1的平方加2的平方加3的平方加4的平方加......加50的平方等于几? x的平方加y的平方 等于？
1\u7684\u5e73\u65b9\u52a02\u7684\u5e73\u65b9\u4e00\u76f4\u52a0\u5230n\u7684\u5e73\u65b9\u7b49\u4e8e\u591a\u5c11x²+y²=\uff08x+y\uff09²-2xy\u3002
\u5206\u6790\u8fc7\u7a0b\u5982\u4e0b\uff1a
\uff08x+y\uff09²-2xy
=\uff08x+y\uff09\uff08x+y\uff09-2xy
=x²+y²+2xy-2xy
=x²+y²
\u6269\u5c55\u8d44\u6599\uff1a
\u5176\u4ed6\u76f8\u5173\u516c\u5f0f\uff1a
\uff081\uff09\uff08a+b\uff09³\uff1da³\uff0b3a²b\uff0b3ab²\uff0bb³
\uff082\uff09a³+b³=a³+a²b-a²b+b³=a²\uff08a+b\uff09-b\uff08a²-b²\uff09=a²\uff08a+b\uff09-b\uff08a+b\uff09\uff08a-b\uff09
=\uff08a+b\uff09[a²-b\uff08a-b\uff09]=\uff08a+b\uff09\uff08a²-ab+b²\uff09
\uff083\uff09a³-b³=a³-a²b+a²b-b³=a²\uff08a-b\uff09+b\uff08a²-b²\uff09=a²\uff08a-b\uff09+b\uff08a+b\uff09\uff08a-b\uff09
=\uff08a-b\uff09[a²+b\uff08a+b\uff09]=\uff08a-b\uff09\uff08a²+ab+b²\uff09
\u56e0\u5f0f\u5206\u89e3\u4e0e\u89e3\u9ad8\u6b21\u65b9\u7a0b\u6709\u5bc6\u5207\u7684\u5173\u7cfb\u3002\u5bf9\u4e8e\u4e00\u5143\u4e00\u6b21\u65b9\u7a0b\u548c\u4e00\u5143\u4e8c\u6b21\u65b9\u7a0b\uff0c\u521d\u4e2d\u5df2\u6709\u76f8\u5bf9\u56fa\u5b9a\u548c\u5bb9\u6613\u7684\u65b9\u6cd5\u3002\u5728\u6570\u5b66\u4e0a\u53ef\u4ee5\u8bc1\u660e\uff0c\u5bf9\u4e8e\u4e00\u5143\u4e09\u6b21\u65b9\u7a0b\u548c\u4e00\u5143\u56db\u6b21\u65b9\u7a0b\uff0c\u4e5f\u6709\u56fa\u5b9a\u7684\u516c\u5f0f\u53ef\u4ee5\u6c42\u89e3\u3002\u53ea\u662f\u56e0\u4e3a\u516c\u5f0f\u8fc7\u4e8e\u590d\u6742\uff0c\u5728\u975e\u4e13\u4e1a\u9886\u57df\u6ca1\u6709\u4ecb\u7ecd\u3002
\u5bf9\u4e8e\u5206\u89e3\u56e0\u5f0f\uff0c\u4e09\u6b21\u591a\u9879\u5f0f\u548c\u56db\u6b21\u591a\u9879\u5f0f\u4e5f\u6709\u56fa\u5b9a\u7684\u5206\u89e3\u65b9\u6cd5\uff0c\u53ea\u662f\u6bd4\u8f83\u590d\u6742\u3002\u5bf9\u4e8e\u4e94\u6b21\u4ee5\u4e0a\u7684\u4e00\u822c\u591a\u9879\u5f0f\uff0c\u5df2\u7ecf\u8bc1\u660e\u4e0d\u80fd\u627e\u5230\u56fa\u5b9a\u7684\u56e0\u5f0f\u5206\u89e3\u6cd5\uff0c\u4e94\u6b21\u4ee5\u4e0a\u7684\u4e00\u5143\u65b9\u7a0b\u4e5f\u6ca1\u6709\u56fa\u5b9a\u89e3\u6cd5\u3002
即1^2+2^2+3^2+…+n^2=n(n+1)(2n+1)/6 (注：N^2=N的平方)
证明1＋4＋9＋…＋n^2＝N(N+1)(2N+1)/6
证法一（归纳猜想法）：
1、N＝1时，1＝1（1＋1）（2×1＋1）/6＝1
2、N＝2时，1＋4＝2（2＋1）（2×2＋1）/6＝5
3、设N＝x时，公式成立，即1＋4＋9＋…＋x2＝x(x+1)(2x+1)/6
则当N＝x＋1时，
1＋4＋9＋…＋x2＋（x＋1）2＝x(x+1)(2x+1)/6＋（x＋1）2
＝（x＋1）[2（x2）＋x＋6（x＋1）]/6
＝（x＋1）[2（x2）＋7x＋6]/6
＝（x＋1）（2x＋3）（x＋2）/6
＝（x＋1）[（x＋1）＋1][2（x＋1）+1]/6
也满足公式
4、综上所述，平方和公式1^2+2^2+3^2+…+n^2=n(n+1)(2n+1)/6成立，得证。
证法二（利用恒等式(n+1)^3=n^3+3n^2+3n+1）：
(n+1)^3-n^3=3n^2+3n+1,
n^3-(n-1)^3=3(n-1)^2+3(n-1)+1
..............................
3^3-2^3=3*(2^2)+3*2+1
2^3-1^3=3*(1^2)+3*1+1.
把这n个等式两端分别相加，得：
(n+1)^3-1=3(1^2+2^2+3^2+....+n^2)+3(1+2+3+...+n)+n,
由于1+2+3+...+n=(n+1)n/2,
代人上式得：
n^3+3n^2+3n=3(1^2+2^2+3^2+....+n^2)+3(n+1)n/2+n
整理后得：
1^2+2^2+3^2+....+n^2=n(n+1)(2n+1)/6
1^2+2^2+3^2+...+n^2=n(n+1)(2n+1)/6
有六分之一n(n+1)(2n+1)
绛旓細1脳1+2脳2+3脳3+4脳4+5脳5+6脳6+7脳7+8脳8+9脳9+10脳10 =1+4+9+16+25+36+49+64+81+100 =385 锛堟垜涓涓竴涓緵鑻︽墦瀛楀拰绠楃殑鍝!锛
绛旓細锛坣+1)^3-n^3=3n^2+3n+1 灏嗕笂寮忕疮鍔犺捣鏉ュ彲寰 锛坣+1)^3-1^3=3(1^2+2^2+3^2+...+n^2)+3(1+2+3+...+n)+n 鍙1^2+2^2+3^2+...+n^2=n(n+1)/2 鎵浠1鏂+2鏂+3鏂+鈥︹+n鏂=n(n+1)(2n+1锛/6
绛旓細鍥炵瓟锛1^2+2^2+3^2+...+n^2=n(n+1)(2n+1)/6
绛旓細=338350
绛旓細鎮ㄥソ锛佹湁涓涓叕寮=1鐨勫钩鏂瑰姞2鐨勫钩鏂瑰姞3鐨勫钩鏂瑰姞4鐨勫钩鏂瑰埌n鐨勫钩鏂=n涔樹互n+1涔樹互2n+1闄や互6 閭ｄ箞 1鐨勫钩鏂瑰姞2鐨勫钩鏂瑰姞3鐨勫钩鏂瑰姞4鐨勫钩鏂瑰埌99鐨勫钩鏂 =99涔樹互99+1涔樹互2脳99+1闄や互6 =99涔樹互100涔樹互199闄や互6 =9900涔樹互199闄や互6 =1970100闄や互6 =328350 ...
绛旓細骞虫柟鍜屾眰鍜屽叕寮忥細1^2+2^2+鈥︹+n^2=n(n+1)(2n+1)/6 浠=2023锛屾鏃舵湁锛歯(n+1)(2n+1)/6=2023脳2024脳4047梅6=2761775324
绛旓細鏍规嵁鍏紡锛1^2+2^2+3^2+4^2+5^2+鈥+n^2=n(n+1)(2n+1)/6鎵浠 鍘熼=1^2+2^2+3^2+4^2+5^2+鈥+1000^2=1000脳1001脳2001/6=333833500绫讳技鐨勫叾瀹冭绠楀叕寮忚繕鏈夛細1+2+3+4+5+鈥+n=n(n+1)/2 1+3+5+7+9+11+13+15+鈥+(2n-1)=n^2 ...
绛旓細n^3-1=2*(1^2+2^2+3^2+...n^3-(n-1)^3=2*n^2+(n-1)^2-n 鍚勭瓑寮忓叏鐩稿姞 n^3-1^3=2*(2^2+3^2+.+n^2)=n^3+n^2+n(n+1)/鍒╃敤绔嬫柟宸叕寮 n^3-(n-1)^3=1*[n^2+(n-1)^2+n(n-1)]=n^2+(n-1)^2+n^2-n =2*n^2+(n-1)^2-n 2^3-1^3=...
绛旓細涓銆1骞虫柟+2骞虫柟+3骞虫柟+n骞虫柟鍏紡鏄細1²+2²+3²+...+n²=n(n+1)(2n+1)/6銆傚叿浣撴楠ゅ涓嬶細2³-1³=3脳1²+3脳1+13³-2³=3脳2²+3脳2+1...鎵浠ュ緱鍑猴細(n+1)³-n³=3n²+3n+1涓婇潰杩欎簺鐩稿姞寰楀埌锛...
绛旓細鍏紡锛1²+2²+3²+.+N²=n锛坣+1锛(2n+1)/6 1鐨勫钩鏂瑰姞鍒100鐨勫钩鏂 =100脳101脳201锛6=338350
