什么是共轭矩阵？ 什么是共轭矩阵？请举个例子~
\u4ec0\u4e48\u53eb\u5171\u8f6d\u77e9\u9635\u5171\u8f6d\u77e9\u9635
\u53c8\u79f0Hermite\u9635\u3002Hermite\u9635\u4e2d\u6bcf\u4e00\u4e2a\u7b2ci \u884c\u7b2cj \u5217\u7684\u5143\u7d20\u90fd\u4e0e\u7b2cj \u884c\u7b2ci \u5217\u7684\u5143\u7d20\u7684\u5171\u8f6d\u76f8\u7b49\u3002\u57c3\u5c14\u7c73\u7279\u77e9\u9635\uff08\u6216\u81ea\u5171\u8f6d\u77e9\u9635\uff09\u662f\u76f8\u5bf9\u5176\u4e3b\u5bf9\u89d2\u7ebf\u4ee5\u590d\u5171\u8f6d\u65b9\u5f0f\u5bf9\u79f0, \u5373\u662f ai,j=a*j,i\u3002
\u5bf9\u4e8e
A = \{ a_{i,j} \} \in C^{n \times n}
\u6709\uff1a
a_{i,j} = \overline{a_{j,i}}\uff0c\u5176\u4e2d\overline{(\cdot)}\u4e3a\u5171\u8f6d\u7b97\u7b26\u3002
\u8bb0\u505a\uff1a
A = A^H \quad
\u4f8b\u5982\uff1a
\begin
3&2+i\\ 2-i&1 \end
\u5c31\u662f\u4e00\u4e2aHermite\u9635\u3002
\u663e\u7136\uff0cHermite\u9635\u4e3b\u5bf9\u89d2\u7ebf\u4e0a\u7684\u5143\u7d20\u5fc5\u987b\u662f\u5b9e\u6570\u3002\u5bf9\u4e8e\u53ea\u5305\u542b\u5b9e\u6570\u5143\u7d20\u7684\u77e9\u9635\uff08\u5b9e\u77e9\u9635\uff09\uff0c\u5982\u679c\u5b83\u662f\u5bf9\u79f0\u9635\uff0c\u5373\u6240\u6709\u5143\u7d20\u5173\u4e8e\u4e3b\u5bf9\u89d2\u7ebf\u5bf9\u79f0\uff0c\u90a3\u4e48\u5b83\u4e5f\u662fHermite\u9635\u3002\u4e5f\u5c31\u662f\u8bf4\uff0c\u5b9e\u5bf9\u79f0\u9635\u662fHermite\u9635\u7684\u7279\u4f8b\u3002
\u6027\u8d28
\u82e5A \u548cB \u662fHermite\u9635\uff0c\u90a3\u4e48\u5b83\u4eec\u7684\u548cA+B \u4e5f\u662fHermite\u9635\uff1b\u800c\u53ea\u6709\u5728A \u548cB\u6ee1\u8db3\u4ea4\u6362\u6027\uff08\u5373AB = BA\uff09\u65f6\uff0c\u5b83\u4eec\u7684\u79ef\u624d\u662fHermite\u9635\u3002
\u53ef\u9006\u7684Hermite\u9635A \u7684\u9006\u77e9\u9635A-1\u4ecd\u7136\u662fHermite\u9635\u3002
\u5982\u679cA\u662fHermite\u9635\uff0c\u5bf9\u4e8e\u6b63\u6574\u6570n\uff0cAn\u662fHermite\u9635.
\u65b9\u9635C \u4e0e\u5176\u5171\u8f6d\u8f6c\u7f6e\u7684\u548cC + C^*\u662fHermite\u9635.
\u65b9\u9635C \u4e0e\u5176\u5171\u8f6d\u8f6c\u7f6e\u7684\u5deeC - C^*\u662fskew-Hermite\u9635\u3002
\u4efb\u610f\u65b9\u9635C \u90fd\u53ef\u4ee5\u7528\u4e00\u4e2aHermite\u9635A \u4e0e\u4e00\u4e2askew-Hermite\u9635B\u7684\u548c\u8868\u793a:
C = A+B \quad\mbox\quad A = \frac(C + C^*) \quad\mbox\quad B = \frac(C - C^*).
Hermite\u9635\u662f\u6b63\u89c4\u9635\uff0c\u56e0\u6b64Hermite\u9635\u53ef\u88ab\u9149\u5bf9\u89d2\u5316\uff0c\u800c\u4e14\u5f97\u5230\u7684\u5bf9\u89d2\u9635\u7684\u5143\u7d20\u90fd\u662f\u5b9e\u6570\u3002\u8fd9\u610f\u5473\u7740Hermite\u9635\u7684\u7279\u5f81\u503c\u90fd\u662f\u5b9e\u7684\uff0c\u800c\u4e14\u4e0d\u540c\u7684\u7279\u5f81\u503c\u6240\u5bf9\u5e94\u7684\u7279\u5f81\u5411\u91cf\u76f8\u4e92\u6b63\u4ea4\uff0c\u56e0\u6b64\u53ef\u4ee5\u5728\u8fd9\u4e9b\u7279\u5f81\u5411\u91cf\u4e2d\u627e\u51fa\u4e00\u7ec4Cn\u7684\u6b63\u4ea4\u57fa\u3002
n\u9636Hermite\u65b9\u9635\u7684\u5143\u7d20\u6784\u6210\u7ef4\u6570\u4e3an2\u7684\u5b9e\u5411\u91cf\u7a7a\u95f4\uff0c\u56e0\u4e3a\u4e3b\u5bf9\u89d2\u7ebf\u4e0a\u7684\u5143\u7d20\u6709\u4e00\u4e2a\u81ea\u7531\u5ea6\uff0c\u800c\u4e3b\u5bf9\u89d2\u7ebf\u4e4b\u4e0a\u7684\u5143\u7d20\u6709\u4e24\u4e2a\u81ea\u7531\u5ea6\u3002
\u5982\u679cHermite\u9635\u7684\u7279\u5f81\u503c\u90fd\u662f\u6b63\u6570\uff0c\u90a3\u4e48\u8fd9\u4e2a\u77e9\u9635\u662f\u6b63\u5b9a\u9635\uff0c\u82e5\u5b83\u4eec\u662f\u975e\u8d1f\u7684\uff0c\u5219\u8fd9\u4e2a\u77e9\u9635\u662f\u534a\u6b63\u5b9a\u9635\u3002
Hermite\u5e8f\u5217
Hermite\u5e8f\u5217\uff08\u6291\u6216Hermite\u5411\u91cf\uff09\u6307\u6ee1\u8db3\u4e0b\u5217\u6761\u4ef6\u7684\u5e8f\u5217ak\uff08\u5176\u4e2dk = 0, 1, \u2026, n\uff09\uff1a
\Im(a_0) = 0 \quad \mbox \quad a_k = \overline{a_} \quad \mbox k=1,2,\dots,n.
\u82e5n \u662f\u5076\u6570\uff0c\u5219an/2\u662f\u5b9e\u6570\u3002
\u5b9e\u6570\u5e8f\u5217\u7684\u79bb\u6563\u5085\u91cc\u53f6\u53d8\u6362\u662fHermite\u5e8f\u5217\u3002\u53cd\u4e4b\uff0c\u4e00\u4e2aHermite\u5e8f\u5217\u7684\u9006\u79bb\u6563\u5085\u91cc\u53f6\u53d8\u6362\u662f\u5b9e\u5e8f\u5217\u3002
\u5171\u8f6d\u77e9\u9635\u53c8\u79f0Hermite\u9635\u3001\u57c3\u5c14\u7c73\u7279\u77e9\u9635\u3002Hermite\u9635\u4e2d\u6bcf\u4e00\u4e2a\u7b2ci \u884c\u7b2cj \u5217\u7684\u5143\u7d20\u90fd\u4e0e\u7b2cj \u884c\u7b2ci \u5217\u7684\u5143\u7d20\u7684\u5171\u8f6d\u76f8\u7b49
\u5171\u8f68\u77e9\u9635\uff08\u6216\u81ea\u5171\u8f6d\u77e9\u9635\uff09\u662f\u76f8\u5bf9\u5176\u4e3b\u5bf9\u89d2\u7ebf\u4ee5\u590d\u5171\u8f6d\u65b9\u5f0f\u5bf9\u79f0, \u5373\u662f
\u5171\u8f6d\u77e9\u9635\u8868\u8fbe\u5f0f
\u5bf9\u4e8e
A = \{ a_{i,j} \} \in C^{n \times n}
\u6709\uff1a
a_{i,j} = \overline{a_{j,i}}\uff0c\u5176\u4e2d\overline{(\cdot)}\u4e3a\u5171\u8f6d\u7b97\u7b26\u3002
\u8bb0\u505a\uff1a
A = A^H \quad
\u4f8b\u5982\uff1a
\begin{bmatrix}
3&2+i\\ 2-i&1 \end{bmatrix}
埃尔米特矩阵又称自共轭矩阵、Hermite阵。Hermite阵中每一个第i行第j列的元素都与第j行第i列的元素的共轭相等（然而矩阵A的共轭矩阵并非Hermite阵）。自共轭矩阵是矩阵本身先转置再把矩阵中每个元素取共轭得到的矩阵。
Hermite阵主对角线上的元素必须是实数。对于只包含实数元素的矩阵，如果它是对称阵，即所有元素关于主对角线对称，那么它也是Hermite阵。也就是说，实对称阵是Hermite阵的特例。
扩展资料：
推论：
1）n阶埃尔米特矩阵A为正定矩阵的充要条件是A的所有特征值大于0。
2）若A是n阶埃尔米特矩阵，其特征值对角阵为V，则存在一个酉矩阵U，使AU＝UV。
3）若A是n阶埃尔米特矩阵，其弗罗伯尼范数的平方等于其所有特征值的平方和。
4）斜埃尔米特矩阵为A的共轭转置为－A，斜埃尔米特矩阵的特征值全是实数。更进一步，斜埃尔米特矩阵都是正规矩阵。因此它们是可对角化的，它们不同的特征向量一定是正交的。
埃尔米特矩阵又称自共轭矩阵、Hermite阵。Hermite阵中每一个第i 行第j 列的元素都与第j 行第i 列的元素的共轭相等（然而矩阵A的共轭矩阵并非Hermite阵）。
自共轭矩阵是矩阵本身先转置再把矩阵中每个元素取共轭得到的矩阵。Hermite阵主对角线上的元素必须是实数。对于只包含实数元素的矩阵（实矩阵），实对称阵是Hermite阵的特例。
扩展资料：
共轭矩作为正规阵，因此共轭矩阵不同的特征值所对应的特征向量相互正交，因此可以在这些特征向量中找出一组Cn的正交基。
n阶共轭方阵的元素构成维数为n2的实向量空间，因为主对角线上的元素有一个自由度，而主对角线之上的元素有两个自由度。
参考资料来源：百度百科-共轭矩阵
共轭矩阵又称Hermite阵。Hermite阵中每一个第i行第j列的元素都与第j行第i列的元素的共轭相等。埃尔米特矩阵（或自共轭矩阵）是相对其主对角线以复共轭方式对称,即是ai,j=a*j,i。
以复数为元素的矩阵，其共轭矩阵指对每一个元素取共轭之后得到的矩阵。
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