如何理解函数在x= x0时没有极限？

函数在某一点没有极限，意味着在该点函数值的左右极限可能不同，或者在该点的函数值无法收敛到一个确定的值。
具体来说，如果函数在某点x=x0处没有极限，那么对于任意给定的正数ε，无论多小，都存在一个正数δ，使得当|x-x0|<δ时，|f(x)-A|≥ε，其中A是f(x)在x→x0时的极限。
这种情况通常发生在函数在某点的定义域内不连续，或者函数在该点的左右极限不相等。例如，函数f(x)={2,x<1;1,x=1;0,x>1}在x=1处没有极限，因为在x=1的左邻域内，f(x)=2，而在右邻域内，f(x)=0。

设f(x0)=A, 必要性： 任意给定ε>0,由于f(x)在x0处极限为A，故存在δ>0，使得对于满足0<|x-x0|<δ的一切x都成立 |f(x)-A|<ε. 只要x0<x<x0+δ或x0-δ<x<x0成立，则必0<|x-x0|<δ,因而|f(x)-A|<ε.由左右极限的定义得左右极限相等且都为A. 充分性： 任意给定ε>0.由于左右极限相等且为A，存在正数δ1和δ2使得 x0<x<x0+δ1时|f(x)-A|<ε, x0-δ2<x<x0时|f(x)-A|<ε. 取δ=min(δ1,δ2)，则当0<|x-x0|<δ时，|f(x)-A|<ε,即f(x)在x0处极限为A. 由左右极限的定义和性质可得，若f(x)在x=x0时单侧极限不全或存在但不相等时，f(x)在x0处没有极限。

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