请各位数学专业请教一个极限问题 请教各位高数大大个关于极限的问题～～
\u4e00\u4e2a\u51fd\u6570\u6781\u9650\u95ee\u9898\u8bf7\u6559\u5404\u4f4d\u6307\u70b9\u8c22\u8c22\u5206\u5b50\u5206\u6bcd\u540c\u65f6\u9664\u4ee57^n
lim(n\u2192\u221e) (2^n-7^n)/(2^n+7^n-1)
=lim(n\u2192\u221e) [(2/7)^n-1^n)/[(2/7)^n+1^n-(1/7^n)]
=(0-1)/(0+1-0)
=-1
lim(x-+∞) （1+1/x）^x
括号内的极限显然是1，如果直接替换成1，原式=
lim(x-+∞) （1）^x=1
这显然是错的。
因为在(1+1/x)逐渐减小到1的每一步它的幂又把它放大了，而且这个幂增大的幅度也在增大。你想想是不是这样呢？
先求括号内的极限，再求整个幂的极限，那就是把每步的减小和放大强硬地分离成整体的减小再整体放大。然而这个方法在大多数情况下都是错的，这种强硬的变换丢失了很多信息，而且重要的是，丢失这些信息对整个极限过程是不能忽略不计的。
所以我们做替换，一定要保证“信息的完整”，就是答案中所说的“要同时取极限”、在整个极限中x必须同时趋于+∞。
我们平时做题中做的替换，都是无穷小量的替换，比如x->0时，ln(1+x)可以替换成x，因为这种替换虽然丢失了信息，但丢失的信息都是可以忽略不计的无穷小量，它们是被人证明了的，证明的方法，就是楼上兄弟所说的泰勒公式，而且用泰勒公式我们可以通过余项控制信息的丢失多少，使得它相对于整个极限过程，可以“忽略不计”。
对所求极限ln f(x)
=x-x^2ln(1+1/x)=1/2,利用泰勒公式ln(1+1/x)=1/x-1/(2x^2),所以所求极限等于e^1/2
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