逻辑学语言的逻辑学的发展 逻辑学发展简史
\u903b\u8f91\u5b66\u7684\u53d1\u5c55\u548c\u4ec0\u4e48\u5bc6\u4e0d\u53ef\u5206\u672c\u6587\u4ece\u81ea\u7136\u8bed\u8a00\u3001\u534a\u5f62\u5f0f\u5316\u8bed\u8a00\u548c\u5f62\u5f0f\u5316\u8bed\u8a00\u7684\u7279\u5f81\u770b\u903b\u8f91\u5b66\u7684\u53d1\u5c55\u3002 \u81ea\u7136\u8bed\u8a00\u6587\u5b57\u7684\u4e00\u4e2a\u91cd\u8981\u7279\u5f81 :
\u4eba\u4eec\u5728\u65e5\u5e38\u751f\u6d3b\u4e2d\u6240\u4f7f\u7528\u7684\u8bed\u8a00\u6587\u5b57\uff0c\u53ef\u4ee5\u5206\u4e3a\u62fc\u97f3\u8bed\u8a00\u6587\u5b57\u548c\u975e\u62fc\u97f3\u8bed\u8a00\u6587\u5b57\u4e24\u5927\u7c7b\u3002\u82f1\u8bed\u8bed\u8a00\u6587\u5b57\u3001\u4fc4\u8bed\u8bed\u8a00\u6587\u5b57\u3001\u6cd5\u8bed\u8bed\u8a00\u6587\u5b57\u3001\u5fb7\u8bed\u8bed\u8a00\u6587\u5b57\u3001\u610f\u5927\u5229\u8bed\u8bed\u8a00\u6587\u5b57\u3001\u897f\u73ed\u7259\u8bed\u8bed\u8a00\u6587\u5b57\u7b49\u90fd\u662f\u62fc\u97f3\u8bed\u8a00\u8bed\u8a00\u6587\u5b57\u3002
\u6c49\u8bed\u8bed\u8a00\u6587\u5b57\u662f\u4e00\u79cd\u975e\u62fc\u97f3\u8bed\u8a00\u8bed\u8a00\u6587\u5b57\u3002\u4e0d\u7ba1\u662f\u62fc\u97f3\u8bed\u8a00\u8bed\u8a00\u6587\u5b57\u8fd8\u662f\u975e\u62fc\u97f3\u8bed\u8a00\u8bed\u8a00\u6587\u5b57\u90fd\u5c5e\u4e8e\u81ea\u7136\u8bed\u8a00\u8bed\u8a00\u6587\u5b57\u7684\u8303\u7574\u3002\u7136\u800c\uff0c\u4efb\u4f55\u4e00\u79cd\u81ea\u7136\u8bed\u8a00\u8bed\u8a00\u6587\u5b57\u90fd\u662f\u4e00\u4e2a\u4e30\u5bcc\u7684\u3001\u590d\u6742\u7684\u201c\u7b26\u53f7\u201d\u7cfb\u7edf\u3002\u8fd9\u79cd\u7b26\u53f7\u7cfb\u7edf\u5305\u62ec\u8bed\u97f3\u3001\u8bed\u6c47\u3001\u8bed\u6cd5\u7b49\u4f5c\u4e3a\u5b50\u7cfb\u7edf\uff0c\u6bcf\u4e00\u5b50\u7cfb\u7edf\u53c8\u90fd\u5305\u62ec\u8bb8\u591a\u4e0d\u540c\u7279\u70b9\u7684\u8bed\u8a00\u5355\u4f4d\uff0c\u5355\u4f4d\u548c\u5355\u4f4d\u4e4b\u95f4\u7684\u5173\u7cfb\u9519\u7efc\u590d\u6742\uff0c\u4f46\u6709\u89c4\u5f8b\u53ef\u5faa\u3002\u5c31\u6bcf\u4e00\u4e2a\u8bed\u8a00\u5355\u4f4d\uff08\u4f8b\u5982\uff0c\u4e00\u4e2a\u8bcd\uff09\u800c\u8a00\uff0c\u5b83\u7684\u8bed\u97f3\u5f62\u5f0f\u662f\u4f9d\u7167\u8bed\u97f3\u7cfb\u7edf\u7684\u89c4\u5219\u6784\u6210\u7684\uff0c\u5b83\u7684\u610f\u4e49\u4e0e\u8bcd\u6c47\u7cfb\u7edf\u4e2d\u7684\u8bb8\u591a\u65b9\u9762\u53d1\u751f\u8054\u7cfb\uff0c\u5b83\u7684\u529f\u80fd\u53d7\u8bed\u6cd5\u89c4\u5f8b\u7684\u652f\u914d\u3002
\u3000\u3000\u4e00\u3001\u903b\u8f91\u5b66\u7684\u53d1\u6e90\u5730\u6709\u4e09\u4e2a\uff0c\u5373\u53e4\u4ee3\u7684\u4e2d\u56fd\u3001\u5370\u5ea6\u548c\u5e0c\u814a\u3002
\u3000\u3000\u4e8c\u3001\u8fd1\u4ee3\u903b\u8f91\u5b66\u7684\u53d1\u5c55
\u3000\u30001 �17\u4e16\u7eaa\uff0c\u82f1\u56fd\u54f2\u5b66\u5bb6\u5f17\u6717\u897f\u65af\u3002\u57f9\u6839\u63d0\u51fa\u4e86\u79d1\u5b66\u5f52\u7eb3\u6cd5\uff0c\u5960\u5b9a\u4e86\u5f52\u7eb3\u903b\u8f91\u7684\u57fa\u7840\u3002\u57f9\u6839\u7684\u4e3b\u8981\u8457\u4f5c\u662f\u300a\u65b0\u5de5\u5177\u300b\uff0c\u5728\u4e66\u4e2d\u4ed6\u63d0\u51fa\u4e86\u201c\u4e09\u8868\u6cd5\u201d\u548c\u201c\u6392\u9664\u6cd5\u201d\u3002
\u3000\u3000\u5728\u57f9\u6839\u4ee5\u540e\uff0c\u82f1\u56fd\u54f2\u5b66\u5bb6\u7ea6\u7ff0\u3002\u7a46\u52d2\u7ee7\u627f\u5e76\u53d1\u5c55\u4e86\u57f9\u6839\u7684\u5f52\u7eb3\u903b\u8f91\uff0c\u5728\u4ed6\u6240\u8457\u7684\u300a\u903b\u8f91\u4f53\u7cfb\uff1a
\u3000\u3000\u5f52\u7eb3\u548c\u6f14\u7ece\u300b\uff08\u4e2d\u8bd1\u672c\u4e3a\u4e25\u590d\u7684\u300a\u7a46\u52d2\u540d\u5b66\u300b\uff09\u4e2d\uff0c\u7cfb\u7edf\u9610\u8ff0\u4e86\u5bfb\u627e\u56e0\u679c\u8054\u7cfb\u7684\u4e94\u79cd\u65b9\u6cd5\uff0c\u5373\u5951\u5408\u6cd5\u3001\u5dee\u5f02\u6cd5\u3001\u5951\u5408\u5dee\u5f02\u5e76\u7528\u6cd5\u3001\u5171\u53d8\u6cd5\u548c\u5269\u4f59\u6cd5\uff0c\u903b\u8f91\u53f2\u4e0a\u79f0\u4e3a\u201c\u7a46\u52d2\u4e94\u6cd5\u201d\u3002
\u3000\u30001662\u5e74\uff0c\u300a\u6ce2\u5c14\u3002\u7f57\u4e9a\u5c14\u903b\u8f91\u300b\u4e00\u4e66\u7684\u51fa\u7248\u6807\u5fd7\u7740\u96c6\u6f14\u7ece\u3001\u5f52\u7eb3\u548c\u4e00\u822c\u65b9\u6cd5\u4e3a\u4e00\u4f53\u7684\u4f20\u7edf\u903b\u8f91\u5df2\u57fa\u672c\u5b9a\u578b\u3002
\u3000\u30002 �18\u4e16\u7eaa\u523019\u4e16\u7eaa\uff0c\u5fb7\u56fd\u53e4\u5178\u54f2\u5b66\u5bb6\u5eb7\u5fb7\u3001\u9ed1\u683c\u5c14\u4e5f\u7814\u7a76\u4e86\u903b\u8f91\u95ee\u9898\u3002\u5eb7\u5fb7\u7b2c\u4e00\u6b21\u4f7f\u7528\u4e86\u201c\u5f62\u5f0f\u903b\u8f91\u201d\u8fd9\u4e2a\u540d\u79f0\uff0c\u4ece\u6b64\u4ee5\u540e\uff0c\u201c\u5f62\u5f0f\u903b\u8f91\u201d\u5f97\u5230\u4e86\u5e7f\u6cdb\u7684\u91c7\u7528\u3002\u9ed1\u683c\u5c14\u5728\u903b\u8f91\u53f2\u4e0a\u63d0\u51fa\u4e86\u7b2c\u4e00\u4e2a\u8fa9\u8bc1\u903b\u8f91\u7684\u4f53\u7cfb\uff0c\u867d\u7136\u4ed6\u7684\u8fa9\u8bc1\u903b\u8f91\u4f53\u7cfb\u662f\u5efa\u7acb\u5728\u552f\u5fc3\u4e3b\u4e49\u57fa\u7840\u4e0a\u7684\uff0c\u4f46\u662f\uff0c\u5176\u4e2d\u5374\u5305\u542b\u7740\u4e0d\u5c11\u5408\u7406\u5185\u6838\u548c\u6df1\u523b\u601d\u60f3\u3002
\u3000\u30003 �19\u4e16\u7eaa\u4e2d\u53f6\u4ee5\u540e\uff0c\u9a6c\u514b\u601d\u3001\u6069\u683c\u65af\u548c\u5217\u5b81\u5bf9\u903b\u8f91\u5b66\u6709\u8bb8\u591a\u7cbe\u8f9f\u7684\u8bba\u8ff0\uff0c\u4e3a\u4e30\u5bcc\u548c\u53d1\u5c55\u666e\u901a\u903b\u8f91\u4f5c\u51fa\u4e86\u91cd\u8981\u8d21\u732e\u3002
\u3000\u3000\u4e09\u300117\u4e16\u7eaa\u5fb7\u56fd\u54f2\u5b66\u5bb6\u83b1\u5e03\u5c3c\u5179\u56e0\u63d0\u51fa\u7528\u6570\u5b66\u65b9\u6cd5\u5904\u7406\u6f14\u7ece\u903b\u8f91\u3001\u628a\u63a8\u7406\u53d8\u6210\u903b\u8f91\u6f14\u7b97\u7684\u601d\u60f3\u800c\u88ab\u516c\u8ba4\u4e3a\u6570\u7406\u903b\u8f91\u7684\u5960\u57fa\u4eba\u300219\u4e16\u7eaa\u82f1\u56fd\u6570\u5b66\u5bb6\u5e03\u5c14\u5efa\u7acb\u4e86\u201c\u903b\u8f91\u4ee3\u6570\u201d\uff08\u5373\u5e03\u5c14\u4ee3\u6570\uff09\uff0c\u628a\u83b1\u5e03\u5c3c\u5179\u7684\u601d\u60f3\u53d8\u4e3a\u73b0\u5b9e\u3002\u968f\u540e\uff0c\u5f17\u96f7\u683c\u3001\u7f57\u7d20\u548c\u6000\u5fb7\u6d77\u7b49\u4eba\u5efa\u7acb\u4e86\u6570\u7406\u903b\u8f91\u7684\u4e24\u4e2a\u57fa\u7840\u6f14\u7b97\uff0c\u5373\u547d\u9898\u6f14\u7b97\u548c\u8c13\u8bcd\u6f14\u7b97\uff0c\u5728\u6b64\u57fa\u7840\u4e0a\uff0c\u6570\u7406\u903b\u8f91\u53d1\u5c55\u6210\u4e3a\u4e00\u95e8\u65b0\u5174\u5b66\u79d1\u3002
本文从自然语言、半形式化语言和形式化语言的特征看逻辑学的发展。 自然语言文字的一个重要特征 : 人们在日常生活中所使用的语言文字，可以分为拼音语言文字和非拼音语言文字两大类。英语语言文字、俄语语言文字、法语语言文字、德语语言文字、意大利语语言文字、西班牙语语言文字等都是拼音语言语言文字。
汉语语言文字是一种非拼音语言语言文字。不管是拼音语言语言文字还是非拼音语言语言文字都属于自然语言语言文字的范畴。然而，任何一种自然语言语言文字都是一个丰富的、复杂的“符号”系统。这种符号系统包括语音、语汇、语法等作为子系统，每一子系统又都包括许多不同特点的语言单位，单位和单位之间的关系错综复杂，但有规律可循。就每一个语言单位（例如，一个词）而言，它的语音形式是依照语音系统的规则构成的，它的意义与词汇系统中的许多方面发生联系，它的功能受语法规律的支配。
语言单位是声音和意义的结合。语言单位的声音虽然千差万别，但是构成不同语言的基础（音位）通常只有 40 个左右。这就说明不同的语音的基础音位是有穷的。由于词是由有限个基础音位生成的，于是，构成任何一种自然语言语言文字的词汇也是有穷的。从而，由有限个词构成的句子也是有穷的。例如，英语语言文字有 26 个字母组成，英语语言文字中的词是由有限个字母的有限次组合而成的，因此，英语语言文字的词的个数是有穷的。 英语语言文字的句子是由有限个词的有限次组合再按照一定的规则生成的，从而，英语语言文字的句子的个数也是有穷的。依次类推由此可得：英语语言文字是一种有穷的语言文字，汉语语言文字也是如此。因为，汉语语言文字是由偏旁部手组成的，虽然汉语语言文字的偏旁部手要比英语语言文字的 26 个字母多得多，但它也只有有穷多个。汉字是由有限个偏旁部手的有限次组合生成的，有限个汉字的有限次组合再按照一定的规则生成句子，等等。
总之，任何一种自然语言文字都是一种有穷语言 。 半形式化语言的主要特征: 半形式化语言的种类很多，我们以数学语言为例来分析半形式化语言所具有的主要特征。
数学语言是指数学这一学科特有的语言。虽然数学语言与自然语言有许多共同之处，但是，任何一个数学分支的语言都是在自然语言的基础上附加一些特定的符号，它们与自然语言相比更具形式化。因此，称它为半形式化的语言。这种半形式化的语言具有以下三个重要特征：
（ 1 ） 无穷性 由于数学研究的对象是“数”与“量”这些无穷概念。而与之相应的任何一种数学语言都是一种无穷语言。因此，它们具有更强的表达能力。就拿最简单的算术语言来说，它研究的对象是 0,1 ， 2 ，…， n ，…这些自然数的性质。除此之外，它还包括+， · 等用来表示自然数加法和乘法运算的符号。对任意的自然数 m 和 n ，人们都可以进行两个自然数的加法（ m+n ）和乘法（ m·n ）的运算。
（ 2 ） 统一性 由于数学语言中使用了特定的记号，从而使数学语言成为一种半形式化的符号语言，这样以来，数学语言比任何一种自然语言更具有“统一性”。如：在任何一种自然语言编著的平面几何学的教科书中，符号“△”都表示三角形。在任何一种自然语言编著的微积分的教材中，符号“∫”都表示积分。因此，数学语言作为一种特定的符号语言，与自然语言相比，它简单、直观和严密。再如，数学命题：“两个数和的平方等于这两个数的平方和再加上这两个数乘积的 2 倍”。用通用的数学符号，就可以形式地表示为：
（ a + b ） 2 = a 2 + 2 ab + b 2
这里的符号 a 和 b 表示任意的数，符号“+”表示加法运算， ab 表示 a 和 b 这两个数的乘积。 x 2 表示 x 自乘，即： x 2 =x·x 。这种写法，全世界的中学生们都认识。
（ 3 ） 可操作性 数学语言作为一种特定的符号语言，与自然语言相比，它与算法建立了联系。因此，它还具有“可操作性”。法国数学家违达提出：我们可以用字母（即符号）表示已知量和未知量，并对此进行纯形式的操作，也即我们可以摆脱问题的具体内容，而从一般角度总结出普遍的算法。正如人们所熟悉的，我们可以按照以下的算法去求得任何一个一元一次方程的解：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤同除以未知数的系数。
因此，许多数学家都认为完美的符号系统促进了整个数学的发展。特别地，数学家克莱因对代数学的情况写道：代数学上的进步是引进了较好的符号体系，这对它本身和分析的发展比 16 世纪技术的进步远为重要。事实上，采取了这一步，才使代数有可能成为一门科学。” （《古今数学思想》，第一册，第 301 页）正是在这种意义上，数学家迪多内认为：“好的符号往往伴随着易于使用它们的算法：我们把这理解为计算或常规的推论，就是说一旦确定之后就是永远如此，对它们的应用几乎是自动化的，不需要从头做起，这样，极为明显地简化了数学语言，并且可以集中注意力于证明的基本要素。”与此相反，“常常是由于缺乏能够说清楚真正实质的符号，数学的某个领域就得不到发展”（郑毓信，第 41 页）。
数学语言与任何一种自然语言相比较，除了具有以上特点外，还具有无歧异性、简明性等特点。
历史上，第一个有意识地、系统地在数学中使用字母的学者是十六世纪法国数学家韦达。他的这一工作不仅推动了代数学的发展，而且对十七世纪的数学家和逻辑学家莱布尼茨启发很大。因此，使数学本身有一套完美的、通用的符号，成为莱布尼茨在数学研究中的努力追求。因此，莱布尼茨的工作，导致了他在数学符号发展史上占据着重要的地位。如：莱布尼茨本人创立的微积分符号体系。在他的符号体系中， dx 表示 x 的微分， ddx 和 dddx 分别表示 x 的二阶和三阶微分。他还用符号 d m x 来表示 x 的 n 阶微分，特别地，他把复合函数的求导法则表示成：
dy/dx = （ dy/dz ）（ dz/dx ）。
尽管在创建微积分的过程中，牛顿也曾创立了另一种不同的符号体系。由于民族的偏见，英国的数学家曾在很长的时间内对莱布尼茨的符号体系进行抵制并坚持采用牛顿的符号。但终因莱布尼茨的符号体系更为便利，从而得到了普遍的应用并一直沿用至今。
然而，我国在辛亥革命之前，由于没有采用国际上通用的数学符号体系。直到 1906 年，京师大学堂使用的教科书上，仍然用天、地、人、元表示未知数，用符号“ ⊥ ”和“|”分别表示加和减，分数则自上而下读。因此，含有四个未知数 x ， y ， z ， w 的多项式
w 2 /5 － z 3 /3 + x 2 y 4 /27
被表示成：
五 ? 三 ? 二七
元 二 ? 人 三 ^ 天 二 地 四
这种表示方法显然是极不方便的，因此，也就必然遭到淘汰（郑毓信，第 44 页）。
总之，数学符号被看成数学的一个重要组成部分。数学的发展在很大程度上可以被认为数学语言的更新与扩展，而这种不断更新的数学语言又对自然界的认识与改造提供了更为有力的武器。 形式化语言及其特征: 形式化语言的种类也很多。我们以逻辑的语言为代表来分析形式化语言所具有的主要特征。
建立逻辑的语言，使逻辑学象数学那样也有一套完美的、通用的符号，其思想也可以追溯到莱布尼茨。他认为，我们可以建立一种普遍的、没有歧义的语言，通过这种语言，就可以把推理转变为演算。一旦发生争论，我们只要坐下来，拿出纸和笔算一算就行了。这里，他实际上提出了数理逻辑的两个基本思想：构造形式语言和建立演算。但是，对于他所设想的语言，他要求：“它能这样地形成和排列符号，使得它能表达一些思想，或者说使得它们之间具有和这些思想之间的关系相同的关系。
一个表达式是一些符号的组合，这些符号能表象被表示的事物，表达式的规律如下：如果被表示的那个事物的观念是由一些事物的一些观念组成的，那么那个事物的表达式也是由这些事物的符号组成的。”（张家龙，第 46-47 页） 莱布 尼 茨的这些论述，实际上就是要将逻辑形式化。不过莱布 尼 茨没有实现他的两个设想。
1879年，逻辑学家弗雷格发表了名著的《概念文字——一种模仿算术语言构造的纯思维的形式语言》。在这本书中，弗雷格借鉴了两种语言，一种是传统逻辑使用的语言，另一种是算术的语言。从而成功地构造了一种逻辑的形式语言，即：一种表意的符号语言，并且用这种语言建立了一个一阶谓词演算系统，实现了莱布尼茨提出建立一种普遍语言的思想。其实，在莱布尼茨之前，从亚里士多德开始，对逻辑学的研究所使用的语言就是一种半形式化的语言。这种半形式化的语言就是用字母表达一般概念。如，亚里士多德在《前分析篇》中用字母来表达一般概念，给出了三段论的推理形式。从逻辑的观点看，三段论最重要的方面是它的形式。一个三段论推理是否有效，完全决定于它的形式。下面的推理
? 所有的植物都是需要阳光的，
（ 2） 所有的植物都是生物，
（ 3） 所以，有些生物是需要阳光的。
就是一个三段论的具体例子。如果用三个字母 P、S和M分别表示这个三段论的大项（阳光）、小项（生物）和中项（植物），那么这个三段论的前提和结论的推理形式就可以形式的表示如下：
MAP
MAS
SIP
它是第三格的 AAI式。这个推理在前提的主项非空的条件下有效（ 宋文坚，第 149 ～ 151 页 ）。但是，这里的三个字母 P、S和M还可以用来表示其它的概念。
在弗雷格构造的形式语言中，他用“ ? — ”表示判断符号，用“ ? ﹁— ”表示否定符号，用“≡”表示内容统一符号，用“ F （ A）”表示函数符号，等等。因此，“李四有死”可以表示为： ? — F（a）。 弗雷格使用这些符号，不仅表达了推理的形式和规则，而且还成功构造了第一个初步自足地逻辑演算系统。但是，他使用的符号不利于印刷。1910-1913年，罗素和怀特海发表了《数 学 原理》。在这部逻辑著作中，他们改进了弗雷格的表述方式，发展和完善了弗雷格的形式语言和形式推理系统。
现在，一个一阶谓词演算系统的形式语言，通常是在命题演算系统的形式语言 L 0 （简称：命题语言）的基础上建立起来的。一个命题的形式语言 L 0 一般由两部分组成。（ 1）形式语言 L 0 的字母表，即 L 0 的初始符号；（ 2）形式语言 L 0 的形式规则。下面给出的是一种常用的命题的形式语言 L 0 。
L 0 的初始符号：
甲类： p，q，r，s，p 0 ，q 0 ，r 0 ，s 0 ，p 1 ，…；
乙类： ? ， ù ， ú ， ? ， ? ；
丙类：（，）。
初始符号相当于自然语言中符号的字母表。形式语言 L 0 实际上有可数可穷多个符号组成，即： L 0 = { ? ， ù ， ú ， ? ， ? ，（，）， p，q，r，s，p 0 ，q 0 ，r 0 ，s 0 ，p 1 ，… }。不做解释时，我们只能从它们的外形和它们所占具的空间上去认识它们。从外形上，我们可以区别出“ p ”与“ q ”不同，“ ? ”与“ ú ”不同等等。经解释后，甲类符号表示可数无穷多个命题变项，乙类符号是真值联结词。“ ? ”称为否定词，“ ù ”称为析取词，“ ú ”称为合取词，“ ? ”称为蕴涵词，“ ? ”称为等值词。并按下表对它们进行解释。
p q ? p p ù q p ú q p ? q p ? q
真 真 假 真 真 真 真
真 假 假 假 真 假 假
假 真 真 假 真 真 假
假 假 真 假 假 真 真
丙类符号分别是：左括号和右括号，它们起标点的作用。
一个拼音语言，当它的字母表给定以后，人们就可以随意地对字母表中的字母进行排列。但是，这样随意排列出来的符号序列，并不一定都有意义。于是，人们又规定了一些拼音的规则，使得用这些规则排列出来符号序列有意义，即表示字或者表示一定的意义（即句子）。对于命题语言 L 0 来说， L 0 的初始符号 所组成的符号序列对我们来说，并非都有意义。我们也将规定一些规则，使得按我们的规则形成的符号序列有意义，否则就无意义。
L 0 的形成规则：
甲：任一甲类符号是一合式公式；
乙：如果有穷符号序列 X 是合式公式，则 ? X 也是合式公式；
丙：如果有穷符号序列 X 和 Y 都是合成公式，则（ X ù Y ），（ X ú Y ），（ X ? Y ）和（ X ? Y ）也都是合成公式；
丁：只有适合以上三条的符号序列才是合成公式，简称为公式。
这里，形成规则甲规定：命题变项 p，q，r 等都是公式，这类公式也叫做原子公式，因为它们不能再分解。乙和丙都是由原子公式生成的，因此它们也被称为复合公式，乙类公式叫做否定式，而丙类公式分别叫做合取式、析取式、蕴涵式和等值式，丁是限制性规则，说明哪些符号序列不是公式。
在命题语言 L 0 的初始符号中，为什么要有命题变项、真值联结词和括号这三类符号呢？因为哲学家争论的问题都是一些用自然语言描述的语句。在这些语句中，命题又是最简单的形式。如“亚里士多德是哲学家”。要把这类命题转化成计算，就需要把具体的命题抽象化。象数学那样，把一些具体的量抽象化。如： 1 个苹果或者 2 个香蕉或者 3 个梨等，把这些具体的量抽象化后，用一个变量 x 表示。但 x 本身是一个抽象的量。这里的 x 可以代表 1 个苹果，也可以代表 2 个香蕉，当然也可以表示 3 个梨。现在，我们用符号 p 、 q 等来表示用自然语言描述的命题，因此，对它们的解释是不固的。需要注意：由于 p 、 q 等表示的不是数量，为了与数学变量相区别，人们把它们叫做命题变项，而不叫命题变量。另外，对任意的两个数 x 和 y 来说，我们都能做 x 和 y 的加法 x+y 运算。对命题变项 p 和 q 来说，我们给命题联结词以固定的符号，将这些符号作为命题之间的运算符号或算子。而括号的使用只是为了书写的方便，正如我们在算术的四则运算中也使用括号一样。还有一点值得一提，我们所使用的命题变项符号 p ， q 等表示或真或假的命题，用联结词运算所得到的结果，仍然是表示或真或假的命题。这一点也恰好是数学计算结果对、错的体现。
命题语言只能将哲学家讨论的问题做一种最简单的形式处理。随着研究的不断深入，我们需要对哲学家讨论问题时，所使用的基本单位——命题继续分析。分析出语句中所含的个体词、谓词（即关系词）和量词等，从而揭示简单命题的形式结构。因此，在形式语言 L 0 的基础上增加适当的符号，就可以建立起一阶（形式）语言 L 1 。
L 1 的初始符号：
甲类： v ， v 0 ， v 1 ， v 2 ，…；
乙类： ? ， ù ， ú ， ? ， ? ；
丙类： （，）；
丁类： ， $ ；
戊类：对于每个大于等于 1 的自然数 n ， P n ， Q n ， R n …（可以没有）；
己类： c ， c 0 ， c 1 ， c 2 ，…（可以没有）。
这里，甲类符号表示可数无穷多个个体变项，乙类符号表示逻辑联结词，丙类符号表示技术性符号，丁类符号表示量词，其中（ ）为全称量词符号，（ $ ）为存在量词符号，戊类符号表示无穷多个 n 元谓词或关系符号，己类符号表示无穷多个个体常项。另外，在一个一阶语言 L 1 的初始符号中，运算符可以有也可以没有，这里我们给出的是一个没有运算符号的一阶语言。
如果我们约定用 A 0 表示甲～丁类中所有符号的集合，用 S 表示戊类和己类所有符号的集合， S 可以是空集，并且 A 0 和 S 是不交的，即： A 0 ? S = ? 。为此，我们称 A s = A 0 è S 为由 S 所确定的一个一阶语言 L 1 的符号集。
对任何一个一阶语言 L 1 来说， A 0 都是不变的，所以甲～丁类符号又叫做逻辑符号。 S 是可变的，戊～己类符号又叫做非逻辑符号。给定 S ，也就确定了一个一阶语言 L 1 。 S 不同，所确定的一阶语言也不同。我们说给定一个一阶语言 L 1 ，就是给定了 L 1 的符号集合 S 。
L 1 的形成规则：
甲：个体变项和 S 中的个体常项统称 S 项， S 项用 t 或加下标表示；
乙：如果 t 0 ， t 1 ，…， t n-1 都是 S 项，而 R n 是 S 中的任一 n 元关系符号，那么 R n （ t 0 ， t 1 ，…， t n-1 ）是一个 L 1 表达式；
丙：如果 a 是 S 表达式，那么 ? a 也是；
丁：如果 a 和 b 都是 S 表达式，那么（ a ù b ），（ a ú b ），（ a ? b ）和（ a ? b ）也都是；
戊：如果 a 是一个 S 表达式，而 x 是一个个体变项，那么 x a 和 $ x a 都是 S 表达式；
己：只有适合以上乙～戊四条的符号序列才是 S 表达式。
其中：按照规则乙形成的 L 1 表达式叫做原子公式。按照规则丙形成的 L 1 表达式 ? a 叫做 a 的否定式。由规则丁形成的表达式分别叫做 a 和 b 的合取式、析取式、蕴涵式和等值式。由规则戊形成的表达式 x a 和 $ x a 分别叫做 a 的全称式和存在式。
总之，在逻辑学中，形式语言最核心的思想是把自然语言描述的语句抽象化、符号化。即：用符号表示客观世界中或真或假的命题。这样建立起来的形式语言，除了具有数学语言所具有的一般特征外，它还具有 离散性 和 递归性 。这使得形式语言可以借助于某些数学的方法进行研究，如公理化方法和集合论模型方法。
至此，我们就可以将自然语言表述的论断：“世上决没有无缘无故的爱，也没有无缘无故的恨 ” 用一阶语言 L 1 的符号刻画出来。
这个论断最简单的表示方法为： p （ 1 ）
从推理的角度看，我们还应该把这个论断的表示形式再细分，在这个意义上，（ 1 ）式又可以表示为：
没有无缘无故的爱 也 没有无缘无故的恨 （ 2 ）
（ 1 ）式已被分析成两个命题。
（ 2 ）式又可以再细分为：
? 存在无缘无故的爱 ù 存在无缘无故的恨 （ 3 ）
（ 2 ）式中的否定词被分析出来了。如果令 p 表示：“存在无缘无故的爱”，令 q 表示：“存在无缘无故的恨”，则（ 3 ）被形式的表示为：
? p ù ? q
如果将（ 3 ）式中的存在量词分析出来，（ 3 ）式又可以表示为：
? $ x （无缘无故的爱（ x ）） ù ? $ y （无缘无故的恨（ y ）） （ 4 ）
如果将（ 4 ）式中爱和恨的概念分析出来，（ 4 ）式又可以表示为：
? $ x （爱（ x ） ù ? 有缘故（ x ）） ù ? $ y （恨（ y ） ù ? 有缘故（ y ）） （ 5 ）
如果将（ 5 ）式中爱和恨的原因分析出来，（ 5 ）式又可以表示为：
? $ x （爱（ x ） ù ? $ z 缘故（ x ， z ）） ù ? $ y （恨（ y ） ù ? $ w 缘故（ y ， w ）） （ 6 ）
再令 F 表示一元谓词“爱”， H 表示一元谓词“恨”，令 G 表示二元谓词“缘故”，则（ 6 ）式又可以形式的表示为：
? $ x （ F （ x ） ù ? $ zG （ x ， z ）） ù ? $ y （ H （ y ） ù ? $ wG （ y ， w ）） （ 7 ）
这样以来，在命题语言 L 0 中，我们把论断“世上决没有无缘无故的爱，也没有无缘无故的恨 ”形式地表示为： ? p ù ? q 。在一阶语言 L 1 中，我们可以把论断“世上决没有无缘无故的爱，也没有无缘无故的恨 ”进一步地表示为（ 7 ）式。
但是，在 L 1 中，人们仍然不能处理象“亚里士多德可能是哲学家”这类命题。要处理这类命题，只需将一阶语言 L 1 （或命题语言 L 0 ）进行扩充。即在 L 1 （或 L 0 ）的基础上，增加模态算子“可能”，形式地记作◇。于是，我们又得到了处理模态语句的形式语言 L 1 è {◇}。在此基础上，人们又创立了模态逻辑的各类形式系统。从命题语言 L 0 到一阶语言 L 1 ，再到模态语言 L 1 è {◇}的这一过程，类似于数集的扩充。即：人们最先认识和使用的数都是一些自然数（即：正整数），如 1 ， 2 ，…， n 等等。所有自然数集的全体记作 N 。随后人们认识了数零，即： 0 。由于生产和生活的需要，在引入负数的概念之后，数集就随之扩大。于是，就有了整数集 Z 。即：整数集包括：自然数（正整数）、零和负整数。
亦即：
Z = { 1 ， 2 ， 3 ，…， n ，…} è { 0 } è {…， -n ，…， -3 ， -2 ， -1 }
= {…， -n ，…， -3 ， -2 ， -1 ， 0 ， 1 ， 2 ， 3 ，…， n ，…}
随后，人们把整数加密，引入了分数的概念，例如，在 1 和 2 之间加入了 1/2 。在此基础上，整数集 Z 就被扩大到了有理数集 Q 。最后，在有理数集的基础上，又增加了无理数，有理数集被扩充到了实数集 R 。即：
N í Z í Q í R 。
总之，随着生产和生活的需要，数集在不断扩大。同理，随着对逻辑学的深入研究，逻辑所使用的形式语言的符号集也在逐步扩大，并由此得到了不同的形式语言。
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