有哪些对数？ 什么是客车对数？怎么样才叫一对？是指双向还是同向的？有没有轨...
\u5bf9\u6570\u7684\u6027\u8d28\u6709\u54ea\u4e9b\uff1f\u5bf9\u6570\u7684\u6027\u8d28\u5982\u4e0b\uff1a
1\u3001a^(log(a)(b))=b
2\u3001log(a)(a^b)=b
3\u3001log(a)(MN)=log(a)(M)+log(a)(N);
4\u3001log(a)(M\u00f7N)=log(a)(M)-log(a)(N);
5\u3001log(a)(M^n)=nlog(a)(M)
6\u3001log(a^n)M=1/nlog(a)(M)
7\u3001\u6362\u5e95\u516c\u5f0f\uff1alog(a)(N)=log(b)(N)\u00f7log(b)(a)
8\u3001log(a)(b)=1/log(b)(a)
\u6269\u5c55\u8d44\u6599\uff1a
\u5bf9\u6570\u7684\u5e94\u7528
\u5bf9\u6570\u5728\u6570\u5b66\u5185\u5916\u6709\u8bb8\u591a\u5e94\u7528\u3002\u8fd9\u4e9b\u4e8b\u4ef6\u4e2d\u7684\u4e00\u4e9b\u4e0e\u5c3a\u5ea6\u4e0d\u53d8\u6027\u7684\u6982\u5ff5\u6709\u5173\u3002\u4f8b\u5982\uff0c\u9e66\u9e49\u87ba\u7684\u58f3\u7684\u6bcf\u4e2a\u5ba4\u662f\u4e0b\u4e00\u4e2a\u7684\u5927\u81f4\u526f\u672c\uff0c\u7531\u5e38\u6570\u56e0\u5b50\u7f29\u653e\u3002\u8fd9\u5f15\u8d77\u4e86\u5bf9\u6570\u87ba\u65cb\u3002Benford\u5173\u4e8e\u9886\u5148\u6570\u5b57\u5206\u914d\u7684\u5b9a\u5f8b\u4e5f\u53ef\u4ee5\u901a\u8fc7\u5c3a\u5ea6\u4e0d\u53d8\u6027\u6765\u89e3\u91ca\u3002
\u5bf9\u6570\u4e5f\u4e0e\u81ea\u76f8\u4f3c\u6027\u76f8\u5173\u3002\u4f8b\u5982\uff0c\u5bf9\u6570\u7b97\u6cd5\u51fa\u73b0\u5728\u7b97\u6cd5\u5206\u6790\u4e2d\uff0c\u901a\u8fc7\u5c06\u7b97\u6cd5\u5206\u89e3\u4e3a\u4e24\u4e2a\u7c7b\u4f3c\u7684\u8f83\u5c0f\u95ee\u9898\u5e76\u4fee\u8865\u5176\u89e3\u51b3\u65b9\u6848\u6765\u89e3\u51b3\u95ee\u9898\u3002\u81ea\u76f8\u4f3c\u51e0\u4f55\u5f62\u72b6\u7684\u5c3a\u5bf8\uff0c\u5373\u5176\u90e8\u5206\u7c7b\u4f3c\u4e8e\u6574\u4f53\u56fe\u50cf\u7684\u5f62\u72b6\u4e5f\u57fa\u4e8e\u5bf9\u6570\u3002\u5bf9\u6570\u523b\u5ea6\u5bf9\u4e8e\u91cf\u5316\u4e0e\u5176\u7edd\u5bf9\u5dee\u5f02\u76f8\u53cd\u7684\u503c\u7684\u76f8\u5bf9\u53d8\u5316\u662f\u6709\u7528\u7684\u3002
\u5ba2\u8f66\u5bf9\u6570\u6307\u505c\u9760\u6b64\u7ad9\u6216\u901a\u8fc7\u67d0\u4e00\u533a\u95f4\u7684\u5217\u8f66\u5bf9\u6570\uff08\u53cc\u5411\u505c\u9760\u7b97\u4e00\u5bf9\uff0c\u5355\u5411\u505c\u9760\u4e5f\u7b97\u4e00\u5bf9\uff0c\u4ec5\u4ee5\u884c\u8f66\u8def\u7ebf\u8ba1\u7b97\uff09 \u6253\u4e2a\u6bd4\u65b9\uff1a\u5317\u4eac\u5230\u798f\u5dde\u7684K101\uff08\u4e0b\u884c\uff09\u548c\u798f\u5dde\u5230\u5317\u4eac\u7684k104\u6b21\uff08\u4e0a\u884c\uff09\u90fd\u505c\u5357\u4eac\u7ad9\uff0c\u90a3\u4e48k101/104\u7b97\u662f\u505c\u9760\u5357\u4eac\u7ad9\u7684\u4e00\u5bf9\u5217\u8f66\u3002\u6bd4\u5982k101\u800c\u662f\u7ed5\u9053\u5230\u5408\u80a5\uff0c\u4e0d\u7ecf\u5357\u4eac\u7ad9\uff0ck104\u4ecd\u7136\u505c\u9760\u5357\u4eac\u7ad9\uff08\u4e0d\u540c\u7ebf\u8def\uff09\uff0c\u90a3\u4e48k101\u7b97\u662f\u505c\u9760\u5408\u80a5\u7684\u4e00\u5bf9\u5217\u8f66\uff0ck104\u662f\u505c\u9760\u5357\u4eac\u7684\u4e00\u5bf9\u5217\u8f66\u3002 \u8fd9\u662f\u4e3a\u4e86\u8ba1\u7b97\u901a\u884c\u8f66\u6d41\u91cf\uff0c\u6bd4\u5982\u67d0\u4e2a\u7ad9/\u533a\u95f4\u6700\u5927\u80fd\u901a\u884c\u591a\u5c11\u5bf9\u5ba2\u8fd0\u5217\u8f66\uff3c\u8d27\u8fd0\u5217\u8f66
对数对数的概念：logarithms
如果b^n=x，则记n=log(b)(x)。其中，b叫做“底数”，x叫做“真数”，n叫做“以b为底的x的对数”。
log(b)(x)函数中x的定义域是x>0，零和负数没有对数；b的定义域是b>0且b≠1
对数的历史：
对数是中学初等数学中的重要内容，那么当初是谁首创“对数”这种高级运算的呢？在数学史上，一般认为对数的发明者是十六世纪末到十七世纪初的苏格兰数学家——纳皮尔（Napier，1550-1617年）男爵。在纳皮尔所处的年代，哥白尼的“太阳中心说”刚刚开始流行，这导致天文学成为当时的热门学科。可是由于当时常量数学的局限性，天文学家们不得不花费很大的精力去计算那些繁杂的“天文数字”，因此浪费了若干年甚至毕生的宝贵时间。纳皮尔也是当时的一位天文爱好者，为了简化计算，他多年潜心研究大数字的计算技术，终于独立发明了对数。当然，纳皮尔所发明的对数，在形式上与现代数学中的对数理论并不完全一样。在纳皮尔那个时代，“指数”这个概念还尚未形成，因此纳皮尔并不是像现行代数课本中那样，通过指数来引出对数，而是通过研究直线运动得出对数概念的。那么，当时纳皮尔所发明的对数运算，是怎么一回事呢？在那个时代，计算多位数之间的乘积，还是十分复杂的运算，因此纳皮尔首先发明了一种计算特殊多位数之间乘积的方法。让我们来看看下面这个例子：
0、1、2、3、4、5、6、7 、8 、9 、10 、11 、12 、13 、14 、……
1、2、4、8、16、32、64、128、256、512、1024、2048、4096、8192、16384、……
这两行数字之间的关系是极为明确的：第一行表示2的指数，第二行表示2的对应幂。如果我们要计算第二行中两个数的乘积，可以通过第一行对应数字的加和来实现。比如，计算64×256的值，就可以先查询第一行的对应数字：64对应6，256对应8；然后再把第一行中的对应数字加和起来：6＋8＝14；第一行中的14，对应第二行中的16384，所以有：64×256＝16384。纳皮尔的这种计算方法，实际上已经完全是现代数学中“对数运算”的思想了。回忆一下，我们在中学学习“运用对数简化计算”的时候，采用的不正是这种思路吗：计算两个复杂数的乘积，先查《常用对数表》，找到这两个复杂数的常用对数，再把这两个常用对数值相加，再通过《常用对数的反对数表》查出加和值的反对数值，就是原先那两个复杂数的乘积了。这种“化乘除为加减”，从而达到简化计算的思路，不正是对数运算的明显特征吗？经过多年的探索，纳皮尔男爵于1614年出版了他的名著《奇妙的对数定律说明书》，向世人公布了他的这项发明，并且解释了这项发明的特点。所以，纳皮尔是当之无愧的“对数缔造者”，理应在数学史上享有这份殊荣。伟大的导师恩格斯在他的著作《自然辩证法》中，曾经把笛卡尔的坐标、纳皮尔的对数、牛顿和莱布尼兹的微积分共同称为十七世纪的三大数学发明。法国著名的数学家、天文学家拉普拉斯（PierreSimonLaplace，1749-1827）曾说对数可以缩短计算时间，“在实效上等于把天文学家的寿命延长了许多倍”。
对数的性质及推导
用^表示乘方，用log(a)(b)表示以a为底，b的对数
*表示乘号，/表示除号
定义式：
若a^n=b(a>0且a≠1)
则n=log(a)(b)
基本性质：
1.a^(log(a)(b))=b
2.log(a)(MN)=log(a)(M)+log(a)(N);
3.log(a)(M/N)=log(a)(M)-log(a)(N);
4.log(a)(M^n)=nlog(a)(M)
推导
1.这个就不用推了吧，直接由定义式可得(把定义式中的[n=log(a)(b)]带入a^n=b)
2.
MN=M*N
由基本性质1(换掉M和N)
a^[log(a)(MN)] = a^[log(a)(M)] * a^[log(a)(N)]
由指数的性质
a^[log(a)(MN)] = a^{[log(a)(M)] + [log(a)(N)]}
又因为指数函数是单调函数，所以
log(a)(MN) = log(a)(M) + log(a)(N)
3.与2类似处理
MN=M/N
由基本性质1(换掉M和N)
a^[log(a)(M/N)] = a^[log(a)(M)] / a^[log(a)(N)]
由指数的性质
a^[log(a)(M/N)] = a^{[log(a)(M)] - [log(a)(N)]}
又因为指数函数是单调函数，所以
log(a)(M/N) = log(a)(M) - log(a)(N)
4.与2类似处理
M^n=M^n
由基本性质1(换掉M)
a^[log(a)(M^n)] = {a^[log(a)(M)]}^n
由指数的性质
a^[log(a)(M^n)] = a^{[log(a)(M)]*n}
又因为指数函数是单调函数，所以
log(a)(M^n)=nlog(a)(M)
其他性质：
性质一：换底公式
log(a)(N)=log(b)(N) / log(b)(a)
推导如下
N = a^[log(a)(N)]
a = b^[log(b)(a)]
综合两式可得
N = {b^[log(b)(a)]}^[log(a)(N)] = b^{[log(a)(N)]*[log(b)(a)]}
又因为N=b^[log(b)(N)]
所以
b^[log(b)(N)] = b^{[log(a)(N)]*[log(b)(a)]}
所以
log(b)(N) = [log(a)(N)]*[log(b)(a)] {这步不明白或有疑问看上面的}
所以log(a)(N)=log(b)(N) / log(b)(a)
性质二：（不知道什么名字）
log(a^n)(b^m)=m/n*[log(a)(b)]
推导如下
由换底公式[lnx是log(e)(x),e称作自然对数的底]
log(a^n)(b^m)=ln(a^n) / ln(b^n)
由基本性质4可得
log(a^n)(b^m) = [n*ln(a)] / [m*ln(b)] = (m/n)*{[ln(a)] / [ln(b)]}
再由换底公式
log(a^n)(b^m)=m/n*[log(a)(b)]
--------------------------------------------（性质及推导 完 ）
公式三:
log(a)(b)=1/log(b)(a)
证明如下:
由换底公式 log(a)(b)=log(b)(b)/log(b)(a) ----取以b为底的对数,log(b)(b)=1
=1/log(b)(a)
还可变形得:
log(a)(b)*log(b)(a)=1
绛旓細甯哥敤瀵规暟锛氫互10涓哄簳鐨勫鏁帮紝甯哥敤绗﹀彿涓簂og锛屼緥濡俵og10(x)锛岄氬父绠鍐欎负lg(x)銆傝嚜鐒跺鏁帮細浠ヨ嚜鐒跺父鏁癳锛堢害绛変簬2.71828锛変负搴曠殑瀵规暟锛屽父鐢ㄧ鍙蜂负ln锛屼緥濡俵n(x)銆傞氱敤瀵规暟锛氫互浠绘剰姝ｆ暟a锛堜絾涓嶇瓑浜1锛変负搴曠殑瀵规暟锛屽父鐢ㄧ鍙蜂负log_a(x)锛屼緥濡俵og_2(x)銆乴og_e(x) 绛夈
绛旓細瀵规暟鐨勬蹇碉細logarithms 濡傛灉b^n=x锛屽垯璁皀=log(b)(x)銆傚叾涓紝b鍙仛鈥滃簳鏁扳濓紝x鍙仛鈥滅湡鏁扳濓紝n鍙仛鈥滀互b涓哄簳鐨剎鐨勫鏁扳濄俵og(b)(x)鍑芥暟涓瓁鐨勫畾涔夊煙鏄痻>0锛岄浂鍜岃礋鏁版病鏈夊鏁锛沚鐨勫畾涔夊煙鏄痓>0涓攂鈮1 瀵规暟鐨勫巻鍙诧細瀵规暟鏄腑瀛﹀垵绛夋暟瀛︿腑鐨勯噸瑕佸唴瀹癸紝閭ｄ箞褰撳垵鏄皝棣栧垱鈥滃鏁扳濊繖绉嶉珮绾ц繍绠...
绛旓細ln2锛宭n3锛宭n4锛宭n5锛宭n6绛銆傝嚜鐒跺鏁颁互甯告暟e涓哄簳鏁扮殑瀵规暟锛岃浣渓nN锛圢>0锛夈傚湪鐗╃悊瀛︼紝鐢熺墿瀛︾瓑鑷劧绉戝涓湁閲嶈鐨勬剰涔夛紝涓鑸〃绀烘柟娉曚负lnx銆傛暟瀛︿腑涔熷父瑙佷互logx琛ㄧず鑷劧瀵规暟銆傚鏁扮殑杩愮畻娉曞垯锛1銆乴og(a) (M路N锛=log(a) M+log(a) N 2銆乴og(a) (M梅N)=log(a) M-log(a) N 3銆...
绛旓細铻虹嚎鐨勬暟瀛﹁〃杈惧紡閫氬父鏈変笅闈簲绉嶏細锛1锛瀵规暟铻虹嚎锛涳紙2锛夐樋鍩虹背寰疯灪绾匡紱锛3锛夎繛閿佽灪绾匡紱锛4锛夊弻鏇茶灪绾匡紱锛5锛夊洖鏃嬭灪绾裤傚鏁拌灪绾垮湪鑷劧鐣屼腑鏈涓烘櫘閬嶅瓨鍦紝鍏跺畠铻虹嚎涔熶笌瀵规暟铻虹嚎鏈変竴瀹氱殑鍏崇郴锛屼笉杩囩洰鍓嶆垜浠粛鏈壘鍒拌灪绾跨殑閫氬紡銆傚鏁拌灪绾挎槸1638骞寸粡绗涘崱灏斿紩杩涚殑锛屽悗鏉ョ憺澹暟瀛﹀闆呭悇路浼姫鍒╂浘璇︾粏鐮旂┒杩囧畠锛...
绛旓細20浠ュ唴鐨勫鏁版湁涓锛屼簩绛銆傚鏋渂^n=x锛屽垯璁皀=log(b)(x)銆傚叾涓紝b鍙仛鈥滃簳鏁扳濓紝x鍙仛鈥滅湡鏁扳濓紝n鍙仛鈥滀互b涓哄簳鐨剎鐨勫鏁扳濄傚鏁版湁1锛3锛5锛7锛9锛11锛13锛15锛17锛19锛屽伓鏁版湁2锛3锛5锛7锛11锛13锛17锛19銆
绛旓細涓鑸湴锛屽鏋渁锛坅澶т簬0锛屼笖a涓嶇瓑浜1锛夌殑b娆″箓绛変簬N锛岄偅涔堟暟b鍙仛浠涓哄簳N鐨瀵规暟锛岃浣渓ogaN=b,璇讳綔浠涓哄簳N鐨勫鏁帮紝鍏朵腑a鍙仛瀵规暟鐨勫簳鏁帮紝N鍙仛鐪熸暟銆傚鏁拌繍绠楁硶鍒欐槸涓绉嶇壒娈婄殑杩愮畻鏂规硶銆傛寚绉佸晢銆佸箓銆佹柟鏍圭殑瀵规暟鐨勮繍绠楁硶鍒欍傚鏁板嚱鏁扮殑甯哥敤绠鐣ヨ〃杈炬柟寮忥細log(a)(b^n)=nlog(a)(b)(a涓哄簳...
绛旓細m^x=e^lnm^x 锛坢^x=x锛塵^x=e^[锛坙nm锛墄 ]锛堝箓娉曞垯 loga X^y=ylogaX锛変互姝や换鎰忔寚鏁板糾^x閮藉彲浠ヨ浆鍙樹互e涓哄簳鐨瀵规暟鍑芥暟銆傛寚鏁板嚱鏁帮紝y=ax(a锛0锛屼笖a鈮1)锛屾敞鎰忎笌骞傚嚱鏁扮殑鍖哄埆銆傚鏁板嚱鏁皔锛漧ogax(a锛0锛屼笖a鈮1)銆傛寚鏁板嚱鏁皔=ax涓庡鏁板嚱鏁皔=logax浜掍负鍙嶅嚱鏁般
绛旓細鍦ㄧ畝鍗曠殑鎯呭喌涓嬶紝涔樻暟涓殑瀵规暟璁℃暟鍥犲瓙銆傛洿涓鑸潵璇达紝涔樺箓鍏佽灏嗕换浣曟瀹炴暟鎻愰珮鍒颁换浣曞疄闄呭姛鐜囷紝鎬绘槸浜х敓姝ｇ殑缁撴灉锛屽洜姝ゅ彲浠ュ浜巄涓嶇瓑浜1鐨勪换浣曚袱涓瀹炴暟b鍜寈璁＄畻瀵规暟銆傛崲搴曞叕 鎺ㄥ 璁綽=a^m锛宎=c^n锛屽垯b=(c^n)^m=c^(mn) 鈶 瀵光憼鍙栦互a涓哄簳鐨勫鏁帮紝鏈夛細log(a)(b)=m 鈶 瀵光憼鍙栦互c...
绛旓細浠ュ父鐢瀵规暟涓轰緥锛屽叕寮忔湁锛歭g(ab)=lga+lgb lg(a/b)=lga-lgb lg(a^n)=nlga 10^(lga)=a
绛旓細瀵规暟鏂圭▼锛氬浜庡舰濡 log_a (M * N) = log_a M + log_a N 鐨勬柟绋嬶紝鍙互閫氳繃瀵规暟杩愮畻瑙勫垯杩涜鍖栫畝鍜屾眰瑙ｃ傚鏁颁笉绛夊紡锛氬浜庡舰濡 log_a (M * N) < log_a M + log_a N 鐨勪笉绛夊紡锛屽彲浠ラ氳繃瀵规暟杩愮畻瑙勫垯杩涜鍖栫畝鍜屾眰瑙ｃ傛讳箣锛屽鏁拌繍绠楄鍒欐槸瀵规暟璁＄畻鐨勫熀纭锛屾帉鎻¤繖浜涜鍒欐湁鍔╀簬鎴戜滑鏇村ソ鍦...
