高一数学 怎么求值域 高一数学值域的求法

\u9ad8\u4e00\u6570\u5b66\uff0c\u503c\u57df\u600e\u4e48\u6c42\uff0c\u8981\u8fc7\u7a0b

\u503c\u57df\u95ee\u9898\u662f\u9ad8\u4e2d\u51fd\u6570\u7684\u4e00\u4e2a\u7cbe\u534e\u95ee\u9898\u3002
\u6709\u5f88\u591a\u95ee\u9898\u90fd\u662f\u56f4\u7ed5\u7740\u4ed6\u5c55\u5f00\u7684\u3002\u6bd4\u5982\u8bf4\u6052\u6210\u7acb\u95ee\u9898\uff0c\u503c\u57df\u53cd\u6c42\u5b9a\u4e49\u4e0e\u95ee\u9898\uff08\u5373\u53cd\u51fd\u6570\u6c42\u5b9a\u4e49\u57df\uff09\u2026\u2026\u7b49\u7b49\u3002\u4e0b\u9762\u5c31\u8bf4\u4e00\u4e0b\u6700\u57fa\u672c\u7684\u96c6\u4e2d\u6c42\u503c\u57df\u95ee\u9898\u7684\u7c7b\u578b\u3002
\u9996\u5148\u8981\u7740\u91cd\u8bf4\u7684\u662f\uff1a\u6c42\u503c\u57df\uff0c\u5fc5\u5148\u770b\u5b9a\u4e49\u57df\u3002\u6240\u6709\u51fd\u6570\u90fd\u662f\u5982\u6b64\u3002
1.\u5355\u8c03\u6027\u6cd5
\u5229\u7528\u51fd\u6570\u7684\u5355\u8c03\u6027\u3002\u5f53\u4e00\u4e2a\u51fd\u6570\u5355\u8c03\u6027\u5f88\u5bb9\u6613\u5224\u65ad\u65f6\uff0c\u53ef\u7528\u5b9a\u4e49\u57df\u6765\u6c42\u89e3\u3002
e.g.1
y=x-\u221a\uff081-2x).\u6c42\u503c\u57df\u3002
\u89e3\uff1a1-2x\u22650,\u5f97x\u22641/2.
\u89c2\u5bdf\u5f97\uff0c\u51fd\u6570\u5728\u6307\u5b9a\u533a\u95f4\u5185\u4e3a\u589e\u51fd\u6570\uff0c\u6240\u4ee5y\u6709\u6700\u5927\u503c\uff0c\u53731/2-\u221a\uff081-1\uff09=1/2.
\u6240\u4ee5\u503c\u57df\u4e3a\uff08-\u221e\uff0c1/2]\u3002
2.\u5224\u522b\u5f0f\u6cd5\u3002\u9002\u7528\u4e8ey\u662fx\u76842\u6b21\u51fd\u6570\u7684\u60c5\u51b5\u3002\u4e14x\u2208r.
y=(x^2-x)/(x^2-x+1).\u6c42\u503c\u57df\u3002
\u89e3\uff1a\u5c06\u539f\u5f0f\u53d8\u5f62\u5f97
y*(x^2-x+1)=x^2-x.\u6574\u7406\u5f97
\uff08y-1\uff09x^2+(1-y)x+y=0.
\u56e0\u4e3ay=1\u65f6\uff0c\u63a8\u51fay=0.\u5373x\u2208\u03c6
\u6240\u4ee5y\u22601.
x\u2208r\uff0c\u5373\u6b64\u5f0f\u6052\u6709\u6839\uff0c\u6240\u4ee5\u03b4=\uff081-y)^2-4(y-1)*y\u22650,
\u89e3\u5f97-1/3\u2264y\u22641.
\u53c8\u56e0\u4e3ay\u22601,\u6240\u4ee5
y\u2208[-1/3,1).
\u6ce8\uff1a\u6b64\u6cd5\u53ef\u7528\u7684\u539f\u56e0\uff1a\u5316\u6210x\u7684\u5f0f\u5b50\u540e\u53d1\u73b0\uff0cx\u2208r\u5bf9\u8be5\u5f0f\u90fd\u6210\u7acb\uff0c\u4e5f\u5c31\u662f\u8bf4\u6709\u8fd9\u6837\u7684x,\u4e00\u5b9a\u53ef\u4ee5\u4e3a\u6839\uff0c\u8981y\u6765\u914d\u5408\u3002\u6b64\u5f0f\u7531\u65e0\u7a77\u4e2a\u6839\uff0c\u5373\u5982\u679c\u4f60\u7ed9\u4e86\u5408\u9002\u7684y\u540e\uff0c\u5728\u5f0f\u5b50\u4e2d\u603b\u80fd\u627e\u5230x\u89e3\u3002\u90a3\u4e48\u8fd9\u4e2ay\u5c31\u662f\u4e3a\u4e86\u4fdd\u8bc1\u8ba9\u5f0f\u5b50\u4e00\u5b9a\u6709\u89e3\u624d\u4f1a\u6ee1\u8db3x\u2208r\u6210\u7acb\uff0c\u5373\u5224\u522b\u5f0f\u5927\u4e8e\u7b49\u4e8e0.
3.\u5206\u79bb\u5e38\u6570\u6cd5\u3002\u9002\u7528\u4e8e\u5206\u6bcd\u5206\u5b50\u6709\u76f8\u540c\u7684\u5f62\u5f0f\u7684\u90e8\u5206\uff0c\u7136\u540e\u7528\u89c2\u5bdf\u6cd5\uff08\u5355\u8c03\u6027\u6cd5\uff09
y=(2-sinx)/(2+sinx).\u6c42\u503c\u57df\u3002
\u53d8\u5f62\u4e3ay=(-2-sinx+4)/(2+sinx)=-1+4/(2+sinx)
\u56e0\u4e3asinx\u2208[-1,1],\u6240\u4ee52+sinx\u2208[1,3].\u6240\u4ee54/\uff082+sinx)\u2208[4/3,4].
\u6240\u4ee5y\u2208[1/3,3]
4.\u53cd\u8868\u793a\u6cd5\u3002\u628a\u672a\u77e5\u9879\uff08\u542bx\u9879\uff09\u7528y\u6765\u8868\u793a\uff0c\u8981\u77e5\u9053\u672a\u77e5\u9879\u7684\u8303\u56f4\u3002
y=3^x/(3^x+1).\u6c42\u503c\u57df\u3002
\u89e3\uff1a\u53d8\u5f62\u5f973^x(1-y)=y.\u8ba8\u8bba
\u5f53y=1,\u53733^x/(3^x+1)=1.\u4e0d\u6210\u7acb\uff08\u56e0\u4e3a\u6b64\u5f0f\u5c0f\u4e8e1\uff09\u6240\u4ee5y\u22601,
\u5219\u67093^x=y/(1-y).\u8fd9\u5c31\u662f\u8bf43^x\u4e0ey/(1-y\uff09\u662f\u7b49\u540c\u7684\u3002\u90a3\u4e48\u4ed6\u4eec\u7684\u8303\u56f4\u4e5f\u5c31\u7b49\u540c\u3002\u4e5f\u5c31\u662f\u8bf4y/(1-y)\uff1e0.\u89e3\u5f97y\u2208(0,1).
5.\u51e0\u4f55\u610f\u4e49\u6cd5\u3002\u9898\u5e72\u7684\u5f62\u5f0f\u4f1a\u8ba9\u6211\u4eec\u4ea7\u751f\u8054\u60f3\u3002\u5982\u60f3\u5230\u659c\u7387\u3001\u4e24\u70b9\u95f4\u8ddd\u79bb\u516c\u5f0f\u7b49\u3002
\u2460\u3002y=\u221a(x^2+1)+\u221a[(2-x)^2+4].\u6c42\u503c\u57df\u3002
\u5148\u770b\u5b9a\u4e49\u57df\uff0c\u5168\u4f53\u5b9e\u6570\u3002\u90a3\u4e48\u4e0d\u7528\u7ba1\u4e86\u3002
\u53d8\u5f62\u5f97y=\u221a[(x-0)^2+(0-1)^2]+\u221a[(x-2)^2+(0-2)^2].
y\u7684\u51e0\u4f55\u610f\u4e49\u662f\uff08x,0)\u70b9\u5230\u70b9\uff080\uff0c1\uff09\u7684\u8ddd\u79bb\u4e0e\uff08x.0)\u70b9\u5230\u70b9\uff082\uff0c2\uff09\u7684\u8ddd\u79bb\u7684\u548c\u3002\u753b\u51fa\u56fe\u50cf\uff0c\u89c2\u5bdf\u77e5\uff0c\u5f53\uff08x,0)\u70b9\u5728\u76f4\u7ebfy-2=3/2(x-2)\u4e0a\u65f6\uff0c\u6709\u6700\u5c0f\u503c\u3002
\u89e3\u76f4\u7ebf\u4e0ex\u8f74\u4ea4\u70b9\uff0c\u5f97x=2/3.\u5bf9\u5e94\u7684\u539f\u51fd\u6570\u503cy=\u221a(4+9)=\u221a13.(\u52fe\u80a1\u5b9a\u7406\uff09
\u2461\u3002\u6c42y=sinx/(2-x)\u7684\u503c\u57df\u3002
\u89e3\uff1a\u53d8\u5f62\u5f97y=-(0-sinx)/(2-cosx).y\u7684\u51e0\u4f55\u610f\u4e49\u662f\uff082\uff0c0\uff09\u5230\uff08cosx,sinx)\u7684\u659c\u7387\u7684\u76f8\u53cd\u6570\u3002\u753b\u56fe\uff0c\u89c2\u5bdf\u8ba1\u7b97\u5f97k\u7684\u8303\u56f4\u662f[-\u221a3/3,\u221a3/3].
\u6240\u4ee5y\u7684\u8303\u56f4\u662f-k,\u4e3a[-\u221a3/3,\u221a3/3].
\u5982\u679c\u4f60\u662f\u65b0\u751f\u7684\u8bdd\uff0c\u53ef\u80fd\u6709\u4e9b\u4e1c\u897f\u4f60\u8fd8\u6ca1\u63a5\u89e6\u5230\uff0c\u7406\u89e3\u7684\u4f1a\u5dee\u4e00\u4e9b\u3002\u6ca1\u5173\u7cfb\uff0c\u4e0d\u51fa\u51e0\u4e2a\u6708\uff0c\u4f60\u5c31\u90fd\u80fd\u5b66\u5230\u4e86\u3002
\u9664\u4e86\u4e0a\u9762\u6211\u4ecb\u7ecd\u7684\u51e0\u79cd\u65b9\u6cd5\u5916\uff0c\u8fd8\u6709\u4ec0\u4e48\u6362\u5143\u6cd5\uff0c\u4e0a\u4e0b\u540c\u9664\u6cd5\uff0c\u5e73\u65b9\u53bb\u6839\u53f7\u6cd5\uff0c\u5bfc\u6570\u6cd5\u7b49\u7b49\u3002\u4f46\u6700\u5e38\u7528\u7684\u8fd8\u662f\u4e0a\u9762\u90a3\u51e0\u4e2a\u3002

\u5982\u679c\u662f\u4e09\u89d2\u51fd\u6570\u6216\u8005\u662f\u7edd\u5bf9\u503c\u7684\u6c42\u503c\u57df\u7684\u7528\u6570\u5f62\u7ed3\u5408\u6cd5\uff1b\u5982\u679c\u6700\u9ad8\u6b21\u5e42\u662f\u4e00\u6b21\u7684\u7528\u53cd\u8868\u793a\u6cd5\u6216\u8005\u5206\u79bb\u5e38\u6570\u6cd5\uff1b\u6700\u9ad8\u6b21\u5e42\u662f2\u6b21\u7684\u4e00\u822c\u7528\u5224\u522b\u5f0f\uff0c\u5982\u679c\u6700\u9ad8\u6b21\u5e42\u662f2\u6b21\u7684\u4e14\u6709\u7ed9\u5b9a\u4e49\u57df\u7684\u53ef\u4ee5\u8003\u8651\u662f\u5426\u53ef\u4ee5\u7528\u57fa\u672c\u4e0d\u7b49\u5f0f\uff0c\u5982\u679c\u6700\u9ad8\u6b21\u5e42\u662f2\u6b21\u7684\uff0c\u4e14\u6709\u6839\u53f7\u5f00\u65b9\u7684\uff0c\u6700\u597d\u8003\u8651\u5c06\u4ed6\u8f6c\u5316\u4e3a\u4e09\u89d2\u51fd\u6570\u8fdb\u884c\u6c42\u503c\u57df

当x=0时，y=1,当x>0时，y≤1+1/2=3/2,当x<0时，y≥1+1/-2=1/2.
所以y的值域为【1/2,3/2】。

分组讨论：当x>0时, x+1/x>=2, 则 1/(x+1/x)<=1/2, 有1+1/(x+1/x)<=3/2, 得 y<=3/2; 当x<0时, x+1/x<=-2, 则1/(x+1/x)>=-1/2, 有1+1/(x+1/x)>=1/2, 即 y>=1/2. 所以函数的值域为[1/2, 3/2]。注：这里用到平均值不等式：a,b是正实数，a+b>=2根号ab。另外还有一种方法：根判别式法，把这个分式函数化为关于x的一元二次方程。利用根判别式大于或等于0来求y的范围即得值域。

可以用反解法

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