(cosx)^4不定积分怎么算？ (cosx)^4的不定积分怎么求

1/cosx^4\u7684\u4e0d\u5b9a\u79ef\u5206\u600e\u4e48\u6c42

\u222b1/( cosx )4dx =1/3tan³x+tanx+c\u3002c\u4e3a\u79ef\u5206\u5e38\u6570\u3002
\u89e3\u7b54\u8fc7\u7a0b\u5982\u4e0b\uff1a
\u222b1/( cosx )4dx
=\u222bsec^4x dx
=\u222bsec²xdtanx
=\u222b(tan²x+1)dtanx
=1/3tan³x+tanx+c
\u6269\u5c55\u8d44\u6599\uff1a
\u540c\u89d2\u4e09\u89d2\u51fd\u6570\u7684\u57fa\u672c\u5173\u7cfb\u5f0f
\u5012\u6570\u5173\u7cfb\uff1atan\u03b1 \u00b7cot\u03b1=1\u3001sin\u03b1 \u00b7csc\u03b1=1\u3001cos\u03b1 \u00b7sec\u03b1=1\uff1b
\u5546\u7684\u5173\u7cfb\uff1a sin\u03b1/cos\u03b1=tan\u03b1=sec\u03b1/csc\u03b1\u3001cos\u03b1/sin\u03b1=cot\u03b1=csc\u03b1/sec\u03b1\uff1b
\u548c\u7684\u5173\u7cfb\uff1asin2\u03b1+cos2\u03b1=1\u30011+tan2\u03b1=sec2\u03b1\u30011+cot2\u03b1=csc2\u03b1\uff1b
\u5e73\u65b9\u5173\u7cfb\uff1asin²\u03b1+cos²\u03b1=1\u3002
\u5e38\u7528\u79ef\u5206\u516c\u5f0f\uff1a
1\uff09\u222b0dx=c
2\uff09\u222bx^udx=(x^(u+1))/(u+1)+c
3\uff09\u222b1/xdx=ln|x|+c
4\uff09\u222ba^xdx=(a^x)/lna+c
5\uff09\u222be^xdx=e^x+c
6\uff09\u222bsinxdx=-cosx+c
7\uff09\u222bcosxdx=sinx+c
8\uff09\u222b1/(cosx)^2dx=tanx+c
9\uff09\u222b1/(sinx)^2dx=-cotx+c
10\uff09\u222b1/\u221a\uff081-x^2) dx=arcsinx+c

\u5177\u4f53\u6b65\u9aa4\u5982\u4e0b\uff1a

(cosx)^4
=cos⁴x
=(cos²x)²
=[(1+cos2x)/2]²
=(1/4)(1+2cos2x+cos²2x)
=(1/4)+(1/2)cos2x+(1/8)(1+cos4x)
=(3/8)+(1/2)cos2x+(1/8)cos4x\u222bdaocos⁴xdx
=\u222b[(3/8)+(1/2)cos2x+(1/8)cos4x]dx
=(3/8)x+(1/4)sin2x+(1/32)sin4x+C

\u6269\u5c55\u5185\u5bb9\uff1a

\u4e00\u3001\u7b80\u4ecb
\u5728\u5fae\u79ef\u5206\u4e2d\uff0c\u4e00\u4e2a\u51fd\u6570f \u7684\u4e0d\u5b9a\u79ef\u5206\uff0c\u6216\u539f\u51fd\u6570\uff0c\u6216\u53cd\u5bfc\u6570\uff0c\u662f\u4e00\u4e2a\u5bfc\u6570\u7b49\u4e8ef \u7684\u51fd\u6570 F \uff0c\u5373F \u2032 = f\u3002
\u4e0d\u5b9a\u79ef\u5206\u548c\u5b9a\u79ef\u5206\u95f4\u7684\u5173\u7cfb\u7531\u5fae\u79ef\u5206\u57fa\u672c\u5b9a\u7406\u786e\u5b9a\u3002\u5176\u4e2dF\u662ff\u7684\u4e0d\u5b9a\u79ef\u5206\u3002
\u4e8c\u3001\u89e3\u91ca
\u6839\u636e\u725b\u987f-\u83b1\u5e03\u5c3c\u8328\u516c\u5f0f\uff0c\u8bb8\u591a\u51fd\u6570\u7684\u5b9a\u79ef\u5206\u7684\u8ba1\u7b97\u5c31\u53ef\u4ee5\u7b80\u4fbf\u5730\u901a\u8fc7\u6c42\u4e0d\u5b9a\u79ef\u5206\u6765\u8fdb\u884c\u3002\u8fd9\u91cc\u8981\u6ce8\u610f\u4e0d\u5b9a\u79ef\u5206\u4e0e\u5b9a\u79ef\u5206\u4e4b\u95f4\u7684\u5173\u7cfb\uff1a\u5b9a\u79ef\u5206\u662f\u4e00\u4e2a\u6570\uff0c\u800c\u4e0d\u5b9a\u79ef\u5206\u662f\u4e00\u4e2a\u8868\u8fbe\u5f0f\uff0c\u5b83\u4eec\u4ec5\u4ec5\u662f\u6570\u5b66\u4e0a\u6709\u4e00\u4e2a\u8ba1\u7b97\u5173\u7cfb\u3002\u4e00\u4e2a\u51fd\u6570\uff0c\u53ef\u4ee5\u5b58\u5728\u4e0d\u5b9a\u79ef\u5206\uff0c\u800c\u4e0d\u5b58\u5728\u5b9a\u79ef\u5206\uff0c\u4e5f\u53ef\u4ee5\u5b58\u5728\u5b9a\u79ef\u5206\uff0c\u800c\u6ca1\u6709\u4e0d\u5b9a\u79ef\u5206\u3002\u8fde\u7eed\u51fd\u6570\uff0c\u4e00\u5b9a\u5b58\u5728\u5b9a\u79ef\u5206\u548c\u4e0d\u5b9a\u79ef\u5206\uff1b\u82e5\u5728\u6709\u9650\u533a\u95f4[a,b]\u4e0a\u53ea\u6709\u6709\u9650\u4e2a\u95f4\u65ad\u70b9\u4e14\u51fd\u6570\u6709\u754c\uff0c\u5219\u5b9a\u79ef\u5206\u5b58\u5728\uff1b\u82e5\u6709\u8df3\u8dc3\u3001\u53ef\u53bb\u3001\u65e0\u7a77\u95f4\u65ad\u70b9\uff0c\u5219\u539f\u51fd\u6570\u4e00\u5b9a\u4e0d\u5b58\u5728\uff0c\u5373\u4e0d\u5b9a\u79ef\u5206\u4e00\u5b9a\u4e0d\u5b58\u5728\u3002
\u4e09\u3001\u6027\u8d28
1\u3001\u51fd\u6570\u7684\u548c\u7684\u4e0d\u5b9a\u79ef\u5206\u7b49\u4e8e\u5404\u4e2a\u51fd\u6570\u7684\u4e0d\u5b9a\u79ef\u5206\u7684\u548c\uff1b\u5373\uff1a\u8bbe\u51fd\u6570 \u53ca \u7684\u539f\u51fd\u6570\u5b58\u5728\uff0c\u5219

2\u3001\u6c42\u4e0d\u5b9a\u79ef\u5206\u65f6\uff0c\u88ab\u79ef\u51fd\u6570\u4e2d\u7684\u5e38\u6570\u56e0\u5b50\u53ef\u4ee5\u63d0\u5230\u79ef\u5206\u53f7\u5916\u9762\u6765\u3002\u5373\uff1a\u8bbe\u51fd\u6570 \u7684\u539f\u51fd\u6570\u5b58\u5728\uff0c \u975e\u96f6\u5e38\u6570

\u56db\u3001\u6c42\u89e3
\u8bbeF(x)\u662f\u51fd\u6570f(x)\u7684\u4e00\u4e2a\u539f\u51fd\u6570\uff0c\u6211\u4eec\u628a\u51fd\u6570f(x)\u7684\u6240\u6709\u539f\u51fd\u6570F(x)+ C(\u5176\u4e2d\uff0cC\u4e3a\u4efb\u610f\u5e38\u6570\uff09\u53eb\u505a\u51fd\u6570f(x)\u7684\u4e0d\u5b9a\u79ef\u5206\uff0c\u53c8\u53eb\u505a\u51fd\u6570f(x)\u7684\u53cd\u5bfc\u6570\uff0c\u8bb0\u4f5c\u222bf(x)dx\u6216\u8005\u222bf\uff08\u9ad8\u7b49\u5fae\u79ef\u5206\u4e2d\u5e38\u7701\u53bbdx\uff09\uff0c\u5373\u222bf(x)dx=F(x)+C\u3002
\u5176\u4e2d\u222b\u53eb\u505a\u79ef\u5206\u53f7\uff0cf(x)\u53eb\u505a\u88ab\u79ef\u51fd\u6570\uff0cx\u53eb\u505a\u79ef\u5206\u53d8\u91cf\uff0cf(x)dx\u53eb\u505a\u88ab\u79ef\u5f0f\uff0cC\u53eb\u505a\u79ef\u5206\u5e38\u6570\u6216\u79ef\u5206\u5e38\u91cf\uff0c\u6c42\u5df2\u77e5\u51fd\u6570\u7684\u4e0d\u5b9a\u79ef\u5206\u7684\u8fc7\u7a0b\u53eb\u505a\u5bf9\u8fd9\u4e2a\u51fd\u6570\u8fdb\u884c\u4e0d\u5b9a\u79ef\u5206\u3002
\u6c42\u51fd\u6570f(x)\u7684\u4e0d\u5b9a\u79ef\u5206\uff0c\u5c31\u662f\u8981\u6c42\u51faf(x)\u7684\u6240\u6709\u7684\u539f\u51fd\u6570\uff0c\u7531\u539f\u51fd\u6570\u7684\u6027\u8d28\u53ef\u77e5\uff0c\u53ea\u8981\u6c42\u51fa\u51fd\u6570f(x)\u7684\u4e00\u4e2a\u539f\u51fd\u6570\uff0c\u518d\u52a0\u4e0a\u4efb\u610f\u7684\u5e38\u6570C\u5c31\u5f97\u5230\u51fd\u6570f(x)\u7684\u4e0d\u5b9a\u79ef\u5206\u3002

具体步骤如下：

(cosx)^4

=cos⁴x

=(cos²x)²

=[(1+cos2x)/2]²

=(1/4)(1+2cos2x+cos²2x)

=(1/4)+(1/2)cos2x+(1/8)(1+cos4x)

=(3/8)+(1/2)cos2x+(1/8)cos4x∫cos⁴xdx

=∫[(3/8)+(1/2)cos2x+(1/8)cos4x]dx

=(3/8)x+(1/4)sin2x+(1/32)sin4x+C

不可积函数

虽然很多函数都可通过如上的各种手段计算其不定积分，但这并不意味着所有的函数的原函数都可以表示成初等函数的有限次复合。

原函数不可以表示成初等函数的有限次复合的函数称为不可积函数。利用微分代数中的微分Galois理论可以证明，如 ，xx ，sinx/x这样的函数是不可积的。

具体步骤如下：

(cosx)^4
=cos⁴x
=(cos²x)²
=[(1+cos2x)/2]²
=(1/4)(1+2cos2x+cos²2x)
=(1/4)+(1/2)cos2x+(1/8)(1+cos4x)
=(3/8)+(1/2)cos2x+(1/8)cos4x∫cos⁴xdx
=∫[(3/8)+(1/2)cos2x+(1/8)cos4x]dx
=(3/8)x+(1/4)sin2x+(1/32)sin4x+C

涓嶅畾绉垎棰樷︽眰绉垎(cosx)^4/sinx鈥︹鎬庝箞绉垎鈥?
绛旓細濡傚浘

姹(sinx)^2(cosx)^4鐨涓嶅畾绉垎
绛旓細姹(sinx)^2(cosx)^4鐨涓嶅畾绉垎  鎴戞潵绛 1涓洖绛 #鐑# 寮犳姊呭府鍔╃殑鍙湁濂崇敓鍚?hubingdi1984 2014-12-18 路 TA鑾峰緱瓒呰繃1.1涓囦釜璧 鐭ラ亾澶ф湁鍙负绛斾富 鍥炵瓟閲:9437 閲囩撼鐜:84% 甯姪鐨勪汉:5815涓 鎴戜篃鍘荤瓟棰樿闂釜浜洪〉 灞曞紑鍏ㄩ儴 杩界瓟 璇烽噰绾,鏈夌枒闂彲杩介棶,璋㈣阿! 宸茶禐杩 宸茶俯杩< 浣...

姹(sinx+cosx)鐨鍥娆℃柟鐨涓嶅畾绉垎
绛旓細绛旀鏄細鍘熷紡=-鈭玠(cosx)/(cosx)^4=1/3*1/(cosx)^3+C銆備互涓嬫槸涓嶅畾绉垎鐨勭浉鍏充粙缁嶏細鏍规嵁鐗涢】-鑾卞竷灏艰尐鍏紡锛岃澶氬嚱鏁扮殑瀹氱Н鍒嗙殑璁＄畻灏卞彲浠ョ畝渚垮湴閫氳繃姹備笉瀹氱Н鍒嗘潵杩涜銆傝繖閲岃娉ㄦ剰涓嶅畾绉垎涓庡畾绉垎涔嬮棿鐨勫叧绯伙細瀹氱Н鍒嗘槸涓涓暟锛岃屼笉瀹氱Н鍒嗘槸涓涓〃杈惧紡锛屽畠浠粎浠呮槸鏁板涓婃湁涓涓绠楀叧绯汇備竴涓...

cosx鐨鍥娆℃柟鐨瀹氱Н鍒嗘庝箞绠鈥
绛旓細瑙ｉ杩囩▼濡備笅锛氬師寮=鈭(cosx)^4 dx =鈭(1-sinx^2)cosx^2dx =鈭玞osx^2dx-鈭玸inx^2cosx^2dx =鈭(1/2)(1+cos2x)x-鈭(1/4)[(1-cos4x)/2]dx =(x/2)+(1/4)sin2x-(x/8)+(1/32)sin4x+C =3x/8+(1/4)sin2x+(1/32)sin4x+C ...

姹備笅鍒涓嶅畾绉垎 鈭1/[(sinx)^4+(cosx)^4]dx
绛旓細璇︾粏瑙ｇ瓟濡備笅锛岀偣鍑绘斁澶у浘鐗囷細

璁＄畻涓嶅畾绉垎鈭玿cos^4(x/2)/sin^3(x)dx
绛旓細鈭玿cos^4(x/2)/sin^3(x)dx=-1/8xcsc²锛坸/2锛-1/4cot锛坸/2锛+C銆侰涓哄父鏁般傝В绛旇繃绋嬪涓嬶細

姹涓嶅畾绉垎鈭1/(sinx)(cosx)^4
绛旓細=-鈭 1/u^4 du + 鈭 1/(u²-1) du - 鈭 1/u² du =1/(3u³) + (1/2)ln|(u-1)/(u+1)| + 1/u + C =(1/3)sec³x + (1/2)ln|(1-cosx)/(1+cosx)| + secx + C 銆愭暟瀛︿箣缇庛戝洟闃熶负鎮ㄨВ绛旓紝鑻ユ湁涓嶆噦璇疯拷闂紝濡傛灉瑙ｅ喅闂璇风偣涓嬮潰鐨勨...

杩欎釜涓嶅畾绉垎鎬庝箞姹
绛旓細鐨勫嚱鏁 F 锛屽嵆F 鈥 = f銆涓嶅畾绉垎鍜屽畾绉垎闂寸殑鍏崇郴鐢卞井绉垎鍩烘湰瀹氱悊纭畾銆傚叾涓璅鏄痜鐨勪笉瀹氱Н鍒嗐傝繖鏍凤紝璁稿鍑芥暟鐨勫畾绉垎鐨璁＄畻灏卞彲浠ョ畝渚垮湴閫氳繃姹備笉瀹氱Н鍒嗘潵杩涜銆備笉瀹氱Н鍒嗗彧鏄鏁扮殑閫嗚繍绠楋紝鎵浠ヤ篃鍙仛鍙嶅鏁般傝屽畾绉垎鏄眰涓涓嚱鏁扮殑鍥惧舰鍦ㄤ竴涓棴鍖洪棿涓婂拰 x 鍧愭爣杞村洿鎴愮殑闈㈢Н銆

姹俿inx/(cosx)^4鐨涓嶅畾绉垎,闇瑕佽缁嗙殑瑙ｇ瓟杩囩▼,璋㈣阿!
绛旓細鍘熷紡=鈭-dcosx/cos^4x =-鈭(cosx)^(-4)dcosx =-cos^(-4+1)/(-4+1)+C =1/(3cos³x)+C

cosx^-4鐨涓嶅畾绉垎,濡備綍璁＄畻?
绛旓細鍒嗕韩涓绉嶈В娉曘傗埆dx/(cosx)^4=鈭(secx)^4dx=鈭玸ec²xd(tanx)=鈭(tan²x+1)d(tanx)=(1/3)tan³x+tanx+C銆備緵鍙傝 銆

扩展阅读：积分公式表大全 ... cosx 4 ... 计算定积分∫xcosxdx ... x x-1 积分 ... 不定积分万能公式dx ... 不定积分∫xcosxdx ... ∫微积分计算器 ... xf sinx dx ... cosx的n次方积分规律 ...