十字相乘法 具体

\u5341\u5b57\u76f8\u4e58\u6cd5\u600e\u4e48\u505a

\u6bd4\u5982\uff1aX2+X-2 \u628a\u62c6\u5f00\uff1a\u56e0\u4e3a\u524d\u9762X2\u7684\u7cfb\u6570\u4e3a1\uff0c-2\u53ef\u4ee5\u5212\u5206\u4e3a-1\u00d71\u6216\u8005-2\u00d71\u4e0e-1\u00d72.\u5c06\u524d\u9762\u7684\u7cfb\u6570X2\u7684\u7cfb\u6570\u4e3a1\u00d71\u6240\u4ee5\u5341\u5b57\u8868\u8fbe\u56fe\u4e3a\u3002 1 -2
\u00d7 \u8fd9\u6837\u7684\u8bdd\u6211\u4eec\u6765\u7b97\u4e00\u4e0b\uff0c1\u00d71+1\u00d7-2=-1\u4f46\u662f\u6211\u4eec\u56de\u5934\u770b\u4e00\u4e0b\u8fd9\u4e2a\u65b9\u7a0b
1 1 \u5f0fX2+X+2\uff0c\u5176\u4e2d\u6211\u4eec\u6c42\u51fa\u6765\u7684-1\u4e0d\u7b26\u5408\u9898\u610f\uff0c\u4e3a\u4ec0\u4e48\u5462\uff1f~~\u56e0\u4e3a\u6211\u4eec\u8fd9\u8fb9\u8fd8\u6709\u4e2aX\u56e0\u4e3a\u4ed6\u7684\u7cfb\u6570\u4e3a-1\u22601\uff0c\u6240\u4ee5\u6211\u4eec\u4ece\u53e6\u4e00\u6b65\u9aa4\u6765\u3002
1 2 \u540c\u4e0a1\u00d72+1\u00d7-1=1 1=1\u6240\u4ee5\u5c31\u662f\u8fd9\u4e2a\u4e86
\u00d7
1 -1
\u6211\u4eec\u5c31\u628a\u4e0a\u9762\u7684\u5341\u5b57\u56fe\u7684\u6a2a\u6392\u76f8\u52a0\u5982\uff1a
1 + 2
\u00d7 \u6a2a\u6392\uff1a1+2 1-1 \u5c31\u628a\u524d\u9762\u76841\u53d8\u4e3aX\u5c31\u53d8\u6210\u4e86X2+X-2=\uff08X+2\uff09
1 -1 \uff08X-1\uff09
\u53cd\u6b63\u5c31\u662f\u5c06\u6709\u53ef\u80fd\u5206\u89e3\u7684\u5206\u89e3\u6bd4\u5982\uff1a8=\uff082\u00d74 4\u00d72\uff09 \uff08-2\u00d7-4 -4\u00d7-2\uff09 \uff081\u00d78 8\u00d71\uff09 \uff08-1\u00d7-8 -8\u00d7-1\uff09 \u6240\u6709\u53ef\u80fd\u5206\u89e3\u7684\u60c5\u51b5\u90fd\u8981\u5206\u89e3\u51fa\u6765\uff0c\u6211\u6253\u62ec\u53f7\u7684\u7528\u5341\u5b57\u56fe\u76f8\u4e58\u5f97\u51fa\u6765\u7684\u90fd\u662f\u76f8\u53cd\u6570\uff0c\u4e0d\u4fe1\u968f\u4fbf\u62ff\u51e0\u4e2a\u80fd\u5206\u89e3\u7684\u6570\uff0c\u81ea\u5df1\u53bb\u8bd5\u8bd5\uff0c\u8981\u4ed6\u4eec\u7684\u5206\u89e3\u51fa\u6765\u50cf\u6211\u62ec\u53f7\u91cc\u9762\u7684\u89c4\u5f8b\u3002\u53cd\u6b63\u5c31\u662f\u5c31\u662f\u6211\u697c\u4e0a\u8bf4\u7684\u201c\u62c6\u5e38\u6570\u9879\uff0c\u51d1\u4e00\u6b21\u9879\u201d\u591a\u627e\u70b9\u9898\u505a\u505a\uff0c\u5c31\u80fd\u770b\u89c1\u4ed6\u4eec\u5c31\u968f\u5fc3\u6240\u6b32\u4e86\u3002\u4e0d\u61c2\u7684\u8ffd\u95ee\u5427\u3002 X2\u5c31\u662fX\u7684\u5e73\u65b9\uff0c\u8fd9\u4e2a\u4e0a\u9762\u4e0d\u80fd\u663e\u793a\u3002

十字相乘法概念
　　十字相乘法的方法简单点来讲就是：十字左边相乘等于二次项系数，右边相乘等于常数项，交叉相乘再相加等于一次项系数。 　　十字相乘法能把某些二次三项式分解因式。这种方法的关键是把二次项系数a分解成两 十字相乘法
个因数a1,a2的积a1.a2，把常数项c分解成两个因数c1,c2的积c1乘c2，并使a1c2+a2c1正好是一次项b，那么可以直接写成结果:ax2+bx+c=(a1x+c1)(a2x+c2),在运用这种方法分解因式时，要注意观察，尝试，并体会它实质是二项式乘法的逆过程。当首项系数不是1时，往往需要多次试验，务必注意各项系数的符号。 基本式子：x^2+（p+q)χ+pq=(χ+p)(χ+q)所谓十字相乘法,就是运用乘法公式(x+a)(x+b)=x^2+(a+b)x+ab的逆运算来进行因式分解.比如说:把x^2+7x+12进行因式分解. . 　　上式的常数12可以分解为3×4,而3+4又恰好等于一次项的系数7,所以上式可以分解为:x^2+7x+12=(x+3)(x+4) . 　　又如:分解因式:a^2+2a-15,上式的常数-15可以分解为5×(-3).而5+(-3)又恰好等于一次项系数2,所以a^2+2a-15=(a+5)(a-3). 　　讲解： 　　x^2-3x+2=如下： 　　x -1 　　╳ 　　x -2 　　左边x乘x=x^2 　　右边-1乘-2=2 　　中间-1乘x+（-2）乘x（对角）=-3x 　　上边的【x+（-1）】乘下边的【x+（-2）】 　　就等于（x-1）*（x-2） 　　x^2-3x+2=（x-1）*（x-2）例题
例1
　　把2x^2-7x+3分解因式. 　　分析：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角，再分解常数项，分 　　别写在十字交叉线的右上角和右下角，然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数. 　　分解二次项系数(只取正因数)： 　　2＝1×2＝2×1； 　　分解常数项： 　　3=1×3=3×1=(-3)×(-1)=(-1)×(-3). 　　用画十字交叉线方法表示下列四种情况： 　　1 1 　　╳ 　　2 3 　　1×3+2×1 　　=5 　　1 3 　　╳ 　　2 1 　　1×1+2×3 　　=7 　　1 -1 　　╳ 　　2 -3 　　1×(-3)+2×(-1) 　　=-5 　　1 -3 　　╳ 　　2 -1 　　1×(-1)+2×(-3) 　　=-7 　　经过观察，第四种情况是正确的，这是因为交叉相乘后，两项代数和恰等于一次项系数－7. 　　解 2x^2-7x+3=(x-3)(2x-1). 　　一般地，对于二次三项式ax^2+bx+c(a≠0)，如果二次项系数a可以分解成两个因数之积，即a=a1a2，常数项c可以分解成两个因数之积，即c=c1c2，把a1，a2，c1，c2，排列如下： 　　a1 c1 　　╳ 　　a2 c2 　　a1c2+a2c1 　　按斜线交叉相乘，再相加，得到a1c2+a2c1，若它正好等于二次三项式ax2+bx+c的一次项系数b，即a1c2+a2c1=b，那么二次三项式就可以分解为两个因式a1x+c1与a2x+c2之积，即 　　a^2+bx+c=(a1x+c1)(a2x+c2). 　　像这种借助画十字交叉线分解系数，从而帮助我们把二次三项式分解因式的方法，通常叫做十字相乘法.
例2
　　把6x^2-7x-5分解因式. 　　分析：按照例1的方法，分解二次项系数6及常数项-5，把它们分别排列，可有8种不同的排列方法，其中的一种 　　2 1 　　╳ 　　3 -5 　　2×(-5)+3×1=-7 　　是正确的，因此原多项式可以用十字相乘法分解因式. 　　解 6x^2-7x-5=(2x+1)(3x-5) 　　指出：通过例1和例2可以看到，运用十字相乘法把一个二次项系数不是1的二次三项式因式分解，往往要经过多次观察，才能确定是否可以用十字相乘法分解因式. 　　对于二次项系数是1的二次三项式，也可以用十字相乘法分解因式，这时只需考虑如何把常数项分解因数.例如把x^2+2x-15分解因式，十字相乘法是 　　1 -3 　　╳ 　　1 5 　　1×5+1×(-3)=2 　　所以x^2+2x-15=(x-3)(x+5).
例3
　　把5x^2+6xy-8y^2分解因式. 　　分析：这个多项式可以看作是关于x的二次三项式，把-8y^2看作常数项，在分解二次项及常数项系数时，只需分解5与-8，用十字交叉线分解后，经过观察，选取合适的一组，即 　　1 2 　　╳ 　　5 -4 　　1×(-4)+5×2=6 　　解 5x^2+6xy-8y^2=(x+2y)(5x-4y). 　　指出：原式分解为两个关于x，y的一次式.
例4
　　把(x-y)(2x-2y-3)-2分解因式. 　　分析：这个多项式是两个因式之积与另一个因数之差的形式，只有先进行多项式的乘法运算，把变形后的多项式再因式分解. 　　问：以上乘积的因式是什么特点，用什么方法进行多项式的乘法运算最简便? 　　答：第二个因式中的前两项如果提出公因式2，就变为2(x-y)，它是第一个因式的二倍，然后把(x-y)看作一个整体进行乘法运算，可把原多项式变形为关于(x-y)的二次三项式，就可以用十字相乘法分解因式了. 　　解 (x-y)(2x-2y-3)-2 　　=(x-y)[2(x-y)-3]-2 　　=2(x-y) ^2-3(x-y)-2 　　1 -2 　　╳ 　　2 1 　　1×1+2×(-2)=－3 　　=[(x-y)-2][2(x-y)+1] 　　=(x-y-2)(2x-2y+1). 　　指出：把(x-y)看作一个整体进行因式分解，这又是运用了数学中的“整体”思想方法.
例5
　　x^2+2x-15 　　分析：常数项(-15)<0，可分解成异号两数的积，可分解为(-1)(15)，或(1)(-15)或(3) 　　(-5)或(-3)(5)，其中只有(-3)(5)中-3和5的和为2。 　　=(x-3)(x+5) 　　总结：①x^2＋（p+q）x＋pq型的式子的因式分解 　　这类二次三项式的特点是：二次项的系数是1；常数项是两个数的积；一次项系数是常数项的两个因数的和.因此，可以直接将某些二次项的系数是1的二次三项式因式分解： x^2＋(p+q)x＋pq＝(x＋p)(x＋q) 　　②kx^2＋mx＋n型的式子的因式分解 　　如果能够分解成k＝ac，n＝bd，且有ad＋bc＝m 时，那么 　　kx^2＋mx＋n＝(ax+b)(cx+d) 　　a b 　　╳ 　　c d
编辑本段通俗方法
　　先将二次项分解成（1 X 二次项系数），将常数项分解成（1 X 常数项）然后以下面的格式写 　　1 1 　　╳ 　　二次项系数 常数项 　　若交叉相乘后数值等于一次项系数则成立 ，不相等就要按照以下的方法进行试验。（一般的题很简单，最多3次就可以算出正确答案。） 　　需要多次实验的格式为：（注意：此时的abcd不是指（ax^2+bx+c）里面的系数，而且abcd最好为整数） 　　a b 　　╳ 　　c d 　　第一次a=1 b=1 c=二次项系数÷a d=常数项÷b 　　第二次a=1 b=2 c=二次项系数÷a d=常数项÷b 　　第三次a=2 b=1 c=二次项系数÷a d=常数项÷b 　　第四次a=2 b=2 c=二次项系数÷a d=常数项÷b 　　第五次a=2 b=3 c=二次项系数÷a d=常数项÷b 　　第六次a=3 b=2 c=二次项系数÷a d=常数项÷b 　　第七次a=3 b=3 c=二次项系数÷a d=常数项÷b 　　...... 　　依此类推 　　直到（ad+cb=一次项系数）为止。最终的结果格式为(ax+b)(cx+d) 　　例解： 　　2x^2+7x+6 　　第一次： 　　1 1 　　╳ 　　2 6 　　1X6+2X1=8 8>7 不成立 继续试 　　第二次 　　1 2 　　╳ 　　2 3 　　1X3+2X2=7 所以 分解后为:(x+2)(2x+3).十字相乘法能把某
编辑本段十字相乘法（解决两者之间的比例问题）
原理
　　一个集合中的个体，只有2个不同的取值，部分个体取值为A，剩余部分取值为B。平均值为C。求取值为A的个体与取值为B的个体的比例。假设总量为S， A所占的数量为M，B为S-M。 　　则：［A＊M＋B＊（S－M）］／S=C 　　A/S*M/S+B/S*(S-M)/S=C 　　M/S=(C-B)/(A-B) 　　1-M/S=(A-C)/(A-B) 　　因此：M/S∶（1-M/S）=（C-B）∶(A-C) 　　上面的计算过程可以抽象为： 　　A ………C-B 　　……C 　　B……… A-C 　　这就是所谓的十字相乘法。X增加，平均数C向A偏，A-C（每个A给B的值）变小，C-B（每个B获得的值）变大，两者如上相除=每个B得到几个A给的值。即比例，以十字相乘法形式展现更加清晰
十字相乘法使用时的注意
　　第一点：用来解决两者之间的比例问题。 　　第二点：得出的比例关系是基数的比例关系。 　　第三点：总均值放中央，对角线上，大数减小数，结果放在对角线上。
例题
　　某高校2006年度毕业学生7650名，比上年度增长2%，其中本科毕业生比上年度减少2%，而研究生毕业数量比上年度增加10%，那么，这所高校今年（2006）毕业的本科生有多少人？ 　　十字相乘法 　　解：去年毕业生一共7500人，7650÷（1+2%）=7500人。 　　本科生：-2%………8% 　　…………………2% 　　研究生：10%……… -4% 　　本科生∶研究生=8%∶(-4%)=-2∶1。 　　去年的本科生：7500×2/3=5000 　　今年的本科生：5000×0.98=4900 　　答：这所高校今年毕业的本科生有4900人。 　　鸡兔同笼问题 　　今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？ 　　十字相乘法 　　解：假设全为鸡脚则有70只脚，假设全为兔脚则有120只脚 　　鸡： 70……… …46 　　……………………94 　　兔：140……… …24 　　鸡：兔=46：24=23：12 　　答：鸡有23只，兔有12只。
编辑本段3.十字相乘法解一元二次方程
　　例1 把2x^2-7x+3分解因式. 　　分析：先 分解二次项系数， 　　分别写在十字交叉线的左上角和左下角， 　　再分解常数项， 　　分别写在十字交叉线的右上角和右下角， 　　然后交叉相乘， 　　求代数和，使其等于一次项系数. 　　分解二次项系数(只取正因数)： 　　2＝1×2＝2×1； 　　分解常数项： 3=1×3=3×1=(-3)×(-1)=(-1)×(-3). 　　用画十字交叉线方法表示下列四种情况： 　　11╳23 1×3+2×1=5 　　13╳21 1×1+2×3=7 　　1-1╳2 -3 1×(-3)+2×(-1) =-5 　　1 -3 ╳ 2 -1 1×(-1)+2×(-3) =-7 　　经过观察，第四种情况是正确的，这是因为交叉相乘后，两项代数和恰等于一次项系数－7. 　　解 2x^2-7x+3=(x-3)(2x-1). 　　一般地，对于二次三项式ax^2+bx+c(a≠0)， 　　如果二次项系数a可以分解成两个因数之积， 　　即a=a1a2， 　　常数项c可以分解成两个因数之积， 　　即c=c1c2，把a1，a2，c1，c2， 　　排列如下： 　　a1c1 ╳ a2c2 　　a1c2+a2c1 　　按斜线交叉相乘，再相加，得到a1c2+a2c1， 　　若它正好等于二次三项式ax2+bx+c的一次项系数b， 　　即a1c2+a2c1=b， 　　那么二次三项式就可以分解为两个因式a1x+c1与a2x+c2之积， 　　即 ax2+bx+c=(a1x+c1)(a2x+c2). 　　例2 把6x^2-7x-5分解因式. 　　分析：按照例1的方法， 　　分解二次项系数6及常数项-5， 　　把它们分别排列， 　　可有8种不同的排列方法， 　　其中的一种 21╳3-5 2×(-5)+3×1=-7 　　是正确的，因此原多项式可以用十字相乘法分解因式. 　　解 6x^2-7x-5=(2x+1)(3x-5) 　　指出：通过例1和例2可以看到， 　　运用十字相乘法把一个二次项系数不是1的二次三项式因式分解， 　　往往要经过多次观察， 　　才能确定是否可以用十字相乘法分解因式. 　　对于二次项系数是1的二次三项式， 　　也可以用十字相乘法分解因式， 　　这时只需考虑如何把常数项分解因数. 　　例如把x^2+2x-15分解因式， 　　十字相乘法是1-3╳ 15 1×5+1×(-3)=2 　　所以x^2+2x-15=(x-3)(x+5). 　　例3 把5x^2+6xy-8y^2分解因式. 　　分析：这个多项式可以看作是关于x的二次三项式， 　　把-8y^2看作常数项， 　　在分解二次项及常数项系数时， 　　只需分解5与-8，用十字交叉线分解后， 　　经过观察，选取合适的一组， 　　即 12╳ 5-4 1×(-4)+5×2=6 　　解 5x^2+6xy-8y^2=(x+2y)(5x-4y). 　　指出：原式分解为两个关于x，y的一次式. 　　例4 把(x-y)(2x-2y-3)-2分解因式. 　　分析：这个多项式是两个因式之积与另一个因数之差的形式， 　　只有先进行多项式的乘法运算， 　　把变形后的多项式再因式分解. 　　问：两上乘积的因式是什么特点，用什么方法进行多项式的乘法运算最简便? 　　答：第二个因式中的前两项如果提出公因式2，就变为2(x-y)，它是第一个因式的二倍，然后把(x-y)看作一个整体进行乘法运算，可把原多项式变形为关于(x-y)的二次三项式，就可以用十字相乘法分解因式了. 　　解 (x-y)(2x-2y-3)-2 　　=(x-y)[2(x-y)-3]-2 　　=2(x-y) ^2-3(x-y)-2 　　1-2╳ 21 　　1×1+2×(-2)=－3 　　=[(x-y)-2][2(x-y)+1] 　　=(x-y-2)(2x-2y+1). 　　指出：把(x-y)看作一个整体进行因式分解， 　　这又是运用了数学中的“整体”思想方法.例5 x^2+2x-15 　　分析：常数项(-15)<0，可分解成异号两数的积， 　　可分解为(-1)(15)，或(1)(-15)或(3) (-5)或(-3)(5)， 　　其中只有(-3)(5)中-3和5的和为2。 =(x-3)(x+5) 　　总结：①x^2＋（p+q）x＋pq型的式子的因式分解 　　这类二次三项式的特点是：二次项的系数是1； 　　常数项是两个数的积；一次项系数是常数项的两个因数的和. 　　因此，可以直接将某些二次项的系数是1的二次三项式因式分解： 　　x^2＋(p+q)x＋pq＝(x＋p)(x＋q) 　　②kx^2＋mx＋n型的式子的因式分解 　　如果能够分解成k＝ac，n＝bd，且有ad＋bc＝m 时， 　　那么 kx^2＋mx＋n＝(ax+b)(cx+d) a b╳c d 　　(1) (x+3)(x-6)=-8 (2) 2x^2+3x=0 　　(3) 6x^2+5x-50=0 (4)x^2-2( + )x+4=0 　　(1)解：(x+3)(x-6)=-8 化简整理得 　　x^2-3x-10=0 (方程左边为二次三项式，右边为零) 　　(x-5)(x+2)=0 (方程左边分解因式) 　　∴x-5=0或x+2=0 (转化成两个一元一次方程) 　　∴x1=5,x2=-2是原方程的解。 　　(2)解：2x^2+3x=0 　　x(2x+3)=0 (用提公因式法将方程左边分解因式) 　　∴x=0或2x+3=0 (转化成两个一元一次方程) 　　∴x1=0，x2=-3/2是原方程的解。 　　注意：有些同学做这种题目时容易丢掉x=0这个解，应记住一元二次方程有两个解。 　　(3)解：6x^2+5x-50=0 　　(2x-5)(3x+10)=0 (十字相乘分解因式时要特别注意符号不要出错) 　　∴2x-5=0或3x+10=0 　　∴x1=5/2, x2=-10/3 是原方程的解。 　　(4)解：x^2-2(+ )x+4 =0 （∵4 可分解为2 ·2 ，∴此题可用因式分解法） 　　(x-2)(x-2 )=0 　　∴x1=2 ,x2=2是原方程的解。 　　例题x^2-x-2=0 　　解：(x+1)(x-2)=0 　　∴x+1=0或x-2=0 　　∴x1=-1,x2=2

十字相乘法概念

　　十字相乘法的方法简单点来讲就是：十字左边相乘等于二次项系数，右边相乘等于常数项，交叉相乘再相加等于一次项系数。
　　十字相乘法能把某些二次三项式分解因式。这种方法的关键是把二次项系数a分解成两 十字相乘法个因数a1,a2的积a1.a2，把常数项c分解成两个因数c1,c2的积c1乘c2，并使a1c2+a2c1正好是一次项b，那么可以直接写成结果:ax2+bx+c=(a1x+c1)(a2x+c2),在运用这种方法分解因式时，要注意观察，尝试，并体会它实质是二项式乘法的逆过程。当首项系数不是1时，往往需要多次试验，务必注意各项系数的符号。 基本式子：x^2+（p+q)χ+pq=(χ+p)(χ+q)所谓十字相乘法,就是运用乘法公式(x+a)(x+b)=x^2+(a+b)x+ab的逆运算来进行因式分解.比如说:把x^2+7x+12进行因式分解. .
　　上式的常数12可以分解为3×4,而3+4又恰好等于一次项的系数7,所以上式可以分解为:x^2+7x+12=(x+3)(x+4) .
　　又如:分解因式:a^2+2a-15,上式的常数-15可以分解为5×(-3).而5+(-3)又恰好等于一次项系数2,所以a^2+2a-15=(a+5)(a-3).
　　讲解：
　　x^2-3x+2=如下：
　　x -1
　　╳
　　x -2
　　左边x乘x=x^2
　　右边-1乘-2=2
　　中间-1乘x+（-2）乘x（对角）=-3x
　　上边的【x+（-1）】乘下边的【x+（-2）】
　　就等于（x-1）*（x-2）
　　x^2-3x+2=（x-1）*（x-2）例题
例1
　　把2x^2-7x+3分解因式.
　　分析：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角，再分解常数项，分
　　别写在十字交叉线的右上角和右下角，然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数.
　　分解二次项系数(只取正因数)：
　　2=1×2=2×1=（-1）×（-2）=（-2）×（-1）；
　　分解常数项：
　　3=1×3=3×1=(-3)×(-1)=(-1)×(-3).
　　用画十字交叉线方法表示下列四种情况：
　　1 1
　　╳
　　2 3
　　1×3+2×1
　　=5
　　1 3
　　╳
　　2 1
　　1×1+2×3
　　=7
　　1 -1
　　╳
　　2 -3
　　1×(-3)+2×(-1)
　　=-5
　　1 -3
　　╳
　　2 -1
　　1×(-1)+2×(-3)
　　=-7
　　经过观察，第四种情况是正确的，这是因为交叉相乘后，两项代数和恰等于一次项系数－7.
　　解 2x^2-7x+3=(x-3)(2x-1).
　　一般地，对于二次三项式ax^2+bx+c(a≠0)，如果二次项系数a可以分解成两个因数之积，即a=a1a2，常数项c可以分解成两个因数之积，即c=c1c2，把a1，a2，c1，c2，排列如下：
　　a1 c1
　　╳
　　a2 c2
　　a1c2+a2c1
　　按斜线交叉相乘，再相加，得到a1c2+a2c1，若它正好等于二次三项式ax2+bx+c的一次项系数b，即a1c2+a2c1=b，那么二次三项式就可以分解为两个因式a1x+c1与a2x+c2之积，即
　　a^2+bx+c=(a1x+c1)(a2x+c2).
　　像这种借助画十字交叉线分解系数，从而帮助我们把二次三项式分解因式的方法，通常叫做十字相乘法.
例2
　　把6x^2-7x-5分解因式.
　　分析：按照例1的方法，分解二次项系数6及常数项-5，把它们分别排列，可有8种不同的排列方法，其中的一种
　　2 1
　　╳
　　3 -5
　　2×(-5)+3×1=-7
　　是正确的，因此原多项式可以用十字相乘法分解因式.
　　解 6x^2-7x-5=(2x+1)(3x-5)
　　指出：通过例1和例2可以看到，运用十字相乘法把一个二次项系数不是1的二次三项式因式分解，往往要经过多次观察，才能确定是否可以用十字相乘法分解因式.
　　对于二次项系数是1的二次三项式，也可以用十字相乘法分解因式，这时只需考虑如何把常数项分解因数.例如把x^2+2x-15分解因式，十字相乘法是
　　1 -3
　　╳
　　1 5
　　1×5+1×(-3)=2
　　所以x^2+2x-15=(x-3)(x+5).
例3
　　把5x^2+6xy-8y^2分解因式.
　　分析：这个多项式可以看作是关于x的二次三项式，把-8y^2看作常数项，在分解二次项及常数项系数时，只需分解5与-8，用十字交叉线分解后，经过观察，选取合适的一组，即
　　1 2
　　╳
　　5 -4
　　1×(-4)+5×2=6
　　解 5x^2+6xy-8y^2=(x+2y)(5x-4y).
　　指出：原式分解为两个关于x，y的一次式.
例4
　　把(x-y)(2x-2y-3)-2分解因式.
　　分析：这个多项式是两个因式之积与另一个因数之差的形式，只有先进行多项式的乘法运算，把变形后的多项式再因式分解.
　　问：以上乘积的因式是什么特点，用什么方法进行多项式的乘法运算最简便?
　　答：第二个因式中的前两项如果提出公因式2，就变为2(x-y)，它是第一个因式的二倍，然后把(x-y)看作一个整体进行乘法运算，可把原多项式变形为关于(x-y)的二次三项式，就可以用十字相乘法分解因式了.
　　解 (x-y)(2x-2y-3)-2
　　=(x-y)[2(x-y)-3]-2
　　=2(x-y) ^2-3(x-y)-2
　　1 -2
　　╳
　　2 1
　　1×1+2×(-2)=－3
　　=[(x-y)-2][2(x-y)+1]
　　=(x-y-2)(2x-2y+1).
　　指出：把(x-y)看作一个整体进行因式分解，这又是运用了数学中的“整体”思想方法.
例5
　　x^2+2x-15
　　分析：常数项(-15)<0，可分解成异号两数的积，可分解为(-1)(15)，或(1)(-15)或(3)
　　(-5)或(-3)(5)，其中只有(-3)(5)中-3和5的和为2。
　　=(x-3)(x+5)
　　总结：①x^2+（p+q）x+pq型的式子的因式分解
　　这类二次三项式的特点是：二次项的系数是1；常数项是两个数的积；一次项系数是常数项的两个因数的和.因此，可以直接将某些二次项的系数是1的二次三项式因式分解： x^2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q)
　　②kx^2+mx+n型的式子的因式分解
　　如果能够分解成k=ac，n=bd，且有ad+bc=m 时，那么
　　kx^2+mx+n=(ax+b)(cx+d)
　　a b
　　╳
　　c d
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通俗方法

　　先将二次项分解成（1 X 二次项系数），将常数项分解成（1 X 常数项）然后以下面的格式写
　　1 1
　　╳
　　二次项系数 常数项
　　若交叉相乘后数值等于一次项系数则成立 ，不相等就要按照以下的方法进行试验。（一般的题很简单，最多3次就可以算出正确答案。）
　　需要多次实验的格式为：（注意：此时的abcd不是指（ax^2+bx+c）里面的系数，而且abcd最好为整数）
　　a b
　　╳
　　c d
　　第一次a=1 b=1 c=二次项系数÷a d=常数项÷b
　　第二次a=1 b=2 c=二次项系数÷a d=常数项÷b
　　第三次a=2 b=1 c=二次项系数÷a d=常数项÷b
　　第四次a=2 b=2 c=二次项系数÷a d=常数项÷b
　　第五次a=2 b=3 c=二次项系数÷a d=常数项÷b
　　第六次a=3 b=2 c=二次项系数÷a d=常数项÷b
　　第七次a=3 b=3 c=二次项系数÷a d=常数项÷b
　　......
　　依此类推
　　直到（ad+cb=一次项系数）为止。最终的结果格式为(ax+b)(cx+d)
　　例解：
　　2x^2+7x+6
　　第一次：
　　1 1
　　╳
　　2 6
　　1X6+2X1=8 8>7 不成立 继续试
　　第二次
　　1 2
　　╳
　　2 3
　　1X3+2X2=7 所以 分解后为:(x+2)(2x+3).十字相乘法能把某
编辑本段
十字相乘法（解决两者之间的比例问题）

原理
　　一个集合中的个体，只有2个不同的取值，部分个体取值为A，剩余部分取值为B。平均值为C。求取值为A的个体与取值为B的个体的比例。假设总量为S， A所占的数量为M，B为S-M。
　　则：[A*M+B*（S－M）]/S=C
　　A/S*M/S+B/S*(S-M)/S=C
　　M/S=(C-B)/(A-B)
　　1-M/S=(A-C)/(A-B)
　　因此：M/S∶（1-M/S）=（C-B）∶(A-C)
　　上面的计算过程可以抽象为：
　　A ………C-B
　　……C
　　B……… A-C
　　这就是所谓的十字相乘法。X增加，平均数C向A偏，A-C（每个A给B的值）变小，C-B（每个B获得的值）变大，两者如上相除=每个B得到几个A给的值。即比例，以十字相乘法形式展现更加清晰
十字相乘法使用时的注意
　　第一点：用来解决两者之间的比例问题。
　　第二点：得出的比例关系是基数的比例关系。
　　第三点：总均值放中央，对角线上，大数减小数，结果放在对角线上。
例题
　　某高校2006年度毕业学生7650名，比上年度增长2%，其中本科毕业生比上年度减少2%，而研究生毕业数量比上年度增加10%，那么，这所高校今年（2006）毕业的本科生有多少人？
　　十字相乘法
　　解：去年毕业生一共7500人，7650÷（1+2%）=7500人。
　　本科生：-2%………8%
　　…………………2%
　　研究生：10%……… -4%
　　本科生∶研究生=8%∶(-4%)=-2∶1。
　　去年的本科生：7500×2/3=5000
　　今年的本科生：5000×0.98=4900
　　答：这所高校今年毕业的本科生有4900人。
　　鸡兔同笼问题
　　今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？
　　十字相乘法
　　解：假设全为鸡脚则有70只脚，假设全为兔脚则有120只脚
　　鸡： 70……… …46
　　……………………94
　　兔：140……… …24
　　鸡：兔=46：24=23：12
　　答：鸡有23只，兔有12只。
编辑本段
3.十字相乘法解一元二次方程

　　例1 把2x^2-7x+3分解因式.
　　分析：先 分解二次项系数，
　　分别写在十字交叉线的左上角和左下角，
　　再分解常数项，
　　分别写在十字交叉线的右上角和右下角，
　　然后交叉相乘，
　　求代数和，使其等于一次项系数.
　　分解二次项系数(只取正因数)：
　　2=1×2=2×1；
　　分解常数项： 3=1×3=3×1=(-3)×(-1)=(-1)×(-3).
　　用画十字交叉线方法表示下列四种情况：
　　11╳23 1×3+2×1=5
　　13╳21 1×1+2×3=7
　　1-1╳2 -3 1×(-3)+2×(-1) =-5
　　1 -3 ╳ 2 -1 1×(-1)+2×(-3) =-7
　　经过观察，第四种情况是正确的，这是因为交叉相乘后，两项代数和恰等于一次项系数－7.
　　解 2x^2-7x+3=(x-3)(2x-1).
　　一般地，对于二次三项式ax^2+bx+c(a≠0)，
　　如果二次项系数a可以分解成两个因数之积，
　　即a=a1a2，
　　常数项c可以分解成两个因数之积，
　　即c=c1c2，把a1，a2，c1，c2，
　　排列如下：
　　a1c1 ╳ a2c2
　　a1c2+a2c1
　　按斜线交叉相乘，再相加，得到a1c2+a2c1，
　　若它正好等于二次三项式ax2+bx+c的一次项系数b，
　　即a1c2+a2c1=b，
　　那么二次三项式就可以分解为两个因式a1x+c1与a2x+c2之积，
　　即 ax2+bx+c=(a1x+c1)(a2x+c2).
　　例2 把6x^2-7x-5分解因式.
　　分析：按照例1的方法，
　　分解二次项系数6及常数项-5，
　　把它们分别排列，
　　可有8种不同的排列方法，
　　其中的一种 21╳3-5 2×(-5)+3×1=-7
　　是正确的，因此原多项式可以用十字相乘法分解因式.
　　解 6x^2-7x-5=(2x+1)(3x-5)
　　指出：通过例1和例2可以看到，
　　运用十字相乘法把一个二次项系数不是1的二次三项式因式分解，
　　往往要经过多次观察，
　　才能确定是否可以用十字相乘法分解因式.
　　对于二次项系数是1的二次三项式，
　　也可以用十字相乘法分解因式，
　　这时只需考虑如何把常数项分解因数.
　　例如把x^2+2x-15分解因式，
　　十字相乘法是1-3╳ 15 1×5+1×(-3)=2
　　所以x^2+2x-15=(x-3)(x+5).
　　例3 把5x^2+6xy-8y^2分解因式.
　　分析：这个多项式可以看作是关于x的二次三项式，
　　把-8y^2看作常数项，
　　在分解二次项及常数项系数时，
　　只需分解5与-8，用十字交叉线分解后，
　　经过观察，选取合适的一组，
　　即 12╳ 5-4 1×(-4)+5×2=6
　　解 5x^2+6xy-8y^2=(x+2y)(5x-4y).
　　指出：原式分解为两个关于x，y的一次式.
　　例4 把(x-y)(2x-2y-3)-2分解因式.
　　分析：这个多项式是两个因式之积与另一个因数之差的形式，
　　只有先进行多项式的乘法运算，
　　把变形后的多项式再因式分解.
　　问：两上乘积的因式是什么特点，用什么方法进行多项式的乘法运算最简便?
　　答：第二个因式中的前两项如果提出公因式2，就变为2(x-y)，它是第一个因式的二倍，然后把(x-y)看作一个整体进行乘法运算，可把原多项式变形为关于(x-y)的二次三项式，就可以用十字相乘法分解因式了.
　　解 (x-y)(2x-2y-3)-2
　　=(x-y)[2(x-y)-3]-2
　　=2(x-y) ^2-3(x-y)-2
　　1-2╳ 21
　　1×1+2×(-2)=－3
　　=[(x-y)-2][2(x-y)+1]
　　=(x-y-2)(2x-2y+1).
　　指出：把(x-y)看作一个整体进行因式分解，
　　这又是运用了数学中的“整体”思想方法.例5 x^2+2x-15
　　分析：常数项(-15)<0，可分解成异号两数的积，
　　可分解为(-1)(15)，或(1)(-15)或(3) (-5)或(-3)(5)，
　　其中只有(-3)(5)中-3和5的和为2。 =(x-3)(x+5)
　　总结：①x^2+（p+q）x+pq型的式子的因式分解
　　这类二次三项式的特点是：二次项的系数是1；
　　常数项是两个数的积；一次项系数是常数项的两个因数的和.
　　因此，可以直接将某些二次项的系数是1的二次三项式因式分解：
　　x^2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q)
　　②kx^2+mx+n型的式子的因式分解
　　如果能够分解成k=ac，n=bd，且有ad+bc=m 时，
　　那么 kx^2+mx+n=(ax+b)(cx+d) a b╳c d
　　(1) (x+3)(x-6)=-8 (2) 2x^2+3x=0
　　(3) 6x^2+5x-50=0 (4)x^2-2( + )x+4=0
　　(1)解：(x+3)(x-6)=-8 化简整理得
　　x^2-3x-10=0 (方程左边为二次三项式，右边为零)
　　(x-5)(x+2)=0 (方程左边分解因式)
　　∴x-5=0或x+2=0 (转化成两个一元一次方程)
　　∴x1=5,x2=-2是原方程的解。
　　(2)解：2x^2+3x=0
　　x(2x+3)=0 (用提公因式法将方程左边分解因式)
　　∴x=0或2x+3=0 (转化成两个一元一次方程)
　　∴x1=0，x2=-3/2是原方程的解。
　　注意：有些同学做这种题目时容易丢掉x=0这个解，应记住一元二次方程有两个解。
　　(3)解：6x^2+5x-50=0
　　(2x-5)(3x+10)=0 (十字相乘分解因式时要特别注意符号不要出错)
　　∴2x-5=0或3x+10=0
　　∴x1=5/2, x2=-10/3 是原方程的解。
　　(4)解：x^2-2(+ )x+4 =0 （∵4 可分解为2 ·2 ，∴此题可用因式分解法）
　　(x-2)(x-2 )=0
　　∴x1=2 ,x2=2是原方程的解。
　　例题x^2-x-2=0
　　解：(x+1)(x-2)=0
　　∴x+1=0或x-2=0
　　∴x1=-1,x2=2

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