求数列极限 用定积分定义求数列极限，思路是怎么样？首先要找什么东西？给我...
\u6570\u5217\u7684\u6781\u9650\u6709\u54ea\u4e9b\u6c42\u6cd51\u3001\u5982\u679c\u4ee3\u5165\u540e\uff0c\u5f97\u5230\u4e00\u4e2a\u5177\u4f53\u7684\u6570\u5b57\uff0c\u5c31\u662f\u6781\u9650\uff1b
2\u3001\u5982\u679c\u4ee3\u5165\u540e\uff0c\u5f97\u5230\u7684\u662f\u65e0\u7a77\u5927\uff0c\u7b54\u6848\u5c31\u662f\u6781\u9650\u4e0d\u5b58\u5728\uff1b
3\u3001\u5982\u679c\u4ee3\u5165\u540e\uff0c\u65e0\u6cd5\u786e\u5b9a\u662f\u5177\u4f53\u6570\u6216\u662f\u65e0\u7a77\u5927\uff0c\u5c31\u662f\u4e0d\u5b9a\u5f0f\u7c7b\u578b\uff0c
\u8ba1\u7b97\u65b9\u6cd5\uff0c\u8bf7\u53c2\u770b\u4e0b\u9762\u7684\u56fe\u7247\u3002
\u62d3\u5c55\u8d44\u6599\u6570\u5217\u7684\u6781\u9650\u95ee\u9898\u662f\u6211\u4eec\u5b66\u4e60\u7684\u4e00\u4e2a\u6bd4\u8f83\u91cd\u8981\u7684\u90e8\u5206\uff0c\u540c\u65f6\uff0c\u6781\u9650\u7684\u7406\u8bba\u4e5f\u662f\u9ad8\u7b49\u6570\u5b66\u7684\u57fa\u7840\u4e4b\u4e00\u3002\u6570\u5217\u6781\u9650\u7684\u95ee\u9898\u4f5c\u4e3a\u5fae\u79ef\u5206\u7684\u57fa\u7840\u6982\u5ff5\uff0c\u5176\u5efa\u7acb\u4e0e\u4ea7\u751f\u5bf9\u5fae\u79ef\u5206\u7684\u7406\u8bba\u6709\u7740\u91cd\u8981\u7684\u610f\u4e49\u3002
1\u3001\u901a\u8fc7\u6052\u7b49\u53d8\u5f62\uff0c\u5c06\u5f85\u6c42\u6570\u5217\u6781\u9650\u5316\u4e3a\u7279\u6b8a\u5f62\u5f0f\u7684\u79ef\u5206\u548c\u3002
2\u3001\u5bfb\u627e\u88ab\u79ef\u51fd\u6570 f \u4ee5\u53ca\u786e\u5b9a\u79ef\u5206\u4e0a\u4e0b\u9650\u3002
3\u3001\u6839\u636e\u5b9a\u79ef\u5206\u7684\u5b9a\u4e49\uff0c\u5199\u6210\u5b9a\u79ef\u5206\u3002
4\u3001\u8ba1\u7b97\u5b9a\u79ef\u5206\uff0c\u5f97\u6240\u6c42\u6781\u9650\u3002
\u601d\u8def
\u5f53\u62ff\u5230\u4e00\u4e2a\u82e5\u5e72\u9879\u548c\u6c42\u6781\u9650\u7684\u9898\u76ee\u65f6\uff0c\u5982\u679c\u5b83\u6070\u597d\u7b26\u5408\u5229\u7528\u5b9a\u79ef\u5206\u7684\u5b9a\u4e49\uff0c\u90a3\u4e48\u8fd9\u65f6\u5019\u5c31\u8981\u81ea\u95ee\u4e24\u4e2a\u95ee\u9898\uff1a
\uff081\uff09\u6211\u7684\u88ab\u79ef\u51fd\u6570\u5728\u54ea\u91cc\uff1f
\uff082\uff09\u79ef\u5206\u4e0a\u4e0b\u9650\u5728\u54ea\u91cc\uff1f
\u6269\u5c55\u8d44\u6599
\u5b9a\u79ef\u5206\u5b9a\u4e49\uff1a\u8bbe\u51fd\u6570f(x) \u5728\u533a\u95f4[a,b]\u4e0a\u8fde\u7eed\uff0c\u5c06\u533a\u95f4[a,b]\u5206\u6210n\u4e2a\u5b50\u533a\u95f4[x0,x1], (x1,x2], (x2,x3], \u2026, (xn-1,xn]\uff0c\u5176\u4e2dx0=a\uff0cxn=b\u3002\u53ef\u77e5\u5404\u533a\u95f4\u7684\u957f\u5ea6\u4f9d\u6b21\u662f\uff1a\u25b3x1=x1-x0\uff0c\u5728\u6bcf\u4e2a\u5b50\u533a\u95f4(xi-1,xi]\u4e2d\u4efb\u53d6\u4e00\u70b9\u03bei\uff081,2,...,n\uff09\uff0c\u4f5c\u548c\u5f0f
\u8be5\u548c\u5f0f\u53eb\u505a\u79ef\u5206\u548c\uff0c\u8bbe\u03bb=max{\u25b3x1, \u25b3x2, \u2026, \u25b3xn}\uff08\u5373\u03bb\u662f\u6700\u5927\u7684\u533a\u95f4\u957f\u5ea6\uff09\uff0c\u5982\u679c\u5f53\u03bb\u21920\u65f6\uff0c\u79ef\u5206\u548c\u7684\u6781\u9650\u5b58\u5728\uff0c\u5219\u8fd9\u4e2a\u6781\u9650\u53eb\u505a\u51fd\u6570f(x) \u5728\u533a\u95f4[a,b]\u7684\u5b9a\u79ef\u5206\uff0c\u8bb0\u4e3a
\u5e76\u79f0\u51fd\u6570f(x)\u5728\u533a\u95f4[a,b]\u4e0a\u53ef\u79ef\u3002\u5176\u4e2d\uff1aa\u53eb\u505a\u79ef\u5206\u4e0b\u9650\uff0cb\u53eb\u505a\u79ef\u5206\u4e0a\u9650\uff0c\u533a\u95f4[a, b]\u53eb\u505a\u79ef\u5206\u533a\u95f4\uff0c\u51fd\u6570f(x)\u53eb\u505a\u88ab\u79ef\u51fd\u6570\uff0cx\u53eb\u505a\u79ef\u5206\u53d8\u91cf\uff0cf(x)dx \u53eb\u505a\u88ab\u79ef\u8868\u8fbe\u5f0f\uff0c\u222b \u53eb\u505a\u79ef\u5206\u53f7\u3002
\u4e4b\u6240\u4ee5\u79f0\u5176\u4e3a\u5b9a\u79ef\u5206\uff0c\u662f\u56e0\u4e3a\u5b83\u79ef\u5206\u540e\u5f97\u51fa\u7684\u503c\u662f\u786e\u5b9a\u7684\uff0c\u662f\u4e00\u4e2a\u5e38\u6570\uff0c \u800c\u4e0d\u662f\u4e00\u4e2a\u51fd\u6570\u3002
\u6839\u636e\u4e0a\u8ff0\u5b9a\u4e49\uff0c\u82e5\u51fd\u6570f(x)\u5728\u533a\u95f4[a,b]\u4e0a\u53ef\u79ef\u5206\uff0c\u5219\u6709n\u7b49\u5206\u7684\u7279\u6b8a\u5206\u6cd5\uff1a
\u7279\u522b\u6ce8\u610f\uff0c\u6839\u636e\u4e0a\u8ff0\u8868\u8fbe\u5f0f\u6709\uff0c\u5f53[a,b]\u533a\u95f4\u6070\u597d\u4e3a[0,1]\u533a\u95f4\u65f6\uff0c\u5219[0,1]\u533a\u95f4\u79ef\u5206\u8868\u8fbe\u5f0f\u4e3a\uff1a
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学过高等数学的人都知道，调和级数S=1+1/2+1/3+……是发散的，证明如下：
由于ln(1+1/n)1/n （n=1，2，3，…）
于是调和级数的前n项部分和满足
Sn=1+1/2+1/3+…+1/nln(1+1)+ln(1+1/2)+ln(1+1/3)+…+ln(1+1/n)
=ln2+ln(3/2)+ln(4/3)+…+ln[(n+1)/n]
=ln[2*3/2*4/3*…*(n+1)/n]=ln(n+1)
由于
lim Sn（n→∞）≥lim ln(n+1)（n→∞）=+∞
所以Sn的极限不存在，调和级数发散。
但极限S=lim[1+1/2+1/3+…+1/n-ln(n)]（n→∞）却存在，因为
Sn=1+1/2+1/3+…+1/n-ln(n)ln(1+1)+ln(1+1/2)+ln(1+1/3)+…+ln(1+1/n)-ln(n)
=ln(n+1)-ln(n)=ln(1+1/n)
由于
lim Sn（n→∞）≥lim ln(1+1/n)（n→∞）=0
因此Sn有下界
而
Sn-S(n+1)=1+1/2+1/3+…+1/n-ln(n)-[1+1/2+1/3+…+1/(n+1)-ln(n+1)]
=ln(n+1)-ln(n)-1/(n+1)=ln(1+1/n)-1/(n+1)ln(1+1/n)-1/n0
所以Sn单调递减。由单调有界数列极限定理，可知Sn必有极限，因此
S=lim[1+1/2+1/3+…+1/n-ln(n)]（n→∞）存在。
于是设这个数为γ，这个数就叫作欧拉常数，他的近似值约为0.57721566490153286060651209，目前还不知道它是有理数还是无理数。在微积分学中，欧拉常数γ有许多应用，如求某些数列的极限，某些收敛数项级数的和等。例如求lim[1/(n+1)+1/(n+2)+…+1/(n+n)]（n→∞），可以这样做：
lim[1/(n+1)+1/(n+2)+…+1/(n+n)]（n→∞）=lim[1+1/2+1/3+…+1/(n+n)-ln(n+n)]（n→∞）-lim[1+1/2+1/3+…+1/n-ln(n)]（n→∞）+lim[ln(n+n)-ln(n)]（n→∞）=γ-γ+ln2=ln2
无极限
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