二次曲面的不变量 二次曲面的分类
\u4e8c\u6b21\u66f2\u9762\u7684\u5224\u522b\u6cd5\u5bf9\u4e8e\u4e8c\u6b21\u66f2\u9762\u7684\u4e00\u822c\u5f0fAx^2+By^2+Cz^2+2Dyz+2Exz+2Fxy+2Gx+2Hy+2Iz+J=0....|A...F...E...G|...............|A...F...E|....|F...B...D...H|...........\u03b4=|F...B...D|...........................S=A+B+C\u0394=|E...D...C...I |...............|E...D...C|....|G...H....I....J|......................................................\u79f0\u4e3a\u4e8c\u6b21\u66f2\u9762\u7684\u4e0d\u53d8\u91cf\u3002\u53c8\u8bbe.............|A...F...G|...............|B...D...H|...............|A...E...G|.......\u03941=|F...B...H|.........\u03942=|D...C....I|.........\u03943=|E...C....I|..........\u03940=\u03941+\u03942+\u03943.............|G...H...J|................|H....I....J|...............|G....I....J|\u03b40=|A...F| + |B...D| + |A...E|......|F...B|....|D...C|....|E...C|..................S1=A+B............S2=B+C..............S3=A+C \u03b4>0 \u0394=0 \u3000\u3000\u3000\u3000\u3000\u3000\u70b9 ... \u0394\u22600 \u3000\u3000\u3000\u3000\u0394S>0 \u865a\u692d\u7403\u9762 ... ... \u3000\u3000\u3000\u3000\u0394S0 \u3000\u3000\u3000\u3000\u3000\u3000\u5355\u53f6\u53cc\u66f2\u9762 ... \u0394=0 \u3000\u3000\u3000\u3000\u3000\u3000\u4e8c\u6b21\u9525\u9762 ... \u03940 \u3000\u3000\u3000\u3000\u3000\u3000\u53cc\u66f2\u629b\u7269\u9762 ... \u0394=0 \u03b40>0 \u03940=0 \u3000\u3000\u7ebf ... ... ... \u03940\u22600 \u03941*S1+\u03942*S2+\u03943*S3>0 \u865a\u692d\u5706\u67f1\u9762 ... ... ... ... \u03941*S1+\u03942*S2+\u03943*S30 \u5e73\u884c\u5e73\u9762 ... ... ... ... G^2+H^2+I^2-JS=0 \u91cd\u5408\u5e73\u9762 ... ... ... ... G^2+H^2+I^2-JS<0 \u5e73\u884c\u865a\u5e73\u9762 x^2/a^2+y^2/b^2-z^2/c^2=0
\u4e8c\u6b21\u66f2\u9762\u670912\u79cd\uff1a
(1)\u5706\u67f1\u9762(Cyindrical surface)
(2)\u692d\u5706\u67f1\u9762(Elliptic cylinder)
(3)\u53cc\u66f2\u67f1\u9762(Hyperbolic cylinder)
(4)\u629b\u7269\u67f1\u9762(Parabolic cylinder)
(5)\u5706\u9525\u9762(Conical surface)
(6)\u692d\u5706\u9525\u9762(Elliptic cone)
(7)\u7403\u9762(Sphherical surface)
(8)\u692d\u7403\u9762(Ellipsoid)
(9)\u692d\u5706\u629b\u7269\u9762(Elliptic paraboloid)
(10)\u5355\u53f6\u53cc\u66f2\u9762(Hyperboloid of one sheet)
(11)\u53cc\u53f6\u53cc\u66f2\u9762(Hyperboloid of two sheets)
(12)\u53cc\u66f2\u629b\u7269\u9762(\u9a6c\u978d\u9762)(Hyperbolic paraboloid)
\u6269\u5c55\u8d44\u6599\uff1a
\u692d\u5706\u629b\u7269\u9762\u7684\u6027\u8d28
(1)\u66f2\u9762\u7684\u5bf9\u79f0\u6027\uff1a\u692d\u5706\u629b\u7269\u9762\u5173\u4e8eyOx\u3001zOx\u5750\u6807\u9762\u4ee5\u53caz\u8f74\u5bf9\u79f0\uff0c\u4f46\u5b83\u6ca1\u6709\u5bf9\u79f0\u4e2d\u5fc3\uff0c\u5b83\u4e0e\u5bf9\u79f0\u8f74\u4ea4\u4e8e\u70b9(0,0,0)\uff0c\u8fd9\u70b9\u53eb\u505a\u692d\u5706\u629b\u7269\u9762\u7684\u9876\u70b9\u3002
(2)\u66f2\u9762\u4e0e\u5750\u6807\u8f74\u7684\u4ea4\u70b9\uff1a\u692d\u5706\u629b\u7269\u9762\u901a\u8fc7\u5750\u6807\u539f\u70b9\uff0c\u4e14\u9664\u539f\u70b9\u5916\uff0c\u66f2\u9762\u4e0e\u4e09\u5750\u6807\u8f74\u6ca1\u6709\u522b\u7684\u4ea4\u70b9\u3002
(3)\u66f2\u9762\u7684\u5b58\u5728\u8303\u56f4\uff1a\u692d\u5706\u629b\u7269\u9762\u5168\u90e8\u5728\u9aeb|9y\u5750\u6807\u9762\u7684\u4e00\u4fa7\uff0c\u5373\u5728z \u22650\u7684\u4e00\u4fa7\u3002
(4)\u88ab\u5750\u6807\u9762\u622a\u5f97\u7684\u66f2\u7ebf\uff1a\u7528\u5750\u6807\u9762y=0,x=0\u622a\u5272\u66f2\u9762\uff0c\u5206\u522b\u5f97\u629b\u7269\u7ebf
\u8fd9\u4e24\u4e2a\u629b\u7269\u7ebf\u53eb\u505a\u692d\u5706\u629b\u7269\u9762\u7684\u4e3b\u629b\u7269\u7ebf\u3002\u5b83\u4eec\u6709\u7740\u76f8\u540c\u7684\u9876\u70b9\u548c\u76f8\u540c\u7684\u5bf9\u79f0\u8f74\uff0c\u5373x\u8f74\u3002\u5f00\u53e3\u90fd\u5411z\u8f74\u6b63\u65b9\u5f62\u3002
\u53c2\u8003\u8d44\u6599\u6765\u6e90\uff1a\u767e\u5ea6\u767e\u79d1-\u4e8c\u6b21\u66f2\u9762
可以用二次曲面方程(1)的系数的一些函数来描述二次曲面。经过坐标变换后（见坐标系），方程的系数有所改变，但这些函数的值不变，这些函数称为二次曲面(1)的不变量。用到的不变量有 ，,,, ，其中I1、I2、I3、I4 是坐标轴的平移与旋转的不变量；K1、K2是坐标轴的旋转不变量，且当矩阵的秩是1时，K1是平移不变量；的秩是2时，K2是平移不变量。根据这六个不变量,就可以判定二次曲面(1)的形状(表2)。因此称这六个不变量组成二次曲面的不变量完全系统。I1、I2、I3、I4 称为基本不变量，K1、K2称为条件不变量。 又称I4≠0的二次曲面为常态二次曲面, I4=0的二次曲面为变态二次曲面。单叶双曲面和双曲抛物面是二次常态直纹曲面，而锥面、柱面和平面是二次变态直纹曲面。具有惟一中心的二次曲面成为变态的充要条件是它有惟一奇异点。 表2中“类型”一栏说明二次曲面中心的存在情况。第一种情况(I3≠0),二次曲面有唯一中心，称为中心型二次曲面，其他情况的二次曲面或多中心或无中心，统称为非中心型二次曲面。 利用不变量虽然确定了二次曲面的形状，但不能确定曲面在空间里的位置。通过坐标变换可以确定二次曲面的位置。关于二次曲面的标准型方程，可以通过坐标变换得到，也可以通过不变量的完全系统而得到。
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