在数学中，有哪些非常有趣的悖论？ 求一些有趣的数学悖论证明
\u6709\u54ea\u4e9b\u6709\u8da3\u7684\u5b9a\u5f8b\uff0c\u6096\u8bba\uff0c\u516c\u5f0f\u6570\u5b66\u4e2d\u7684\u6096\u8bba\u6216\u8005\u8c2c\u8bef\uff0c\u5e38\u5e38\u90fd\u662f\u56e0\u4e3a\u8fdd\u53cd\u67d0\u6761\u6570\u5b66\u89c4\u5219\u6216\u6570\u5b66\u5b9a\u5f8b\u800c\u5bfc\u81f4\u7684\u7ed3\u679c\u3002\u8fd9\u4f7f\u5f97\u8fd9\u4e9b\u6096\u8bba\u6210\u4e3a\u8bf4\u660e\u8fd9\u4e9b\u89c4\u5219\u7684\u4f18\u79c0\u8f7d\u4f53\uff0c\u56e0\u4e3a\u5b83\u4eec\u7684\u8fdd\u89c4\u5bfc\u81f4\u4e86\u67d0\u4e9b\u76f8\u5f53\u201c\u5947\u5f02\u201d\u7684\u7ed3\u679c\uff0c\u6bd4\u5982\u8bf41=2\uff0c\u62161=0\uff0c\u7b80\u76f4\u8352\u8c2c\uff01\u5b83\u4eec\u663e\u7136\u5177\u6709\u5a31\u4e50\u6027\uff0c\u56e0\u4e3a\u5b83\u4eec\u975e\u5e38\u5fae\u5999\u5730\u5c06\u6211\u4eec\u5f15\u5411\u4e86\u4e00\u4e2a\u4e0d\u53ef\u80fd\u7684\u7ed3\u8bba\u3002\u901a\u5411\u8fd9\u4e2a\u602a\u5f02\u7ed3\u679c\u7684\u6bcf\u4e00\u6b65\u770b\u8d77\u6765\u4f3c\u4e4e\u90fd\u662f\u6b63\u786e\u7684\uff0c\u8fd9\u4e2a\u4e8b\u5b9e\u5e38\u5e38\u4ee4\u6211\u4eec\u500d\u611f\u56f0\u60d1\u3002\u8fd9\u76f8\u5f53\u5177\u6709\u6fc0\u52b1\u4f5c\u7528\uff0c\u5e76\u4e14\u4f1a\u4f7f\u7ed3\u8bba\u4ee4\u4eba\u5370\u8c61\u6df1\u523b\u5f97\u591a\u3002
\u540c\u6837\uff0c\u8fd9\u4e5f\u662f\u63a2\u7a76\u6570\u5b66\u8fb9\u754c\u7684\u4e00\u4e2a\u826f\u597d\u8d44\u6e90\u3002\u4e3a\u4ec0\u4e48\u4e0d\u5141\u8bb8\u9664\u4ee50\uff1f\u4e3a\u4ec0\u4e48\u6839\u5f0f\u7684\u4e58\u79ef\u5e76\u4e0d\u603b\u662f\u7b49\u4e8e\u4e58\u79ef\u7684\u6839\u5f0f\uff1f\u8fd9\u53ea\u662f\u4f17\u591a\u6096\u8bba\u4e2d\u7684\u51e0\u4e2a\u95ee\u9898\uff0c\u63ed\u793a\u8fd9\u4e9b\u201c\u6ed1\u7a3d\u201d\u7684\u7ed3\u679c\u5f88\u6709\u4e50\u8da3\uff0c\u800c\u4e14\u5b83\u4eec\u5177\u6709\u5f88\u9ad8\u7684\u7814\u7a76\u4ef7\u503c\u3002
\u5168\u6587\uff1ahttp://hi.baidu.com/acumen/blog/item/ddd69b168c82a047f2de323f.html
\u8fd9\u7bc7\u5173\u4e8e\u6570\u5b66\u4e0a\u7684\u6096\u8bba\u8c2c\u8bba\u7684\u8bba\u8bc1\u7684\u6587\u7ae0\u662f\u7531\u5317\u5927\u4e2d\u6587\u7cfbMatrix67\u6240\u5199\uff0c\u8bfb\u6765\u611f\u89c9\u5f88\u6709\u610f\u601d\uff0c\u548c\u5927\u5bb6\u4e00\u8d77\u5206\u4eab\uff0c\u6765\u4e00\u573a\u5934\u8111\u98ce\u66b4\u3002
1=2\uff1f\u53f2\u4e0a\u6700\u7ecf\u5178\u7684\u201c\u8bc1\u660e\u201d
\u8bbe a = b \uff0c\u5219 a\u00b7b = a^2 \uff0c\u7b49\u53f7\u4e24\u8fb9\u540c\u65f6\u51cf\u53bb b^2 \u5c31\u6709 a\u00b7b - b^2 = a^2 - b^2 \u3002\u6ce8\u610f\uff0c\u8fd9\u4e2a\u7b49\u5f0f\u7684\u5de6\u8fb9\u53ef\u4ee5\u63d0\u51fa\u4e00\u4e2a b \uff0c\u53f3\u8fb9\u662f\u4e00\u4e2a\u5e73\u65b9\u5dee\uff0c\u4e8e\u662f\u6709 b\u00b7(a - b) = (a + b)(a - b) \u3002\u7ea6\u6389 (a - b) \u6709 b = a + b \u3002\u7136\u800c a = b \uff0c\u56e0\u6b64 b = b + b \uff0c\u4e5f\u5373 b = 2b \u3002\u7ea6\u6389 b \uff0c\u5f97 1 = 2 \u3002
\u8fd9\u53ef\u80fd\u662f\u6709\u53f2\u4ee5\u6765\u6700\u7ecf\u5178\u7684\u8c2c\u8bc1\u4e86\u3002 Ted Chiang \u5728\u4ed6\u7684\u77ed\u7bc7\u79d1\u5e7b\u5c0f\u8bf4 Division by Zero \u4e2d\u5199\u5230\uff1a
\u5f15\u7528
There is a well-known \u201cproof\u201d that demonstrates that one equals two. It begins with some definitions: \u201cLet a = 1; let b = 1.\u201d It ends with the conclusion \u201ca = 2a,\u201d that is, one equals two. Hidden inconspicuously in the middle is a division by zero, and at that point the proof has stepped off the brink, making all rules null and void. Permitting division by zero allows one to prove not only that one and two are equal, but that any two numbers at all\u2014real or imaginary, rational or irrational\u2014are equal.
\u8fd9\u4e2a\u8bc1\u660e\u7684\u95ee\u9898\u6240\u5728\u60f3\u5fc5\u5927\u5bb6\u90fd\u5df2\u7ecf\u5f88\u6e05\u695a\u4e86\uff1a\u7b49\u53f7\u4e24\u8fb9\u662f\u4e0d\u80fd\u540c\u65f6\u9664\u4ee5 a - b \u7684\uff0c\u56e0\u4e3a\u6211\u4eec\u5047\u8bbe\u4e86 a = b \uff0c\u4e5f\u5c31\u662f\u8bf4 a - b \u662f\u7b49\u4e8e 0 \u7684\u3002
\u65e0\u7a77\u7ea7\u6570\u7684\u529b\u91cf (1)
\u5c0f\u5b66\u65f6\uff0c\u8fd9\u4e2a\u95ee\u9898\u56f0\u6270\u4e86\u6211\u5f88\u4e45\uff1a\u4e0b\u9762\u8fd9\u4e2a\u5f0f\u5b50\u7b49\u4e8e\u591a\u5c11\uff1f
1 + (-1) + 1 + (-1) + 1 + (-1) + \u2026
\u4e00\u65b9\u9762\uff1a
1 + (-1) + 1 + (-1) + 1 + (-1) + \u2026
= [1 + (-1)] + [1 + (-1)] + [1 + (-1)] + \u2026
= 0 + 0 + 0 + \u2026
= 0
\u53e6\u4e00\u65b9\u9762\uff1a
1 + (-1) + 1 + (-1) + 1 + (-1) + \u2026
= 1 + [(-1) + 1] + [(-1) + 1] + [(-1) + \u2026
= 1 + 0 + 0 + 0 + \u2026
= 1
\u8fd9\u5c82\u4e0d\u662f\u8bf4\u660e 0 = 1 \u5417\uff1f
\u540e\u6765\u6211\u53c8\u77e5\u9053\u4e86\uff0c\u8fd9\u4e2a\u5f0f\u5b50\u8fd8\u53ef\u4ee5\u7b49\u4e8e 1/2 \u3002\u4e0d\u59a8\u8bbe S = 1 + (-1) + 1 + (-1) + \u2026 \uff0c \u4e8e\u662f\u6709 S = 1 - S \uff0c\u89e3\u5f97 S = 1/2 \u3002
\u5b66\u4e60\u4e86\u5fae\u79ef\u5206\u4e4b\u540e\uff0c\u6211\u7ec8\u4e8e\u660e\u767d\u4e86\uff0c\u8fd9\u4e2a\u65e0\u7a77\u7ea7\u6570\u662f\u53d1\u6563\u7684\uff0c\u5b83\u6ca1\u6709\u4e00\u4e2a\u6240\u8c13\u7684\u201c\u548c\u201d\u3002\u65e0\u7a77\u4e2a\u6570\u76f8\u52a0\u7684\u7ed3\u679c\u662f\u591a\u5c11\uff0c\u8fd9\u4e2a\u662f\u9700\u8981\u5b9a\u4e49\u7684\u3002
\u65e0\u7a77\u7ea7\u6570\u7684\u529b\u91cf (2)
\u540c\u6837\u7684\u620f\u6cd5\u53ef\u4ee5\u53d8\u51fa\u66f4\u591a\u4e0d\u53ef\u601d\u8bae\u7684\u4e1c\u897f\u3002\u4f8b\u5982\uff0c\u4ee4
x = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + \u2026
\u5219\u6709\uff1a
2x = 2 + 4 + 8 + 16 + \u2026
\u4e8e\u662f\uff1a
2x - x = x = (2 + 4 + 8 + 16 + \u2026) - (1 + 2 + 4 + 8 + 16 + \u2026) = -1
\u4e5f\u5c31\u662f\u8bf4\uff1a
1 + 2 + 4 + 8 + 16 + \u2026 = -1
\u5e73\u65b9\u6839\u7684\u9634\u8c0b (1)
\u5b9a\u7406\uff1a\u6240\u6709\u6570\u90fd\u76f8\u7b49\u3002
\u8bc1\u660e\uff1a\u53d6\u4efb\u610f\u4e24\u4e2a\u6570 a \u548c b \uff0c\u4ee4 t = a + b \u3002\u4e8e\u662f\uff0c
a + b = t
(a + b)(a - b) = t(a - b)
a^2 - b^2 = t\u00b7a - t\u00b7b
a^2 - t\u00b7a = b^2 - t\u00b7b
a^2 - t\u00b7a + (t^2)/4 = b^2 - t\u00b7b + (t^2)/4
(a - t/2)^2 = (b - t/2)^2
a - t/2 = b - t/2
a = b
\u600e\u4e48\u56de\u4e8b\u513f\uff1f
\u95ee\u9898\u51fa\u5728\u5012\u6570\u7b2c\u4e8c\u884c\u3002
\u6c38\u8fdc\u8bb0\u4f4f\uff0c x^2 = y^2 \u5e76\u4e0d\u80fd\u63a8\u51fa x = y \uff0c\u53ea\u80fd\u63a8\u51fa x = \u00b1y \u3002
\u5e73\u65b9\u6839\u7684\u9634\u8c0b (2)
1 = \u221a1 = \u221a(-1)(-1) = \u221a-1\u00b7\u221a-1 = -1
\u55ef\uff1f
\u53ea\u6709 x \u3001 y \u90fd\u662f\u6b63\u6570\u65f6\uff0c \u221ax\u00b7y = \u221ax\u00b7\u221ay \u624d\u662f\u6210\u7acb\u7684\u3002
-1 \u7684\u5e73\u65b9\u6839\u6709\u4e24\u4e2a\uff0c i \u548c -i \u3002 \u221a(-1)(-1) \u5c55\u5f00\u540e\u5e94\u8be5\u5199\u4f5c i\u00b7(-i) \uff0c\u5b83\u6b63\u597d\u7b49\u4e8e 1 \u3002
\u590d\u6570\u624d\u662f\u738b\u9053
\u8003\u8651\u65b9\u7a0b
x^2 + x + 1 = 0
\u79fb\u9879\u6709
x^2 = - x - 1
\u7b49\u5f0f\u4e24\u8fb9\u540c\u65f6\u9664\u4ee5 x \uff0c\u6709
x = - 1 - 1/x
\u628a\u4e0a\u5f0f\u4ee3\u5165\u539f\u5f0f\u4e2d\uff0c\u6709
x^2 + (-1 - 1/x) + 1 = 0
\u5373
x^2 - 1/x = 0
\u5373
x^3 = 1
\u4e5f\u5c31\u662f\u8bf4 x = 1\u3002
\u628a x = 1 \u4ee3\u56de\u539f\u5f0f\uff0c\u5f97\u5230 1^2 + 1 + 1 = 0 \u3002\u4e5f\u5c31\u662f\u8bf4\uff0c 3 = 0 \uff0c\u563f\u563f\uff01
\u5176\u5b9e\uff0c x = 1 \u5e76\u4e0d\u662f\u65b9\u7a0b x^2 + x + 1 = 0 \u7684\u89e3\u3002\u5728\u5b9e\u6570\u8303\u56f4\u5185\uff0c\u65b9\u7a0b x^2 + x + 1 = 0 \u662f\u6ca1\u6709\u89e3\u7684\uff0c\u4f46\u5728\u590d\u6570\u8303\u56f4\u5185\u6709\u4e24\u4e2a\u89e3\u3002
\u53e6\u4e00\u65b9\u9762\uff0c x = 1 \u53ea\u662f x^3 = 1 \u7684\u5176\u4e2d\u4e00\u4e2a\u89e3\u3002 x^3 = 1 \u5176\u5b9e\u4e00\u5171\u6709\u4e09\u4e2a\u89e3\uff0c\u53ea\u4e0d\u8fc7\u53e6\u5916\u4e24\u4e2a\u89e3\u662f\u590d\u6570\u8303\u56f4\u5185\u7684\u3002\u8003\u8651\u65b9\u7a0b x^3 - 1 = (x - 1)(x^2 + x + 1) = 0 \uff0c\u5bb9\u6613\u770b\u51fa x^3 = 1 \u7684\u4e24\u4e2a\u590d\u6570\u89e3\u6b63\u597d\u5c31\u662f x^2 + x + 1 \u7684\u4e24\u4e2a\u89e3\u3002\u56e0\u6b64\uff0c x^2 + x + 1 = 0 \u4e0e x^3 = 1 \u540c\u65f6\u6210\u7acb\u5e76\u65e0\u77db\u76fe\u3002
\u6ce8\u610f\uff0c\u4e00\u65e6\u5f15\u5165\u590d\u6570\u540e\uff0c\u8fd9\u4e2a\u8c2c\u8bba\u624d\u6709\u4e86\u4e00\u4e2a\u5b8c\u6574\u800c\u6f02\u4eae\u7684\u89e3\u91ca\u3002\u6216\u8bb8\u8fd9\u4e5f\u8bf4\u660e\u4e86\u5f15\u5165\u590d\u6570\u6982\u5ff5\u7684\u5fc5\u8981\u6027\u5427\u3002
\u9887\u5177\u559c\u5267\u8272\u5f69\u7684\u9519\u8bef
\u4f17\u6240\u5468\u77e5\uff0c
1 + 2 + 3 + \u2026 + n = n(n+1) / 2
\u8ba9\u6211\u4eec\u7528 n - 1 \u53bb\u66ff\u6362 n \uff0c\u53ef\u5f97
1 + 2 + 3 + \u2026 + (n-1) = (n-1)n / 2
\u7b49\u5f0f\u4e24\u8fb9\u540c\u65f6\u52a0 1 \uff0c\u5f97\uff1a
1 + 2 + 3 + \u2026 + n = (n-1)n / 2 + 1
\u4e5f\u5c31\u662f
n(n+1) / 2 = (n-1)n / 2 + 1
\u5c55\u5f00\u540e\u6709
n^2 / 2 + n / 2 = n^2 / 2 - n / 2 + 1
\u53ef\u4ee5\u770b\u5230 n = 1 \u662f\u8fd9\u4e2a\u65b9\u7a0b\u7684\u552f\u4e00\u89e3\u3002
\u4e5f\u5c31\u662f\u8bf4⋯⋯ 1 + 2 + 3 + \u2026 + n = n(n+1) / 2 \u4ec5\u5728 n = 1 \u65f6\u624d\u6210\u7acb\uff01
\u8fd9\u4e2a\u63a8\u7406\u8fc7\u7a0b\u4e2d\u51fa\u73b0\u4e86\u4e00\u4e2a\u975e\u5e38\u9690\u853d\u800c\u641e\u7b11\u7684\u9519\u8bef\u3002\u7b49\u5f0f\u4e24\u8fb9\u540c\u65f6\u52a0 1 \u540e\uff0c\u7b49\u5f0f\u5de6\u8fb9\u5f97\u5230\u7684\u5e94\u8be5\u662f
1 + 2 + 3 + \u2026 + (n-2) + (n-1) + 1
1 \u5757\u94b1\u7b49\u4e8e 1 \u5206\u94b1\uff1f
\u6211\u8981\u7528\u6570\u5b66\u7684\u529b\u91cf\u638f\u7a7a\u4f60\u7684\u94b1\u5305\uff01\u8bf7\u770b\uff1a
1 \u5143 = 100 \u5206 = (10 \u5206)^2 = (0.1 \u5143)^2 = 0.01 \u5143 = 1 \u5206
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\u5bf9 n \u65bd\u5f52\u7eb3\uff1a\u9996\u5148\uff0c\u5f53 n = 1 \u65f6\u547d\u9898\u663e\u7136\u6210\u7acb\u3002\u82e5\u547d\u9898\u5bf9 n = k \u6210\u7acb\uff0c\u5219\u8003\u8651 n = k + 1 \u7684\u60c5\u5f62\uff1a\u7531\u4e8e {#1, #2, \u2026, #k} \u8fd9 k \u5339\u9a6c\u7684\u989c\u8272\u76f8\u540c\uff0c {#2, #3, \u2026, #k+1 } \u8fd9 k \u5339\u9a6c\u4e5f\u76f8\u540c\uff0c\u800c\u8fd9\u4e24\u7ec4\u9a6c\u662f\u6709\u91cd\u53e0\u7684\uff0c\u53ef\u77e5\u8fd9 k+1 \u5339\u9a6c\u7684\u989c\u8272\u4e5f\u90fd\u76f8\u540c\u4e86\u3002
\u8fd9\u4e2a\u8bc1\u660e\u9519\u5728\uff0c\u4ece n = 1 \u63a8\u4e0d\u51fa n = 2 \uff0c\u867d\u7136\u5f53 n \u66f4\u5927\u7684\u65f6\u5019\uff0c\u8fd9\u4e2a\u5f52\u7eb3\u662f\u6b63\u786e\u7684\u3002\u8fd9\u662f\u6570\u5b66\u5f52\u7eb3\u6cd5\u51fa\u9519\u7684\u4e00\u4e2a\u6bd4\u8f83\u5947\u7279\u7684\u4f8b\u5b50\uff1a\u57fa\u7840\u60c5\u5f62\u548c\u5f52\u7eb3\u63a8\u7406\u90fd\u6ca1\u5565\u95ee\u9898\uff0c\u504f\u504f\u5361\u5728\u5f52\u7eb3\u8fc7\u7a0b\u4e2d\u7684\u67d0\u4e00\u6b65\u4e0a\u3002
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\u6211\u4eec\u5bf9 n \u65bd\u5f52\u7eb3\u3002\u5f53 n = 1 \u65f6\uff0c\u7531\u4e8e a \u3001 b \u90fd\u662f\u6b63\u6574\u6570\uff0c\u56e0\u6b64 a \u3001 b \u5fc5\u987b\u90fd\u7b49\u4e8e 1 \uff0c\u6240\u4ee5\u8bf4 a = b \u3002\u82e5\u5f53 n = k \u65f6\u547d\u9898\u4e5f\u6210\u7acb\uff0c\u73b0\u5728\u5047\u8bbe max(a, b) = k + 1 \u3002\u5219 max(a - 1, b - 1) = k \uff0c\u7531\u5f52\u7eb3\u5047\u8bbe\u77e5 a - 1 = b - 1 \uff0c\u5373 a = b \u3002
\u8fd9\u4e2a\u95ee\u9898\u51fa\u5728\uff0c a - 1 \u6216\u8005 b - 1 \u6709\u53ef\u80fd\u4e0d\u662f\u6b63\u6574\u6570\u4e86\uff0c\u56e0\u6b64\u4e0d\u80fd\u5957\u7528\u5f52\u7eb3\u5047\u8bbe\u3002
贝克莱悖论、罗素悖论、意料不到悖论、鳄鱼悖论、分球悖论等等。
悖论：指自相矛盾的命题，这个命题中隐含着两个对立的结论，而这两个结论都能自圆其说。（悖：混乱，相冲突；论：言论，言语。）
历史上出现过的数学悖论很多，数理逻辑是数学的研究方法，于是很多逻辑上的悖论，也归在数学门下，以下就是几个有趣的数学悖论：
贝克莱悖论
在17世纪，牛顿和莱布尼兹各自都独立创立了微积分，但是两人对微积分中“无穷小量”的定义不明确，导致了后来的第二次数学危机。
到了1734年，英国大主教贝克莱驳斥微积分理论（本质是反科学），指出了著名的贝克莱悖论，该悖论把当时微积分中最大缺陷暴露了出来：
关于第二次数学危机的解决，直到19世纪后，由众多数学家，比如波尔查、柯西、阿贝尔和康托尔等等，建立了更严密的数学定义后，才得到彻底解决。
罗素悖论
大名鼎鼎的罗素悖论（也称理发师悖论），直接导致了第三次数学危机的出现。
19世纪末，第二次数学危机在集合论的完善下得到解决，数学家们“欢欣起舞”。在1900年国际数学家大会上，法国大数学家庞加莱甚至宣称：现在的数学，已经达到了绝对严密的程度！
没想到三年之后，英国数学家、逻辑学家和哲学家——罗素，提出著名的理发师悖论，震惊了整个数学界：
罗素悖论的通俗解释：城市中的所有人，都在一位技艺高超的理发师那刮脸，这位理发师说到：“我只为本城市中，不给自己刮脸的人刮脸”！于是，其他人对理发师说：那么你给自己刮脸吗？
分析：倘若他不给自己刮脸，那么他属于“不给自己刮脸的人”，按照他的说法他就要给自己刮脸；倘若他给自己刮脸，他又属于“给自己刮脸的人”，按照他的说法就不该给自己刮脸。
罗素悖论的出现，说明集合论本身是不完备的；直到1908年，数学家建立起了公理化系统，才让集合论从根本上避免了罗素悖论。
预料不到悖论
一位学生会会长宣布：在下星期一到星期五的某一天下午开会，但是你们无法提前知道哪一天开会，因为只有到了当天早上的8点钟，我才会通知你们。
如果我们仔细分析这段话，会发现存在自相矛盾，使得开会无法进行，你能看出问题所在吗？
鳄鱼悖论
这是古希腊的一个故事：一条鳄鱼从一位母亲的手中夺走了孩子，母亲苦苦哀求说：求求你放过我的孩子，你提什么要求我都答应。
于是鳄鱼得意地说到：可以，那么你猜猜，我会不会吃掉你的孩子，如果你猜对了，我就把孩子还给你！
这位母亲细想片刻说到：我想你会吃掉我的孩子！
鳄鱼琢磨了一会愣住了，心想：我要是吃掉孩子，说明你猜对了，我应该把孩子还给你；如果我不吃掉你的孩子，说明你猜错了，我又要吃掉你的孩子！
分球悖论
悖论意指自相矛盾的命题，但是在一些数学悖论中，也指代某些数学命题，只是该命题与人们的常识相悖，比如分球悖论就是这样的。
分球悖论，数学中一条经过严格证明的定理，可以描述为：一个三维实心球，必定存在一种办法分成有限部分，然后仅仅通过旋转和平移，就可以组成两个和原来完全相同的球（半径相同，密度相同……所有性质都相同）
在世界数学史当中，著名的悖论有伽利略悖论、贝克莱悖论、康德的二律背反、集合论悖论等。现代有光速悖论、双生子佯谬、整体性悖论等。这些悖论从逻辑上看来都是一些思维矛盾，从认识论上看则是客观矛盾在思维上的反映。悖论的历史很悠久，但直到本世纪初，人们才真正开始专门研究悖论的本质，以下列举三个著名而有趣的数学悖论。
古希腊数学家芝诺提出关于运动的不可分性的哲学悖论被称为芝诺悖论，有个著名的例子。在阿喀琉斯和乌龟的竞赛中，他速度为乌龟十倍，乌龟在前面100米跑，他在后面追，但他不可能追上乌龟。当阿喀琉斯追到100米时，乌龟已经又向前爬了10米，于是，一个新的起点产生了；阿喀琉斯必须继续追，而当他追到乌龟爬的这10米时，乌龟又已经向前爬了1米，阿喀琉斯只能再追向那个1米。就这样，乌龟会制造出无穷个起点，它总能在起点与自己之间制造出一个距离，不管这个距离有多小，但只要乌龟不停地奋力向前爬，阿喀琉斯就永远也追不上乌龟！
伽利略悖论。伽利略认为，正整数中，有些是偶数，有些不是。因此，他就猜测，正整数一定比偶数多。但是每一个正整数乘以 2 都能得到一个偶数，而每一个偶数除以 2 都能得到一个正整数，那么从无限的数看来，偶数和正整数都是一一对应的，那么，这就说明，在无穷大的世界里，部分可能等于全体。
最有趣的就是理发师悖论。在某个城市中有一位理发师，他的广告词是这样写的：“本人的理发技艺十分高超，誉满全城。我将为本城所有不给自己刮脸的人刮脸，我也只给这些人刮脸。我对各位表示热诚欢迎！”来找他刮脸的人络绎不绝，自然都是那些不给自己刮脸的人。可是，有一天，这位理发师从镜子里看见自己的胡子长了，他本能地抓起了剃刀，你们看他能不能给他自己刮脸呢？如果他不给自己刮脸，他就属于“不给自己刮脸的人”，他就要给自己刮脸，而如果他给自己刮脸呢？他又属于“给自己刮脸的人”，他就不该给自己刮脸。
理发师悖论与罗素悖论是等价的：如果把每个人看成一个集合，这个集合的元素被定义成这个人刮脸的对象。那么，理发师宣称，他的元素，都是城里不属于自身的那些集合，并且城里所有不属于自身的集合都属于他。那么他是否属于他自己？这样就由理发师悖论得到了罗素悖论。反过来的变换也是成立的。
鳄鱼悖论，贝克莱悖论、罗素悖论、意料不到悖论，这些悖论都很有趣。
“当今的法国国王是秃头”和“当今的法国国王不是秃头”都不成立的根本原因是“当今的法国国王”并不存在。这一悖论告诉我们，对不存在事物的任何判断都是不成立的。在现实中并不存在没有大小的“点”、没有宽度的“线”、没有厚度的“面”。由于几何学的点、线、面在现实中是不存在的，因此我们对它们的任何判断都是不能成立的。由于几何学的点、线、面是不存在的子虚乌有的东西，因此几何学的“公理”统统不能成立。现实中并不存在几何学的点、线、面是几何学的致命缺陷，这一致命缺陷决定了几何学是虚构的不真实的。
相对论谬误根源在逻辑前提。
前提一所有地方v=s/t；前提二所有参考系平权，光速恒定，不以参考系的选择而改变。
若定义光速为光在真空中的速度，光速的参考系是限定为真空的，光速恒定不变。 若光的参考系不限定，不同参考系光速就会不同。
如：以真空为参考系时，光速为c；以光自身为参考系时，光速是零。又如：一束光从远方传来，奔向光线的人会比待在原地的人更早看到光，请问光速相同吗？还有，两束光分别向相反的方向发出，它们相互分开的速度难道不是两倍的光在真空中的速度吗？1+1=2还要做实验吗？所以，要光速不变，参考系不能变；参考系变，光速变。
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