1的平方加上2的平方再加上3的平方一直加到n次方是多少？ 2的2次方加2的3次方加一直加到到2的n次方等于多少？
\u4e00\u52a0\u4e09\u7684\u4e00\u6b21\u65b9\u52a0\u4e09\u7684\u4e8c\u6b21\u65b9\u4e00\u76f4\u52a0\u5230\u4e09\u7684N\u6b21\u65b9\u7684\u548c\u4e3a\u591a\u5c11 \uff1f\uff1f\uff1f\u548c\u662f(3^( n+1)-1\uff09/2\u3002\u8fd9\u662f\u4e00\u4e2a\u7b49\u6bd4\u6570\u5217\uff0c\u8bbeS=1+3+3^2+3^3+\u2026\u2026+3^n
\u4ee3\u5165\u7b49\u6bd4\u6570\u5217\u6c42\u548c\u516c\u5f0fSn=(a1(1-q^n))/(1-q)\uff0ca1\u662f\u7b49\u6bd4\u6570\u5217\u7684\u9996\u9879\uff0cq\u662f\u7b49\u6bd4\u6570\u5217\u7684\u6bd4\u503c\u3002
Sn=(1(1-3^n))/(1-3)=(3^( n+1)-1\uff09/2\u3002
\u6269\u5c55\u8d44\u6599\uff1a
\u7b49\u6bd4\u6570\u5217\u7684\u6027\u8d28
1\u3001\u82e5m\u3001n\u3001p\u3001q\u2208N*\uff0c\u4e14m+n=p+q\uff0c\u5219am*an=ap*aq\u3002
2\u3001\u5728\u7b49\u6bd4\u6570\u5217\u4e2d\uff0c\u4f9d\u6b21\u6bcfk\u9879\u4e4b\u548c\u4ecd\u6210\u7b49\u6bd4\u6570\u5217\u3002
3\u3001\u82e5\u201cG\u662fa\u3001b\u7684\u7b49\u6bd4\u4e2d\u9879\u201d\u5219\u201cG^2=ab\uff08G\u22600\uff09\u201d\u3002
4\u3001\u82e5{an}\u662f\u7b49\u6bd4\u6570\u5217\uff0c\u516c\u6bd4\u4e3aq1\uff0c{bn}\u4e5f\u662f\u7b49\u6bd4\u6570\u5217\uff0c\u516c\u6bd4\u662fq2\uff0c\u5219{a2n}\uff0c{a3n}\u2026\u662f\u7b49\u6bd4\u6570\u5217\uff0c\u516c\u6bd4\u4e3aq1^2\uff0cq1^3\u2026{can}\uff0cc\u662f\u5e38\u6570\uff0c{an*bn}\uff0c{an/bn}\u662f\u7b49\u6bd4\u6570\u5217\uff0c\u516c\u6bd4\u4e3aq1\uff0cq1q2\uff0cq1/q2\u3002
5\u3001\u82e5\uff08an\uff09\u4e3a\u7b49\u6bd4\u6570\u5217\u4e14\u5404\u9879\u4e3a\u6b63\uff0c\u516c\u6bd4\u4e3aq\uff0c\u5219\uff08log\u4ee5a\u4e3a\u5e95an\u7684\u5bf9\u6570\uff09\u6210\u7b49\u5dee\uff0c\u516c\u5dee\u4e3alog\u4ee5a\u4e3a\u5e95q\u7684\u5bf9\u6570\u3002
6\u3001\u7b49\u6bd4\u6570\u5217\u524dn\u9879\u4e4b\u548cSn=A1(1-q^n)/(1-q)=A1(q^n-1)/(q-1)=(A1q^n)/(q-1)-A1/(q-1)
\u5728\u7b49\u6bd4\u6570\u5217\u4e2d\uff0c\u9996\u9879A1\u4e0e\u516c\u6bd4q\u90fd\u4e0d\u4e3a\u96f6\u3002
\u53c2\u8003\u8d44\u6599\u6765\u6e90\uff1a\u767e\u5ea6\u767e\u79d1-\u7b49\u6bd4\u6570\u5217
2^(n+1)-4\u3002
\u8ba1\u7b97\u8fc7\u7a0b\u5982\u4e0b\uff1a
1\u3001\u7528\u7b49\u6bd4\u6570\u5217\u6c42\u548c\u516c\u5f0f\uff1a
2^2+2^3+2^4+\u00b7\u00b7\u00b72^n
=2^2\u00d7[1-2^(n-1)]/(1-2)
=4[2^(n-1)-1]
=2^(n+1)-4
2\u3001\u53732\u76842\u6b21\u65b9\u52a02\u76843\u6b21\u65b9\u52a0\u4e00\u76f4\u52a0\u5230\u52302\u7684n\u6b21\u65b9=2^(n+1)-4\u3002
\u6269\u5c55\u8d44\u6599\uff1a
\u672c\u9898\u53e6\u4e00\u8ba1\u7b97\u65b9\u6cd5\uff1a
1\u3001\u8bbes=2\u76842\u6b21\u65b9\u52a02\u76843\u6b21\u65b9\u52a0\u4e00\u76f4\u52a0\u5230\u52302\u7684n\u6b21\u65b9\uff1b
2\u30012s=2\u76843\u6b21\u65b9\u52a02\u76844\u6b21\u65b9\u52a0\u4e00\u76f4\u52a0\u5230\u52302\u7684n+1\u6b21\u65b9\uff1b
3\u30012s-s=2\u7684n+1\u6b21\u65b9-2\u76842\u6b21\u65b9\uff1b
4\u3001s=2\u7684n+1\u6b21\u65b9-4\uff1b
5\u3001\u53732\u76842\u6b21\u65b9\u52a02\u76843\u6b21\u65b9\u52a0\u4e00\u76f4\u52a0\u5230\u52302\u7684n\u6b21\u65b9=2\u7684n+1\u6b21\u65b9-4
=n(n+1)(2n+1)/6
可用数学归纳法证明。
绛旓細n^3-1=2*(1^2+2^2+3^2+...+n^2)-2+[1^2+2^2+...+(n-1)^2+n^2]-n^2-(2+3+4+...+n)n^3-1=3*(1^2+2^2+3^2+...+n^2)-2-n^2-(1+2+3+...+n)+1 n^3-1=3(1^2+2^2+...+n^2)-1-n^2-n(n+1)/2 3(1^2+2^2+...+n^2)=n^3+...
绛旓細int fun(int n){ int sum=0,i=0;for(i=1;i<=n;i++){ sum+=i*i;} return sum;}
绛旓細1锛4锛9锛嬧︼紜x2锛嬶紙x锛1锛2锛漻(x+1)(2x+1)/6锛嬶紙x锛1锛2 锛濓紙x锛1锛塠2锛坸2锛夛紜x锛6锛坸锛1锛塢/6 锛濓紙x锛1锛塠2锛坸2锛夛紜7x锛6]/6 锛濓紙x锛1锛夛紙2x锛3锛夛紙x锛2锛/6 锛濓紙x锛1锛塠锛坸锛1锛夛紜1][2锛坸锛1锛+1]/6 涔熸弧瓒冲叕寮 4銆佺患涓婃墍杩帮紝骞虫柟鍜屽叕寮1^2+2^2...
绛旓細c璇█鐨勭▼搴:main(){int m,n=0,i; &&鍙橀噺M浠ｈ〃瀛愰」鐨勪釜鏁.scanf("%d",&m); 鍙橀噺N涓虹疮鍔犲拰,i浠ｈ〃姣忎釜瀛愰」.for(i=1;i<=m;i++)n=n+i*i;printf("%d",n);
绛旓細1鐨勫钩鏂瑰拰11鐨勫钩鏂逛釜浣嶆暟瀛楃浉鍚岋紝2鐨勫钩鏂鍜12鐨勫钩鏂逛釜浣嶆暟瀛楃浉鍚屸︹︽墍浠1鐨勫钩鏂瑰姞鍒10鐨勫钩鏂圭殑涓綅鏁板瓧鍜11鐨勫钩鏂瑰姞鍒20鐨勫钩鏂圭殑涓綅鏁板瓧鐩稿悓銆1鐨勫钩鏂瑰姞鍒10鐨勫钩鏂逛釜浣嶆暟瀛楁槸1+4+9+16+25+36+49+64+81+100=285锛屼釜浣嶆槸5.鎵浠11鐨勫钩鏂瑰姞鍒20鐨勫钩鏂逛篃鏄5锛屼篃灏辨槸1鐨勫钩鏂瑰姞鍒20鐨勫钩鏂逛釜浣嶆槸0...
绛旓細a=2鏃讹細3³-2³=3脳2²+3脳2+1 a=3鏃讹細4³-3³=3脳3²+3脳3+1 a=4鏃讹細5³-4³=3脳4²+3脳4+1.路路a=n鏃讹細锛坣+1锛³-n³=3脳n²+3脳n+1 绛夊紡涓よ竟鐩稿姞锛氾紙n+1)³-1=3锛1²+2²...
绛旓細鍥炵瓟锛1^2+2^2+3^2+...+n^2=n(n+1)(2n+1)/6
绛旓細1^2+2^2+3^2+鈥︹+n^2=n(n+1)(2n+1)/6 鍒╃敤绔嬫柟宸叕寮 n^3-(n-1)^3=1*[n^2+(n-1)^2+n(n-1)] =n^2+(n-1)^2+n^2-n =2*n^2+(n-1)^2-n 2^3-1^3=2*2^2+1^2-2 3^3-2^3=2*3^2+2^2-3 4^3-3^3=2*4^2+3^2-4 ... ...
绛旓細3.褰搉澧炲姞鍒皒+1鏃讹紝閫氳繃浠ｅ叆鍜屾帹瀵硷紝鍙互璇佹槑1+4+9+...+x^2+(x+1)^2浠嶇劧婊¤冻鍏紡锛屼粠鑰屽緱鍑哄綊绾宠瘉鏄庣殑缁撹銆傝繖涓叕寮忎笉浠呴傜敤浜庢眰鍜岋紝杩樿绉颁负骞虫柟鍜屽叕寮忥紝甯哥敤浜庤В鍐充笌杩炵画鑷劧鏁板钩鏂圭浉鍏崇殑鏁板闂锛屾瘮濡傚洓瑙掗敟鏁版垨閲戝瓧濉旀暟鐨勮绠椼傚畠瀹為檯涓婃槸鏇村箍娉涚殑鍐搱浼叕寮忕殑涓涓壒渚嬨傚湪瑙ｅ喅闂鏃讹紝...
绛旓細+(n+n)2鍙互灞曞紑涓(n2+2n+12)+( n2+2脳2n+22) +( n2+2脳3n+32)+鈥+( n2+2脳nn+n2)=n3+2n(1+2+3+鈥+n)+ 12+22+32+鈥+n2,鍗 S1=2S+n3+2n(1+2+3+鈥+n)鈥︹︹..(1)绗簩锛歋1=12+22+32+鈥+n2+(n+1)2+(n+2)2+(n+3)2+鈥+(n+n)2鍙互鍐欎负锛歋1=12+32...
