定积分的计算公式?
设t=e^x 则dx=dt
=dx\(1+e^x)=dt(t+1)
=dt[1-1\(t+1)]
=∫dx\(1+e^x)=In[t\(t+1)]+C
=x-In(e^x+1)+C
扩展资料
一个实变函数在区间[a,b]上的定积分,是一个实数。它等于该函数的一个原函数在b的值减去在a的值。
定积分和不定积分的定义迥然不同,定积分是求图形的面积,即是求微元元素的累加和,而不定积分则是求其原函数,而牛顿和莱布尼茨则使两者产生了紧密的联系。
例如函数y1=7-5x^2与y2=x^2-x-2围成的区域面积
主要内容:
※.先求出两函数的交点。
※.定积分求面积。
本文主要通过微积分定积分的知识,介绍二次函数y1=7-5x^2与y2=x^2-x-2围成的区域面积的主要计算步骤和过程。
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主要步骤:
联立方程y1和y2,求出二者的交点。
7-5x^2=x^2-x-2
6x^2-x-9=0,由二次方程的求根公式得:
x1=(1-√217)/12,
x2= (1+√217)/12,
则x2-x1=√217/6,
并由韦达定理得:
x1+x2=1/6,
x1*x2=-3/2。
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S=∫[x1,x2](y1-y2)dx
=∫[x1,x2][7-5x^2-(x^2-x-2)]dx
=∫[x1,x2](7-5x^2-x^2+x+2)dx
=∫[x1,x2](-6x^2+x+9)dx
=(-2/1)x^3+(1/2)x^2+9x[x1,x2]
=(-2/1)(x2^3-x1^3)+(1/2)(x2^2-x1^2)+9(x2-x1)
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利用立方差和平方和因式分解,进一步化简得:
S=(-2/1)(x2-x1)(x^2+x1x2+x1^2)+(1/2)(x2-x1)(x2+x1)+9(x2-x1)
=(x2-x1){ (-2/1)[(x1+x2)^2-x1x2]+(1/2)*(1/6)+9}
=√217/6*{ (-2/1)[(1/6)^2+3/2]+(1/2)*1/6+9}
=√217/6*(36/217)
=6√217/217。
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