设n 阶矩阵a 的每行元素之和为c ,每列元素之和为d 由a的每行元素之和均为4，可知列向量'是a的属于特征值4的特...
\u8bbeN\u9636\u65b9\u9635A\u7684\u6bcf\u884c\u5143\u7d20\u4e4b\u548c\u5747\u4e3a\u96f6\uff0c\u7531r(A)=n-1,\u9f50\u6b21\u7ebf\u6027\u65b9\u7a0b\u7ec4AX=0\u7684\u901a\u89e3\u4e3a\u56e0\u4e3aA\u7684\u6bcf\u884c\u5143\u7d20\u4e4b\u548c\u5747\u4e3a\u96f6
\u6240\u4ee5 A(1,1,...,1)^T = 0
\u5373 (1,1,...,1)^T \u662f AX=0 \u7684\u89e3
\u53c8\u56e0\u4e3a R(A)=n-1, \u6240\u4ee5 AX=0 \u7684\u57fa\u7840\u89e3\u7cfb\u542b n-(n-1)=1 \u4e2a\u89e3\u5411\u91cf
\u6240\u4ee5 (1,1,...,1)^T \u662fAX=0 \u7684\u57fa\u7840\u89e3\u7cfb.
\u6545 AX=0 \u7684\u901a\u89e3\u4e3a c(1,1,...,1)^T.
\u89e3\u9898\u8fc7\u7a0b\u5982\u4e0b\u56fe\uff1a
\u6269\u5c55\u8d44\u6599\u8ba1\u7b97\u77e9\u9635\u7684\u7279\u5f81\u503c\u548c\u7279\u5f81\u5411\u91cf
\u5047\u8bbe\u6211\u4eec\u60f3\u8981\u8ba1\u7b97\u7ed9\u5b9a\u77e9\u9635\u7684\u7279\u5f81\u503c\u3002\u82e5\u77e9\u9635\u5f88\u5c0f\uff0c\u6211\u4eec\u53ef\u4ee5\u7528\u7279\u5f81\u591a\u9879\u5f0f\u8fdb\u884c\u7b26\u53f7\u6f14\u7b97\u3002\u4f46\u662f\uff0c\u5bf9\u4e8e\u5927\u578b\u77e9\u9635\u8fd9\u901a\u5e38\u662f\u4e0d\u53ef\u884c\u7684\uff0c\u5728\u8fd9\u79cd\u60c5\u51b5\u6211\u4eec\u5fc5\u987b\u91c7\u7528\u6570\u503c\u65b9\u6cd5\u3002
\u6c42\u7279\u5f81\u503c
\u63cf\u8ff0\u6b63\u65b9\u5f62\u77e9\u9635\u7684\u7279\u5f81\u503c\u7684\u91cd\u8981\u5de5\u5177\u662f\u7279\u5f81\u591a\u9879\u5f0f\uff0c\u03bb\u662fA\u7684\u7279\u5f81\u503c\u7b49\u4ef7\u4e8e\u7ebf\u6027\u65b9\u7a0b\u7ec4(A \u2013 \u03bbI) v = 0 \uff08\u5176\u4e2dI\u662f\u5355\u4f4d\u77e9\u9635\uff09\u6709\u975e\u96f6\u89e3v (\u4e00\u4e2a\u7279\u5f81\u5411\u91cf)\uff0c\u56e0\u6b64\u7b49\u4ef7\u4e8e\u884c\u5217\u5f0f|A \u2013 \u03bbI|=0[1] \u3002
\u51fd\u6570p(\u03bb) = det(A \u2013 \u03bbI)\u662f\u03bb\u7684\u591a\u9879\u5f0f\uff0c\u56e0\u4e3a\u884c\u5217\u5f0f\u5b9a\u4e49\u4e3a\u4e00\u4e9b\u4e58\u79ef\u7684\u548c\uff0c\u8fd9\u5c31\u662fA\u7684\u7279\u5f81\u591a\u9879\u5f0f\u3002\u77e9\u9635\u7684\u7279\u5f81\u503c\u4e5f\u5c31\u662f\u5176\u7279\u5f81\u591a\u9879\u5f0f\u7684\u96f6\u70b9\u3002
\u4e00\u4e2a\u77e9\u9635A\u7684\u7279\u5f81\u503c\u53ef\u4ee5\u901a\u8fc7\u6c42\u89e3\u65b9\u7a0bpA(\u03bb) = 0\u6765\u5f97\u5230\u3002 \u82e5A\u662f\u4e00\u4e2an\u00d7n\u77e9\u9635\uff0c\u5219pA\u4e3an\u6b21\u591a\u9879\u5f0f\uff0c\u56e0\u800cA\u6700\u591a\u6709n\u4e2a\u7279\u5f81\u503c\u3002 \u53cd\u8fc7\u6765\uff0c\u4ee3\u6570\u57fa\u672c\u5b9a\u7406\u8bf4\u8fd9\u4e2a\u65b9\u7a0b\u521a\u597d\u6709n\u4e2a\u6839\uff0c\u5982\u679c\u91cd\u6839\u4e5f\u8ba1\u7b97\u5728\u5185\u7684\u8bdd\u3002
设n阶矩阵A的每列元素之和都为常数a,m为正整数,试证明A^m的每列元素之和也是一个常数，并求该常数
解：
由题目知道, A^T (1,1,...,1)^T = a(1,...,1)^T
即 a 是A^T 的特征值, (1,...,1)^T 是A的属于特征值a的特征向量
所以 a^m 是 (A^T)^m 的特征值, (1,1,...,1) 是(A^T)^m的属于特征值a^m的特征向量
因为 (A^T)^m = (A^m)^T
所以有 (A^m)^T (1,1,...,1)^T = a^m (1,1,...,1)^T
即有 A^m 的每列元素之和为常数 a^m.
设n阶可逆矩阵A中每行之和元素为常数a,证明A^(-1)的每行元素之和为a^(-1)
证明：
令列向量x=（1 1.1)^-1
则由题意可知Ax=（a a.a)^-1
上式两边同乘A^-1可得
x=A^(-1)*(a a……a)^-1,两边同除a得
（1/a)x=A^(-1)(1 1.1)^(-1)
积（1/a 1/a.1/a)=A^(-1)(1 1.1)^(-1)
所以A^-1的每行元素之和为1/a
扩展阅读：矩阵每行元素之和为4 ... 设m n矩阵a的值为n ... 矩阵a为3阶方阵 且 则 ... 每行元素之和均为2 ... 设n阶矩阵a的元素全为1 ... 矩阵每行元素之和为k ... n阶矩阵所有元素都是1 ... 每行元素之和为a ... 矩阵a的每行元素之和为3 ...
