fx在x=0连续并且x∈r有 fx=f2x成立证明常值函数

\u51fd\u6570fx=x\u65b9+1\u5728\uff08\u8d1f\u65e0\u7a77\uff0c0\uff09\u4e0a\u662f\u51cf\u51fd\u6570 \u8bc1\u660e\u9898

\u8bc1\u660e\uff1a\u53d6\u4efb\u610fX1\uff0cX2\u6ee1\u8db3X1<X2<0
f\uff08X1\uff09-f\uff08X2\uff09=X1^2+1-X2^2-1=X1^2-X2^2=\uff08X1+X2\uff09\uff08X1-X2\uff09>0
\u4ece\u800c\u53ef\u4ee5\u8bc1\u660ef(x)\u5728\uff08\u8d1f\u65e0\u7a77\uff0c0\uff09\u4e0a\u662f\u51cf\u51fd\u6570\u3002

\u601d\u8def\uff1a\u8bc1\u660e\u8fd9\u7c7b\u9898\u76ee\uff0c\u6700\u4e0d\u7528\u52a8\u8111\u7b4b\u7684\u5c31\u662f\u5728\u5b9a\u4e49\u57df\u4e2d\u4efb\u53d6\u4e24\u4e2a\u70b9\uff0cx1>x2\uff0c\u7136\u540e\u6c42\u8fd9\u4e24\u70b9\u7684\u51fd\u6570\u503c\uff0c\u518d\u6bd4\u8f83,\u82e5\u662f\u51cf\u51fd\u6570\uff0c\u5219f(x1)f(x2)

\u4efb\u53d6x1\uff0cx2\u2208(-\u65e0\u7a77,0)\uff0cx1>x2
f\uff08x1\uff09-f\uff08x2\uff09=1/x2-1/x1=(x1-x2)/x1x2
x1>x2,x1-x2\uff1e0,x1x2\uff1e0
\u2234f\uff08x1\uff09-f\uff08x2\uff09>0,
\u2235x1>x2
\u2234\u51fd\u6570fx=1-1/x\u5728(-\u65e0\u7a77,0)\u4e0a\u662f\u589e\u51fd\u6570

因为f(x)在x＝0连续，设f(0)＝C，由题意知f(x)＝f(1/2x)＝f(1/2×1/2x)＝f[(1/2)^2x]，以此类推，所以f(x)＝f[(1/2)^nx]，当n→+∞，所以1/2^n→0，所以f(x)＝f(0)，所以为常数

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