x趋近于0，ln(ln(1+x))求极限可以用等价无穷小代换吗 求X从右边趋近于1时，(lnx)^(x-1)的极限 当x趋向于0时，ln(1+x)~x等价无穷小的证明。
\u5f53x\u8d8b\u5411\u4e8e0\u65f6\uff0cln(1+x)~x\u7b49\u4ef7\u65e0\u7a77\u5c0f\u7684\u8bc1\u660elim(x\u21920) ln(1+x)/x
=lim(x\u21920) ln(1+x)^(1/x)
=ln[lim(x\u21920) (1+x)^(1/x)]
\u7531\u4e24\u4e2a\u91cd\u8981\u6781\u9650\u77e5:lim(x\u21920) (1+x)^(1/x)=e\uff1b
\u6240\u4ee5\u539f\u5f0f=lne=1,\u6240\u4ee5ln(1+x)\u548cx\u662f\u7b49\u4ef7\u65e0\u7a77\u5c0f
\u65e0\u7a77\u5c0f\u5c31\u662f\u4ee5\u6570\u96f6\u4e3a\u6781\u9650\u7684\u53d8\u91cf\u3002\u7136\u800c\u5e38\u91cf\u662f\u53d8\u91cf\u7684\u7279\u6b8a\u4e00\u7c7b\uff0c\u5c31\u50cf\u76f4\u7ebf\u5c5e\u4e8e\u66f2\u7ebf\u7684\u4e00\u79cd\u3002\u56e0\u6b64\u5e38\u91cf\u4e5f\u662f\u53ef\u4ee5\u5f53\u505a\u53d8\u91cf\u6765\u7814\u7a76\u7684\u3002\u8fd9\u4e48\u8bf4\u6765\u2014\u20140\u662f\u53ef\u4ee5\u4f5c\u4e3a\u65e0\u7a77\u5c0f\u7684\u5e38\u6570\u3002\u4ece\u53e6\u4e00\u65b9\u9762\u6765\u8bf4\uff0c\u7b49\u4ef7\u65e0\u7a77\u5c0f\u4e5f\u53ef\u4ee5\u770b\u6210\u662f\u6cf0\u52d2\u516c\u5f0f\u5728\u96f6\u70b9\u5c55\u5f00\u5230\u4e00\u9636\u7684\u6cf0\u52d2\u5c55\u5f00\u516c\u5f0f\u3002
\u7b49\u4ef7\u65e0\u7a77\u5c0f\u7684\u5b9a\u4e49
\uff08C\u4e3a\u5e38\u6570\uff09\uff0c\u5c31\u8bf4b\u662fa\u7684n\u9636\u7684\u65e0\u7a77\u5c0f\uff0c b\u548ca^n\u662f\u540c\u9636\u65e0\u7a77\u5c0f\u3002\u7279\u6b8a\u5730\uff0cC=1\u4e14n=1\uff0c\u5373
\uff0c\u5219\u79f0a\u548cb\u662f\u7b49\u4ef7\u65e0\u7a77\u5c0f\u7684\u5173\u7cfb\uff0c\u8bb0\u4f5ca\uff5eb\u3002
lim(x\u21920) ln(1+x)/x=lim(x\u21920) ln(1+x)^(1/x)=ln[lim(x\u21920) (1+x)^(1/x)]
\u7531\u4e24\u4e2a\u91cd\u8981\u6781\u9650\u77e5:lim(x\u21920) (1+x)^(1/x)=e,\u6240\u4ee5\u539f\u5f0f=lne=1,
\u6240\u4ee5ln(1+x)\u548cx\u662f\u7b49\u4ef7\u65e0\u7a77\u5c0f
\u7b49\u4ef7\u65e0\u7a77\u5c0f\u662f\u65e0\u7a77\u5c0f\u7684\u4e00\u79cd\u3002\u5728\u540c\u4e00\u70b9\u4e0a\uff0c\u8fd9\u4e24\u4e2a\u65e0\u7a77\u5c0f\u4e4b\u6bd4\u7684\u6781\u9650\u4e3a1\uff0c\u79f0\u8fd9\u4e24\u4e2a\u65e0\u7a77\u5c0f\u662f\u7b49\u4ef7\u7684\u3002\u7b49\u4ef7\u65e0\u7a77\u5c0f\u4e5f\u662f\u540c\u9636\u65e0\u7a77\u5c0f\u3002\u53e6\u4e00\u65b9\u9762\u6765\u8bf4\uff0c\u7b49\u4ef7\u65e0\u7a77\u5c0f\u4e5f\u53ef\u4ee5\u770b\u6210\u662f\u6cf0\u52d2\u516c\u5f0f\u5728\u96f6\u70b9\u5c55\u5f00\u5230\u4e00\u9636\u7684\u6cf0\u52d2\u5c55\u5f00\u516c\u5f0f\u3002
\u6269\u5c55\u8d44\u6599\u6781\u9650\u65b9\u6cd5\u662f\u6570\u5b66\u5206\u6790\u7528\u4ee5\u7814\u7a76\u51fd\u6570\u7684\u57fa\u672c\u65b9\u6cd5\uff0c\u5206\u6790\u7684\u5404\u79cd\u57fa\u672c\u6982\u5ff5(\u8fde\u7eed\u3001\u5fae\u5206\u3001\u79ef\u5206\u548c\u7ea7\u6570)\u90fd\u662f\u5efa\u7acb\u5728\u6781\u9650\u6982\u5ff5\u7684\u57fa\u7840\u4e4b\u4e0a\uff0c\u7136\u540e\u624d\u6709\u5206\u6790\u7684\u5168\u90e8\u7406\u8bba\u3001\u8ba1\u7b97\u548c\u5e94\u7528.\u6240\u4ee5\u6781\u9650\u6982\u5ff5\u7684\u7cbe\u786e\u5b9a\u4e49\u662f\u5341\u5206\u5fc5\u8981\u7684\uff0c\u5b83\u662f\u6d89\u53ca\u5206\u6790\u7684\u7406\u8bba\u548c\u8ba1\u7b97\u662f\u5426\u53ef\u9760\u7684\u6839\u672c\u95ee\u9898\u3002
\u5386\u53f2\u4e0a\u662f\u67ef\u897f(Cauchy\uff0cA.-L.)\u9996\u5148\u8f83\u4e3a\u660e\u786e\u5730\u7ed9\u51fa\u4e86\u6781\u9650\u7684\u4e00\u822c\u5b9a\u4e49\u3002\u4ed6\u8bf4\uff0c\u201c\u5f53\u4e3a\u540c\u4e00\u4e2a\u53d8\u91cf\u6240\u6709\u7684\u4e00\u7cfb\u5217\u503c\u65e0\u9650\u8d8b\u8fd1\u4e8e\u67d0\u4e2a\u5b9a\u503c\uff0c\u5e76\u4e14\u6700\u7ec8\u4e0e\u5b83\u7684\u5dee\u8981\u591a\u5c0f\u5c31\u6709\u591a\u5c0f\u201d(\u300a\u5206\u6790\u6559\u7a0b\u300b\uff0c1821)\uff0c\u8fd9\u4e2a\u5b9a\u503c\u5c31\u79f0\u4e3a\u8fd9\u4e2a\u53d8\u91cf\u7684\u6781\u9650.\u5176\u540e\uff0c\u5916\u5c14\u65af\u7279\u62c9\u65af(Weierstrass\uff0cK.(T.W.))\u6309\u7167\u8fd9\u4e2a\u601d\u60f3\u7ed9\u51fa\u4e25\u683c\u5b9a\u91cf\u7684\u6781\u9650\u5b9a\u4e49\uff0c\u8fd9\u5c31\u662f\u73b0\u5728\u6570\u5b66\u5206\u6790\u4e2d\u4f7f\u7528\u7684\u03b5-\u03b4\u5b9a\u4e49\u6216\u03b5-\u039d\u5b9a\u4e49\u7b49\u3002
由于x右趋近于0时，lim (ln(ln(1+x))/lnx)=1 (L" Hospital Rule)；
还可以扩展下：基本的一组等价无穷小lnx~x~sinx~tanx,对相同的运算：幂运算，指数运算，对数运算，三角运算在求极限时都可以用等价代换，代换规则跟一般等价无穷小代换规则类似，乘积情况用，加减勿用；还需注意受到算符限制的情况，如上ln(ln(1+x))~lnx，需x右趋近于0，比单独代换严格；对于其他的复合运算下能否代换，建议用极限验证；
X从右边趋近于1时，lim (lnx)^(x-1)=1(化成指数形式再用洛比达）。
绛旓細渚涘弬鑰冿紝璇风瑧绾炽
绛旓細鐢变簬x鍙瓒嬭繎浜0鏃讹紝lim (ln(ln(1+x))/lnx)=1 (L" Hospital Rule)锛涜繕鍙互鎵╁睍涓嬶細鍩烘湰鐨勪竴缁勭瓑浠锋棤绌峰皬lnx~x~sinx~tanx,瀵圭浉鍚岀殑杩愮畻锛氬箓杩愮畻锛屾寚鏁拌繍绠楋紝瀵规暟杩愮畻锛屼笁瑙掕繍绠楀湪姹傛瀬闄愭椂閮藉彲浠ョ敤绛変环浠ｆ崲锛屼唬鎹㈣鍒欒窡涓鑸瓑浠锋棤绌峰皬浠ｆ崲瑙勫垯绫讳技锛屼箻绉儏鍐电敤锛屽姞鍑忓嬁鐢紱杩橀渶娉ㄦ剰鍙楀埌绠楃闄愬埗鐨勬儏...
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