51fa\u53c2\u6570a\u3002\u8fd9\u6837\u539f\u65b9\u7a0b\u4e24\u8fb9\u90fd\u662f\u5b8c\u5168\u5e73\u65b9\u5f0f\uff0c\u5f00\u65b9\u540e\u5c31\u662f\u4e00\u4e2a\u5173\u4e8ex \u7684\u4e00\u5143\u4e8c\u6b21\u65b9\u7a0b\uff0c\u4e8e\u662f\u5c31\u53ef\u4ee5\u89e3\u51fa\u539f\u65b9\u7a0b\u7684\u6839x\u3002
\u9ad8\u4e8e\u56db\u6b21\u4e0d\u662f\u6ca1\u6709\u516c\u5f0f,\u662f\u6ca1\u6709\u7528\u6839\u5f0f\u8868\u793a\u7684\u516c\u5f0f,\u4f46\u5982\u4e94\u6b21\u65b9\u7a0b\u5c31\u53ef\u4ee5\u7528\u692d\u5706\u51fd\u6570\u6216\u4e09\u89d2\u51fd\u6570\u89e3\u51fa\u51c6\u786e\u503c.\u4e00\u5143\u4e09\u6b21\u65b9\u7a0b\u7684\u6c42\u6839\u516c\u5f0f\u7528\u901a\u5e38\u7684\u6f14\u7ece\u601d\u7ef4\u662f\u4f5c\u4e0d\u51fa\u6765\u7684,\u7528\u7c7b\u4f3c\u89e3\u4e00\u5143\u4e8c\u6b21\u65b9\u7a0b\u7684\u6c42\u6839\u516c\u5f0f\u7684\u914d\u65b9\u6cd5\u53ea\u80fd\u5c06\u578b\u5982ax^3+bx^2+cx+d+0\u7684\u6807\u51c6\u578b\u4e00\u5143\u4e09\u6b21\u65b9\u7a0b\u5f62\u5f0f\u5316\u4e3ax^3+px+q=0\u7684\u7279\u6b8a\u578b.
\u4e00\u5143\u4e09\u6b21\u65b9\u7a0b\u7684\u6c42\u89e3\u516c\u5f0f\u7684\u89e3\u6cd5\u53ea\u80fd\u7528\u5f52\u7eb3\u601d\u7ef4\u5f97\u5230,\u5373\u6839\u636e\u4e00\u5143\u4e00\u6b21\u65b9\u7a0b\u3001\u4e00\u5143\u4e8c\u6b21\u65b9\u7a0b\u53ca\u7279\u6b8a\u7684\u9ad8\u6b21\u65b9\u7a0b\u7684\u6c42\u6839\u516c\u5f0f\u7684\u5f62\u5f0f\u5f52\u7eb3\u51fa\u4e00\u5143\u4e09\u6b21\u65b9\u7a0b\u7684\u6c42\u6839\u516c\u5f0f\u7684\u5f62\u5f0f.\u5f52\u7eb3\u51fa\u6765\u7684\u5f62\u5982 x^3+px+q=0\u7684\u4e00\u5143\u4e09\u6b21\u65b9\u7a0b\u7684\u6c42\u6839\u516c\u5f0f\u7684\u5f62\u5f0f\u5e94\u8be5\u4e3ax=A^(1/3)+B^(1/3)\u578b,\u5373\u4e3a\u4e24\u4e2a\u5f00\u7acb\u65b9\u4e4b\u548c.\u5f52\u7eb3\u51fa\u4e86\u4e00\u5143\u4e09\u6b21\u65b9\u7a0b\u6c42\u6839\u516c\u5f0f\u7684\u5f62\u5f0f,\u4e0b\u4e00\u6b65\u7684\u5de5\u4f5c\u5c31\u662f\u6c42\u51fa\u5f00\u7acb\u65b9\u91cc\u9762\u7684\u5185\u5bb9,\u4e5f\u5c31\u662f\u7528p\u548cq\u8868\u793aA\u548cB.\u65b9\u6cd5\u5982\u4e0b\uff1a
\uff081\uff09\u5c06x=A^(1/3)+B^(1/3)\u4e24\u8fb9\u540c\u65f6\u7acb\u65b9\u53ef\u4ee5\u5f97\u5230
\uff082\uff09x^3=(A+B)+3(AB)^(1/3)(A^(1/3)+B^(1/3))
\uff083\uff09\u7531\u4e8ex=A^(1/3)+B^(1/3),\u6240\u4ee5\uff082\uff09\u53ef\u5316\u4e3a
x^3=(A+B)+3(AB)^(1/3)x,\u79fb\u9879\u53ef\u5f97
\uff084\uff09x^3\uff0d3(AB)^(1/3)x\uff0d(A+B)\uff1d0,\u548c\u4e00\u5143\u4e09\u6b21\u65b9\u7a0b\u548c\u7279\u6b8a\u578bx^3+px+q=0\u4f5c\u6bd4\u8f83,\u53ef\u77e5
\uff085\uff09\uff0d3(AB\uff09^\uff081/3\uff09\uff1dp,\uff0d(A+B)=q,\u5316\u7b80\u5f97
\uff086\uff09A+B\uff1d\uff0dq,AB\uff1d-\uff08p/3\uff09^3
\uff087\uff09\u8fd9\u6837\u5176\u5b9e\u5c31\u5c06\u4e00\u5143\u4e09\u6b21\u65b9\u7a0b\u7684\u6c42\u6839\u516c\u5f0f\u5316\u4e3a\u4e86\u4e00\u5143\u4e8c\u6b21\u65b9\u7a0b\u7684\u6c42\u6839\u516c\u5f0f\u95ee\u9898,\u56e0\u4e3aA\u548cB\u53ef\u4ee5\u770b\u4f5c\u662f\u4e00\u5143\u4e8c\u6b21\u65b9\u7a0b\u7684\u4e24\u4e2a\u6839,\u800c(6)\u5219\u662f\u5173\u4e8e\u5f62\u5982ay^2+by+c=0\u7684\u4e00\u5143\u4e8c\u6b21\u65b9\u7a0b\u4e24\u4e2a\u6839\u7684\u97e6\u8fbe\u5b9a\u7406,\u5373
\uff088\uff09y1\uff0by2\uff1d\uff0d\uff08b/a\uff09,y1*y2=c/a
(9)\u5bf9\u6bd4\uff086\uff09\u548c\uff088\uff09,\u53ef\u4ee4A\uff1dy1,B\uff1dy2,q\uff1db/a,-\uff08p/3\uff09^3\uff1dc/a
(10)\u7531\u4e8e\u578b\u4e3aay^2+by+c=0\u7684\u4e00\u5143\u4e8c\u6b21\u65b9\u7a0b\u6c42\u6839\u516c\u5f0f\u4e3a
y1\uff1d\uff0d\uff08b\uff0b\uff08b^2\uff0d4ac\uff09^(1/2)\uff09/(2a)
y2\uff1d\uff0d\uff08b\uff0d\uff08b^2\uff0d4ac\uff09^(1/2)\uff09/(2a)
\u53ef\u5316\u4e3a
(11)y1\uff1d\uff0d(b/2a)-((b/2a)^2-(c/a))^(1/2)
y2\uff1d\uff0d(b/2a)+((b/2a)^2-(c/a))^(1/2)
\u5c06(9)\u4e2d\u7684A\uff1dy1,B\uff1dy2,q\uff1db/a,-\uff08p/3\uff09^3\uff1dc/a\u4ee3\u5165\uff0811\uff09\u53ef\u5f97
(12)A\uff1d\uff0d(q/2)-((q/2)^2\uff0b\uff08p/3\uff09^3\uff09^(1/2)
B\uff1d\uff0d(q/2)+((q/2)^2\uff0b\uff08p/3\uff09^3\uff09^(1/2)
(13)\u5c06A,B\u4ee3\u5165x=A^(1/3)+B^(1/3)\u5f97
(14)x=\uff08\uff0d(q/2)-((q/2)^2\uff0b\uff08p/3\uff09^3\uff09^(1/2)\uff09^(1/3)+\uff08\uff0d(q/2)+((q/2)^2\uff0b\uff08p/3\uff09^3\uff09^(1/2)\uff09^(1/3)
\u5f0f (14)\u53ea\u662f\u4e00\u5143\u4e09\u65b9\u7a0b\u7684\u4e00\u4e2a\u5b9e\u6839\u89e3,\u6309\u97e6\u8fbe\u5b9a\u7406\u4e00\u5143\u4e09\u6b21\u65b9\u7a0b\u5e94\u8be5\u6709\u4e09\u4e2a\u6839,\u4e0d\u8fc7\u6309\u97e6\u8fbe\u5b9a\u7406\u4e00\u5143\u4e09\u6b21\u65b9\u7a0b\u53ea\u8981\u6c42\u51fa\u4e86\u5176\u4e2d\u4e00\u4e2a\u6839,\u53e6\u4e24\u4e2a\u6839\u5c31\u5bb9\u6613\u6c42\u51fa\u4e86.
x^y\u5c31\u662fx\u7684y\u6b21\u65b9
\u597d\u590d\u6742\u7684\u8bf4
\u5854\u5854\u5229\u4e9a\u53d1\u73b0\u7684\u4e00\u5143\u4e09\u6b21\u65b9\u7a0b\u7684\u89e3\u6cd5
\u4e00\u5143\u4e09\u6b21\u65b9\u7a0b\u7684\u4e00\u822c\u5f62\u5f0f\u662f
x3+sx2+tx+u=0
\u5982\u679c\u4f5c\u4e00\u4e2a\u6a2a\u5750\u6807\u5e73\u79fby=x+s/3,\u90a3\u4e48\u6211\u4eec\u5c31\u53ef\u4ee5\u628a\u65b9\u7a0b\u7684\u4e8c\u6b21\u9879\u6d88
\u53bb.\u6240\u4ee5\u6211\u4eec\u53ea\u8981\u8003\u8651\u5f62\u5982
x3=px+q
\u7684\u4e09\u6b21\u65b9\u7a0b.
\u5047\u8bbe\u65b9\u7a0b\u7684\u89e3x\u53ef\u4ee5\u5199\u6210x=a-b\u7684\u5f62\u5f0f,\u8fd9\u91cca\u548cb\u662f\u5f85\u5b9a\u7684\u53c2\u6570.
\u4ee3\u5165\u65b9\u7a0b,\u6211\u4eec\u5c31\u6709
a3-3a2b+3ab2-b3=p(a-b)+q
\u6574\u7406\u5f97\u5230
a3-b3 =(a-b)(p+3ab)+q
\u7531\u4e8c\u6b21\u65b9\u7a0b\u7406\u8bba\u53ef\u77e5,\u4e00\u5b9a\u53ef\u4ee5\u9002\u5f53\u9009\u53d6a\u548cb,\u4f7f\u5f97\u5728x=a-b\u7684\u540c\u65f6,
3ab+p=0.\u8fd9\u6837\u4e0a\u5f0f\u5c31\u6210\u4e3a
a3-b3=q
\u4e24\u8fb9\u5404\u4e58\u4ee527a3,\u5c31\u5f97\u5230
27a6-27a3b3=27qa3
\u7531p=-3ab\u53ef\u77e5
27a6 + p3 = 27qa3
\u8fd9\u662f\u4e00\u4e2a\u5173\u4e8ea3\u7684\u4e8c\u6b21\u65b9\u7a0b,\u6240\u4ee5\u53ef\u4ee5\u89e3\u5f97a.\u8fdb\u800c\u53ef\u89e3\u51fab\u548c\u6839x.
\u8d39\u62c9\u91cc\u53d1\u73b0\u7684\u4e00\u5143\u56db\u6b21\u65b9\u7a0b\u7684\u89e3\u6cd5
\u548c\u4e09\u6b21\u65b9\u7a0b\u4e2d\u7684\u505a\u6cd5\u4e00\u6837,\u53ef\u4ee5\u7528\u4e00\u4e2a\u5750\u6807\u5e73\u79fb\u6765\u6d88\u53bb\u56db\u6b21\u65b9\u7a0b
\u4e00\u822c\u5f62\u5f0f\u4e2d\u7684\u4e09\u6b21\u9879.\u6240\u4ee5\u53ea\u8981\u8003\u8651\u4e0b\u9762\u5f62\u5f0f\u7684\u4e00\u5143\u56db\u6b21\u65b9\u7a0b\uff1a
x4=px2+qx+r
\u5173\u952e\u5728\u4e8e\u8981\u5229\u7528\u53c2\u6570\u628a\u7b49\u5f0f\u7684\u4e24\u8fb9\u914d\u6210\u5b8c\u5168\u5e73\u65b9\u5f62\u5f0f.\u8003\u8651\u4e00\u4e2a\u53c2\u6570
a,\u6211\u4eec\u6709
(x2+a)2 = (p+2a)x2+qx+r+a2
\u7b49\u5f0f\u53f3\u8fb9\u662f\u5b8c\u5168\u5e73\u65b9\u5f0f\u5f53\u4e14\u4ec5\u5f53\u5b83\u7684\u5224\u522b\u5f0f\u4e3a0,\u5373
q2 = 4(p+2a)(r+a2)
\u8fd9\u662f\u4e00\u4e2a\u5173\u4e8ea\u7684\u4e09\u6b21\u65b9\u7a0b,\u5229\u7528\u4e0a\u9762\u4e00\u5143\u4e09\u6b21\u65b9\u7a0b\u7684\u89e3\u6cd5,\u6211\u4eec\u53ef\u4ee5
\u89e3\u51fa\u53c2\u6570a.\u8fd9\u6837\u539f\u65b9\u7a0b\u4e24\u8fb9\u90fd\u662f\u5b8c\u5168\u5e73\u65b9\u5f0f,\u5f00\u65b9\u540e\u5c31\u662f\u4e00\u4e2a\u5173\u4e8ex
\u7684\u4e00\u5143\u4e8c\u6b21\u65b9\u7a0b,\u4e8e\u662f\u5c31\u53ef\u4ee5\u89e3\u51fa\u539f\u65b9\u7a0b\u7684\u6839x
先将四次方程化为x^4+ax^3+bx^2+cx+d=0的形式。
令x=y-a/4，整理后得到y^4+py^2+qy+r=0 （1）
设y^4+py^2+qy+r=(y^2+ky+t)(y^2-ky+m)=y^4+(t+m-k^2)y^2+k(m-t)y+tm
比较dy对应项系数，得t+m-k^2=p，k(m-t)=q，tm=r
设k≠0，把t和m当作未知数，解前两个方程，得t=(k^3+pk-q)/(2k)，m=(k^3+pk+q)/(2k)
再代入第三个方程，得((k^3+pk)^2-q^2)/(4k^2)=r 。
即k^6+2pk^4+(p^2-4r)k^2-q^2=0
解这个方程，设kο是它的任意一根，tο和mο是k=ko时t和m的值那么方程（1）就成为 （y^2+koy+to)(y^2-koy+mo)=0
解方程y^2+koy+to=0和y^2-koy+mo=0就可以得出方程（1）的四个根，各根加上-4/a就可以得出原方程的四个根。
费拉里法
方程两边同时除以最高次项的系数可得 x^4+bx^3+cx^2+dx+e=0 (1)
移项可得 x^4+bx^3=-cx^2-dx-e (2)
两边同时加上(1/2bx)^2 ，可将（2）式左边配成完全平方，
方程成为 (x^2+1/2bx)^2=(1/4b^2-c)x^2-dx-e (3)
在（3）式两边同时加上(x^2+1/2bx)y+1/4y^2
可得 [(x^2+1/2bx)+1/2y]^2= (1/4b^2-c+y)x^2+(1/2by-d)x+1/4y^2-e (4)
（4）式中的y是一个参数。当（4）式中的x为原方程的根时，不论y取什么值，（4）式都应成立。特别，如果所取的y值使（4）式右边关于x的二次三项式也能变成一个完全平方式，则对（4）对两边同时开方可以得到次数较低的方程。
为了使（4）式右边关于x的二次三项式也能变成一个完全平方式，只需使它的判别式变成0，即 (1/2by-d)^2-4(1/4b^2-c+y)(1/4y^2-e)=0 (5)
这是关于y的一元三次方程，可以通过塔塔利亚公式来求出y应取的实数值。
把由（5）式求出的y值代入（4）式后，（4）式的两边都成为完全平方，两边开方，可以得到两个关于x的一元二次方程。 解这两个一元二次方程，就可以得出原方程的四个根。
详情请见
http://baike.baidu.com/view/1054084.htm
绛旓細瑙ｆ柟绋媦^2+koy+to=0鍜寉^2-koy+mo=0灏卞彲浠ュ緱鍑烘柟绋嬶紙1锛夌殑鍥涗釜鏍锛屽悇鏍瑰姞涓-4/a灏卞彲浠ュ緱鍑哄師鏂圭▼鐨勫洓涓牴銆傝垂鎷夐噷娉 鏂圭▼涓よ竟鍚屾椂闄や互鏈楂樻椤圭殑绯绘暟鍙緱 x^4+bx^3+cx^2+dx+e=0 (1)绉婚」鍙緱 x^4+bx^3=-cx^2-dx-e (2)涓よ竟鍚屾椂鍔犱笂(1/2bx)^2 锛屽彲灏嗭紙2锛夊紡宸﹁竟閰嶆垚瀹屽叏...
绛旓細鍥涙鏂圭▼姹傛牴鍏紡濡備笅锛氫竴鍏冨洓娆℃柟绋嬫眰鏍瑰叕寮忥細ax4+bx3+cx2+dx+e=0锛坅鈮0,a,b,c,d,e鈭圧锛塸=-锛3b2-8ac锛塹=3b4+16a2c2-16ab2c+16a2bd-64a3er=-锛坆3-4abc+a2d锛2銆備竴鍏冨洓娆℃柟绋嬮傜敤鏈煡鏁版渶楂樻椤圭殑娆℃暟涓嶅ぇ浜庡洓鐨勫椤瑰紡鏂圭▼銆傚叾瑙ｆ硶鏄彈涓鍏冧笁娆℃柟绋嬫眰瑙ｆ柟娉曠殑鍚彂鑰屽緱鍒扮殑銆備竴鍏...
绛旓細鍦ㄥ鐞涓鍏冨洓娆℃柟绋ax^4+bx^3+cx^2+dx+e=0鏃讹紝鎴戜滑鍙互缁撳悎缃崲缇よВ娉曞拰鐩涢噾鍏紡锛岀畝鍖姹傛牴杩囩▼銆備互涓嬫槸璇︾粏鐨勬楠わ細1. 褰揇=3b^2-8ac=0, E=3b^4+16a^2c^2-16abc+16a^2bd-64a^3e=0, F=b^3-4abc+8a^2d=0鏃讹紝鏂圭▼鏈変竴涓洓閲嶆牴锛屽叾鍊间负x1=x2=x3=x4=-b/4a=-2c/3b=-3c...
绛旓細绗竴姝ワ細灏涓鍏冨洓娆℃柟绋杞寲涓轰簩娆℃柟绋嬪紩鍏ヤ竴涓柊鐨勫彉閲忥紝浠=x^2锛屽皢鍘熸柟绋嬭繘琛屽彉閲忔浛鎹紝寰楀埌涓涓柊鐨勬柟绋嬶細ay^2+by+c=0鎴戜滑鍙互浣跨敤姹傝В浜屾鏂圭▼鐨勫叕寮忔潵姹傝В杩欎釜鏂版柟绋嬨傚皢鍏舵牴璁颁负y1鍜寉2銆傜浜屾锛氭眰瑙ｄ簩娆℃柟绋嬬殑鏍锛屾牴鎹簩娆℃柟绋嬬殑姹傛牴鍏紡锛屽綋鍒ゅ埆寮廌=b^2-4ac澶т簬0鏃讹紝鏂圭▼鏈変袱涓...
绛旓細璐规媺閲屾柟娉曠殑鐙壒瑙ｆ硶鏄拡瀵逛竴鍏冨洓娆℃柟绋媥^4+bx^3+cx^2+dx+e=0鐨勬眰鏍归棶棰銆傞鍏堬紝閫氳繃涓よ竟闄や互鏈楂樻椤圭郴鏁帮紝灏嗘柟绋嬪彉褰负x^4+bx^3=-cx^2-dx-e锛岀劧鍚庡湪涓よ竟鍔犱笂(1/2bx)^2锛屼娇鍏跺乏杈瑰舰鎴愬畬鍏ㄥ钩鏂癸紝寰楀埌(x^2+1/2bx)^2=(1/4b^2-c)x^2-dx-e銆傛帴鐫锛屽紩鍏ュ弬鏁皔锛屽皢(x^2+1/2...
绛旓細鍏充簬涓鍏冨洓娆℃柟绋嬫眰鏍瑰叕寮忓洖绛斿涓嬶細ax4+bx3+cx2+dx+e=0锛坅,b,c,d,e鈭圧锛屼笖a鈮0锛夛紙4銆3銆2涓轰笂瑙掓爣鏁板瓧锛夋ц川璁炬柟绋嬬殑鍥涙牴鍒嗗埆涓猴細x1=(-b+A+B+K)/(4a)x2=(-b-A+B-K)/(4a)x3=(-b+A-B-K)/(4a)x4=(-b-A-B+K)/(4a)(A,B,K涓変釜瀛楁瘝瓒充互琛ㄧず浠绘剰涓変釜澶嶆暟锛屾牴鎹...
绛旓細璐规媺閲岀殑鏂规硶鏄繖鏍风殑锛鏂圭▼涓よ竟鍚屾椂闄や互鏈楂樻椤圭殑绯绘暟鍙緱 x^4+bx^3+cx^2+dx+e=0 (1)绉婚」鍙緱 x^4+bx^3=-cx^2-dx-e (2) 涓よ竟鍚屾椂鍔犱笂(1/2bx)^2 锛屽彲灏嗭紙2锛夊紡宸﹁竟閰嶆垚瀹屽叏骞虫柟锛屾柟绋嬫垚涓 (x^2+1/2bx)^2=(1/4b^2-c)x^2-dx-e (3) 鍦紙3锛夊紡涓よ竟鍚屾椂鍔犱笂(x^2+...
绛旓細涓锛3娆℃柟绋 1,姹傛牴鍏紡 1-1锛屽皢x^3 + bx^2 + cx + d = 0,鍙樻崲鎴恡^3 + pt + q = 0鐨勫舰寮忋0 = x^3 + bx^2 + cx + d = x^3 + bx^2 + x(b/3)^2 + (b/3)^3 - x(b/3)^2 - (b/3)^3 + cx + d = (x+b/3)^3 + x[c - (b/3)^2] + d ...
绛旓細璇烽夋嫨 鏈澶ф垨 鐨勪竴缁勪綔涓 y锛宮 鐨勬暟鍊笺傝嫢m=0鍒欎竴鍏冨洓娆℃柟绋嬫湁涓ゅ閲嶆牴锛岃绠楀叕寮忓涓嬶細鑻 m 涓嶇瓑浜庨浂锛屽垯涓鍏冨洓娆℃柟绋嬬殑姹傛牴鍏紡濡備笅锛氱畻渚1锛氫笂寮忎腑 锛屽彲绠楀緱y 鍙 鏃讹紝m = 0銆傝繖涓 y 涓嶅悎閫傦紝鎹竴涓啀璇曡瘯y 鍙 鏃讹紝 鍙畻寰楀洓涓牴涓虹畻渚2锛 鍗充笂寮忎腑 锛屽彲绠楀緱y 鏈変笁閲嶆牴 锛...
绛旓細涓鍏冨洓娆℃柟绋嬫眰鏍鍏紡 鏂圭▼涓 x^4+b路x^3+c路x^2+d路x+e=0 濡傛灉璁 P=bd-4e-c&锛3 Q=bcd/27+锛104锛27锛壜穋e-(2/27)路c-be-d D=-4路P-27路Q u=鈭(-13.5路Q锛3/2路鈭(-3D))v=鈭(-13.5路Q锛3/2路鈭(-3D))y=(u+v-3)锛3 N=锛1/4锛塨锛嬶紙1/4锛壜穊锛峜...
