关于e和ln的基本公式是什么?
如图所示：
简单的说就是ln是以e为底的对数函数b=e^a等价于a=lnb。
自然对数以常数e为底数的对数。记作lnN(N>0)。在物理学，生物学等自然科学中有重要的意义。一般表示方法为lnx。数学中也常见以logx表示自然对数。若为了避免与基为10的常用对数lgx混淆，可用“全写”㏒ex。
常数e的含义是单位时间内，持续的翻倍增长所能达到的极限值。
对数函数的运算公式
当a>0且a≠1时，M>0,N>0，那么：
（1）log(a)(MN)=log(a)(M)+log(a)(N)。
（2）log(a)(M/N)=log(a)(M)-log(a)(N)。
（3）log(a)(M^n)=nlog(a)(M)（n∈R）。
（4）log(a^n)(M)=（1/n）log(a)(M)(n∈R)。
（5）换底公式：log(A)M=log(b)M/log(b)A (b>0且b≠1）。
（6）a^(log(b)n)=n^(log(b)a)。
（7）对数恒等式：a^log（a)N=N。
绛旓細绠鍗曠殑璇村氨鏄痩n鏄互e涓哄簳鐨勫鏁板嚱鏁癰=e^a绛変环浜巃=lnb銆傝嚜鐒跺鏁颁互甯告暟e涓哄簳鏁扮殑瀵规暟銆傝浣渓nN(N>0)銆傚湪鐗╃悊瀛︼紝鐢熺墿瀛︾瓑鑷劧绉戝涓湁閲嶈鐨勬剰涔夈備竴鑸〃绀烘柟娉曚负lnx銆傛暟瀛︿腑涔熷父瑙佷互logx琛ㄧず鑷劧瀵规暟銆傝嫢涓轰簡閬垮厤涓庡熀涓10鐨勫父鐢ㄥ鏁發gx娣锋穯锛屽彲鐢ㄢ滃叏鍐欌濄彃ex銆傚父鏁癳鐨勫惈涔夋槸鍗曚綅鏃堕棿鍐咃紝鎸佺画鐨...
绛旓細e鍜宭n涔嬮棿鐨勬崲搴曞叕寮忔槸a^x=e^锛坸lna锛銆俥鍜宭n涓よ呭叧绯绘槸锛歭n鏄互鏃犵悊鏁癳锛坋=2.71828...锛変负搴曠殑瀵规暟锛岀О涓鸿嚜鐒跺鏁般傚嵆搴曟暟涓篹,e鏄嚜鐒跺父鏁般俛^x绛変环浜巈^锛坸lna锛夈傞氬父鍦ㄥ鐞嗘暟瀛﹁繍绠椾腑锛屽皢涓鑸簳鏁伴氳繃鎹㈠簳鍏紡杞崲涓轰互e涓哄簳鐨勮嚜鐒跺鏁版垨鑰呮槸杞崲涓轰互10涓哄簳鐨勫父鐢ㄥ鏁帮紝鏂逛究杩愮畻锛涙湁鏃...
绛旓細ln涓巈涔嬮棿鐨勫叕寮忥細ln鏄互e涓哄簳鐨勫鏁板嚱鏁癰=e^a绛変环浜巃=lnb銆傚父鏁癳鐨勫惈涔夋槸鍗曚綅鏃堕棿鍐咃紝鎸佺画鐨勭炕鍊嶅闀挎墍鑳借揪鍒扮殑鏋侀檺鍊硷紝鍦ㄧ墿鐞嗗锛岀敓鐗╁绛夎嚜鐒剁瀛︿腑鏈夐噸瑕佺殑鎰忎箟锛屼竴鑸〃绀烘柟娉曚负lnx銆傛暟瀛︿腑涔熷父瑙佷互logx琛ㄧず鑷劧瀵规暟锛屼负浜嗛伩鍏嶄笌鍩轰负10鐨勫父鐢ㄥ鏁發gx娣锋穯锛屽彲鐢ㄥ叏鍐欌溿彃ex鈥濄傚父鏁癳鐨勫惈涔夋槸鍗曚綅...
绛旓細ln涓巈涔嬮棿鐨勫叕寮忥細ln鏄互e涓哄簳鐨勫鏁板嚱鏁癰=e^a绛変环浜巃=lnb銆傚父鏁癳鐨勫惈涔夋槸鍗曚綅鏃堕棿鍐咃紝鎸佺画鐨勭炕鍊嶅闀挎墍鑳借揪鍒扮殑鏋侀檺鍊笺傚熀鏈煡璇 鈶爈og锛1锛=0锛涒憽loga锛坅锛=1锛涒憿璐熸暟涓庨浂鏃犲鏁.鈶ogab脳logba=1锛涒懁-logaa/b=logcb/a锛涙亽绛夊紡鍙婅瘉鏄 a^log(a)(N)=N(a>0锛宎鈮1锛夋帹瀵硷細log(a)(...
绛旓細e^x=ln^{-1}(x)銆傝嚜鐒跺父鏁癳鍜岃嚜鐒跺鏁發n涔嬮棿鐨勮浆鎹㈠叕寮忔槸e^x=ln^{-1}(x)锛屽叾涓紝e^x琛ㄧずe鐨剎娆″箓锛宭n^{-1}(x)琛ㄧず浠涓哄簳鏁扮殑瀵规暟鍑芥暟ln鐨勫弽鍑芥暟锛屼篃灏辨槸璇达紝e^x鍜宭n^{-1}(x)鏄簰涓哄弽鍑芥暟鐨勶紝瀹冧滑鐨勫肩浉绛夈
绛旓細鍏蜂綋鍏崇郴锛e涓In鐨勮浆鍖鍏紡鏄d锛坋^xsinx锛/dx=e^xsinx+e^xcosx銆傛崲搴曞叕寮忔槸楂樹腑鏁板甯哥敤瀵规暟杩愮畻鍏紡锛屽彲灏嗗寮傚簳瀵规暟寮忚浆鍖栦负鍚屽簳瀵规暟寮忥紝缁撳悎鍏朵粬鐨勫鏁拌繍绠楀叕寮忎竴璧蜂娇鐢ㄣ傝嫢 e^x=2涓よ竟鍙栧鏁帮細 lne^x=ln2 鍙坙ne^x=xlne 锛堝鏁拌繍绠楁硶鍒欙級涓 lne=1锛堝鏁鍏充簬e鐨瀹氫箟锛夋墍浠ユ湁 x=ln2銆...
绛旓細ln杩愮畻鍏釜鍩烘湰鍏紡濡備笅锛1銆乴n(ab)=ln(a)+ln(b)锛歭n杩愮畻鐨勪箻娉曞叕寮忥紝琛ㄧず涓や釜鏁扮殑涔樼Н鐨勮嚜鐒跺鏁扮瓑浜庡畠浠殑鑷劧瀵规暟涔嬪拰銆2銆乴n(a/b)=ln(a)-ln(b)锛歭n杩愮畻鐨勯櫎娉曞叕寮忥紝琛ㄧず涓や釜鏁扮殑鍟嗙殑鑷劧瀵规暟绛変簬琚櫎鏁扮殑鑷劧瀵规暟鍑忓幓闄ゆ暟鐨勮嚜鐒跺鏁般3銆乴n(a^n)=n路ln(a)锛歭n杩愮畻鐨勫箓鍏紡锛岃〃绀...
绛旓細e涓巐n鐨杞寲鍏紡鏄b=e^a锛宎=ln(b)銆傝嚜鐒跺鏁(ln)鍜屽簳鏁癳涔嬮棿瀛樺湪鐫鐗瑰畾鐨勫叧绯汇傚簳鏁癳鏄竴涓棤鐞嗘暟锛岀害绛変簬2.71828銆傝嚜鐒跺鏁發n(x)琛ㄧず浠ュ簳鏁颁负e鐨勫箓杩愮畻寰楀埌x鎵闇鐨勬寚鏁板笺傛湁涓涓暟瀛梮锛屾兂瑕佹壘鍒颁互搴曚负e鏉ヨ绠楄鏁板瓧鎵闇涔樻柟娆″箓锛屽垯鍙互浣跨敤鑷劧瀵规暟鍑芥暟ln(x)銆
绛旓細ln鏄鑷劧瀵规暟锛屽叾鍏紡涓昏鏈変互涓嬪嚑涓細1.ln(x)琛ㄧず浠涓哄簳鐨剎鐨勫鏁帮紝鍏朵腑e绾︿负2.71828銆傝繖鏄痩n鍑芥暟鏈甯歌鐨勫舰寮忋2. ln(e) = 1 e鏄鑷劧瀵规暟鐨勫簳锛宭n(e)绛変簬1銆3. ln(1) = 0 ln(1)绛変簬0锛屽洜涓轰互浠讳綍姝ｆ暟涓哄簳鐨0娆″箓閮界瓑浜1銆4. ln(xy) = ln(x) + ln(y)琛ㄧず瀵规暟鐨勪箻娉曟硶鍒...
绛旓細b=e^a锛宎=lnb銆e涓巐n鐨杞寲鍏紡鏄b=e^a锛宎=lnb銆傝嚜鐒跺鏁版槸浠ュ父鏁癳涓哄簳鏁扮殑瀵规暟锛岃浣渓nN锛圢>0锛夈俥涓巐n鐨勮浆鍖栧叕寮忓彲浠ュ府鍔╁皢鑷劧鎸囨暟e鐨勫箓鍑芥暟琛ㄧず涓鸿嚜鐒跺鏁扮殑鎸囨暟褰㈠紡锛屼娇寰楄绠楁洿鍔犳柟渚垮拰鐏垫椿銆
