对数函数的概念及性质
一. 基本知识指数函数和对数函数是高中九个基本函数中重要的两个。同其他函数一样,还是要求掌握好函数的定义,三要素,图象和性质。
指数函数是y=常数的x次方,x在指数的位置,底数大于0,且不为1。其图象为讲义气的义,过定点(0,1),底数大于1,为一撇,底数大于0小于1为一捺。当底数为一对倒数时,图象关于y轴对称。
对数函数是y=以a为底x的对数,底数大于0且不为1,真数x大于0。其图象为躺着的讲义气的义,过定点(1,0)。底数为一对倒数时图象关于x轴对称。
不管是指数函数还是对数函数,底数大于1为增函数,底数大于0小于1为减函数。
指数函数和对数函数
二. 基本题型
求定义域和值域。求定义域注意三点:偶次根号下的式子大于等于0,分母不为0,真数大于0。
过定点问题。
比大小:1)利用单调性比;2)利用媒介法比大小,常用的媒介有0和1。
复合函数题型:1)分解;2)一一研究;3)综合解决问题。
带你了解对数函数
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对数函数
数学函数
对数函数是以幂(真数)为自变量,指数为因变量,底数为常量的函数。其是六类基本初等函数之一。 如果ax=N(a>0,且a≠1),那么数x叫做以a为底N的对数,记作x=logaN,读作以a为底N的对数,其中a叫做对数的底数,N叫做真数。一般地,函数y=logaX(a>0,且a≠1)就叫做对数函数,其中“log”是拉丁文logarithm(对数)的缩写。
中文名
对数函数
外文名
Logarithmic Function
别称
对函数
表达式
y=logax(a>0 & a≠1)
提出者
约翰·纳皮尔
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简介
对数函数是6类基本初等函数之一。其中对数的定义:
如果ax=N(a>0,且a≠1),那么数x叫做以a为底N的对数,记作x=logaN,读作以a为底N的对数,其中a叫做对数的底数,N叫做真数。
一般地,函数y=logax(a>0,且a≠1)叫做对数函数,也就是说以幂(真数)为自变量,指数为因变量,底数为常量的函数,叫对数函数。
其中x是自变量,函数的定义域是(0,+∞),即x>0。它实际上就是指数函数的反函数,可表示为x=ay。因此指数函数里对于a的规定,同样适用于对数函数。
“log”是拉丁文logarithm(对数)的缩写,读作:[英][lɔɡ][美][lɔɡ, lɑɡ]。
实际应用
在实数域中,真数式子没根号那就只要求真数式大于零,如果有根号,要求真数大于零还要保证根号里的式子大于等于零(若为负数,则值为虚数),底数则要大于0且不为1。
对数函数
对数函数的底数为什么要大于0且不为1?【在一个普通对数式里 a<0,或=1 的时候是会有相应b的值。但是,根据对数定义:log以a为底a的对数;如果a=1或=0那么log以a为底a的对数就可以等于一切实数(比如log11也可以等于2,3,4,5,等等)】
通常我们将以10为底的对数叫常用对数(common logarithm),并把log10N记为lgN。另外,在科学计数中常使用以无理数e=2.71828···为底数的对数,以e为底的对数称为自然对数(natural logarithm),并且把logeN记为In N。根据对数的定义,可以得到对数与指数间的关系:
当a>0,a≠1时,aX=NX=logaN。(N>0)
由指数函数与对数函数的这个关系,可以得到关于对数的如下结论:
在实数范围内,负数和零没有对数;
,log以a为底1的对数为0(a为常数) 恒过点(1,0)。
有理和无理指数
如果是正整数,表示等于的个因子的加减:
加减
但是,如果是不等于1的正实数,这个定义可以扩展到在一个域中的任何实数(参见幂)。类似的,对数函数可以定义于任何正实数。对于不等于1的每个正底数,有一个对数函数和一个指数函数,它们互为反函数。
对数可以简化乘法运算为加法,除法为减法,幂运算为乘法,根运算为除法。所以,在发明电子计算机之前,对数对进行冗长的数值运算是很有用的,它们广泛的用于天文、工程、航海和测绘等领域中。它们有重要的数学性质而在今天仍在广泛使用中。
复对数
复对数计算公式
复数的自然对数,实部等于复数的模的自然对数,虚部等于复数的辐角。
产生历史
16世纪末至17世纪初的时候,当时在自然科学领域(特别是天文学)的发展上经常遇到大量精密而又庞大的数值计算,于是数学家们为了寻求化简的计算方法而发明了对数。
德国的史蒂非(1487-1567)在1544年所著的《整数算术》中,写出了两个数列,左边是等比数列(叫原数),右边是一个等差数列(叫原数的代表,或称指数,德文是Exponent ,有代表之意)。
欲求左边任两数的积(商),只要先求出其代表(指数)的和(差),然后再把这个和(差)对向左边的一个原数,则此原数即为所求之积(商),可惜史提非并未作进一步探索,没有引入对数的概念
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