平面几何（2）：Pick定理
平面几何新解：皮克定理的威力与魅力
想象一下，面对几何题中的△ABC，我们常常被要求求面积，但遇到复杂图形时，传统的割补法就显得力不从心了。这时，一道闪亮登场的救星——皮克定理，就像一个几何世界的魔法公式，为我们提供了一种既快速又精准的解决之道。
一、皮克定理的定义与应用
在平面直角坐标系中，那些横纵坐标均为整数的点，我们亲切地称之为格点。而格点多边形，就是这些整点构成的图形。皮克定理，这个看似简单的公式，却揭示了一个惊人的秘密：对于格点多边形，其面积S可以通过内部格点数a，边界格点数b，再加上1来计算，即 S = a + b + 1。这个公式，是1899年乔治·亚历山大·皮克的智慧结晶，被誉为几何界的实用宝石。
二、皮克定理的证明之旅
要理解皮克定理，我们可以用两个巧妙的证明方法来揭示其内在逻辑。首先，设想每个格点上都均匀分布着热量，那么格点多边形的面积就等同于这些热量的总和。我们将热量分为两部分：
- 顶点与边缘的热量和: 每个顶点处的小圆只有一部分在三角形内部，考虑到多边形外角等于360°而内角为180°，边缘上的热量贡献为0.5个圆。每个格点多边形可拆分成多个格点三角形，所以边界上的格点贡献为b，而整个多边形的顶点热量是b的1.5倍，减去重复计算的1/2，即1.5b。
- 内部的热量和: 内部格点数a自然产生a份热量。
- 将这两部分热量相加，再减去重复计算的1，得证皮克公式。
另一种证明方法是数学归纳法，通过将复杂多边形拆分成一个基本三角形和另一个简单多边形，通过递归关系，证明皮克定理适用于所有简单多边形。
皮克定理的出现，不仅简化了面积计算，还揭示了格点几何的深层结构，是几何学界一个美妙的发现。下一次面对几何难题，不妨试试这个神奇的公式，感受一下它的力量与魅力。
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