什么是函数的间断点？
找间断点应该找无定义点、极限不存在点。
找间断点：
直接找出无定义的点，就是间断点。然后用左右极限判断是第一类间断点还是第二类间断点，第一类间断点包括第一类可去间断点和第一类不可去间断点。
如果该点左右极限都存在，则是第一类间断点，其中如果左右极限相等，则是第一类可去间断点，如果左右极限不相等，则是第一类不可去间断点，即第一类跳跃间断点。
定义：
设一元实函数f（x）在点x0的某去心邻域内有定义。如果函数f(x)有下列情形之一：
（1）函数f（x）在点x0的左右极限都存在但不相等。
（2）函数f（x）在点x0的左右极限中至少有一个不存在。
（3）函数f（x）在点x0的左右极限都存在且相等，但不等于f（x0）或者f（x）在点x0无定义。
则函数f（x）在点x0为不连续，而点x0称为函数f（x）的间断点。
间断点分类：
1、可去间断点：
如果函数在某个点的函数值不存在，但是函数在该点的一个邻域内有定义，则称该点为可去间断点。这种间断点可以通过重新定义函数在该点处的函数值来消除间断点。
2、跳跃间断点：
如果函数在某个点的左右极限存在，但是两侧极限不相等，则称该点为跳跃间断点。在跳跃间断点处，函数的图像会出现突变，故称为跳跃间断点。
3、无穷间断点：
如果函数在某个点的极限是无穷大或无穷小，则称该点为无穷间断点。在无穷间断点处，函数的图像会向上或向下趋近于无穷，这种间断点也称为极限间断点。
函数的间断点并不只局限于这三类。在复杂的函数中，可能还会出现其它类型的间断点，但是以上三类是最基本也最常见的类型。
绛旓細闂存柇鐐圭殑鍒嗙被鍜屾ц川鏄珮绛夋暟瀛︿腑鐨勫彟涓閲嶈鐮旂┒鏂瑰悜銆傚父瑙佺殑绫诲瀷鍖呮嫭鍙幓闂存柇鐐广佽烦璺冮棿鏂偣銆佹棤绌烽棿鏂偣绛夛紝涓嶅悓绫诲瀷鐨勯棿鏂偣鍏锋湁涓嶅悓鐨勭壒娈婃ц川鍜岀粨璁恒備緥濡傦紝鏋侀檺瀛樺湪瀹氱悊鍜岃繛缁畾鐞嗛兘涓庨棿鏂偣鐨勫垎绫诲拰鎬ц川瀵嗗垏鐩稿叧锛屽浜庤繖浜涘畾鐞嗙殑璇佹槑鍜屾帹骞块兘闇瑕佽冭檻鍑芥暟鐨勯棿鏂偣鎯呭喌銆
绛旓細绗竴绫闂存柇鐐锛堝乏鍙虫瀬闄愰兘瀛樺湪锛夋湁浠ヤ笅涓ょ锛氳烦璺冮棿鏂偣锛氶棿鏂偣涓や晶鍑芥暟鐨鏋侀檺涓嶇浉绛夈傚彲鍘婚棿鏂偣 闂存柇鐐逛袱渚у嚱鏁扮殑鏋侀檺瀛樺湪涓旂浉绛 鍑芥暟鍦ㄨ鐐规棤鎰忎箟锛屾垨璇鐐瑰嚱鏁鍊间笉绛変簬璇ョ偣鐨勬瀬闄愬笺傜浜岀被闂存柇鐐癸紙闈炵涓绫婚棿鏂偣锛変篃鏈変袱绉 :鎸崱闂存柇鐐 鍑芥暟鍦ㄨ秼鍚戞煇鐐规椂鍦ㄦ煇涓や釜鍊兼瘮濡-1鍜+1涔嬮棿鏉ュ洖鎸崱銆傛棤...
绛旓細鐙勫埄鍏嬮浄鍑芥暟闂存柇鐐绛夌瓑銆傜浜岀被闂存柇鐐癸細鍑芥暟鐨宸﹀彸鏋侀檺鑷冲皯鏈変竴涓笉瀛樺湪銆1銆佽嫢鍑芥暟鍦▁=Xo澶勭殑宸﹀彸鏋侀檺鑷冲皯鏈変竴涓棤绌蜂笉瀛樺湪,鍒欑Оx=Xo涓篺(x)鐨勬棤绌烽棿鏂偣銆備緥y=tanx锛寈=蟺/2銆2銆佽嫢鍑芥暟鍦▁=Xo澶勭殑宸﹀彸鏋侀檺鑷冲皯鏈変竴涓尟鑽′笉瀛樺湪锛屽垯绉皒=Xo涓篺(x)鐨勬尟鑽￠棿鏂偣銆備緥y=sin(1/x),x=0銆
绛旓細鍑芥暟涓嶅彲瀵兼湁浠ヤ笅鏉′欢 1銆佸嚱鏁板湪璇ョ偣涓嶈繛缁紝涓旇鐐鏄嚱鏁扮殑绗簩绫闂存柇鐐銆傚y=tanx,鍦▁=蟺/2澶勪笉鍙 2銆佸嚱鏁板湪璇ョ偣杩炵画锛屼絾鍦ㄨ鐐圭殑宸﹀彸瀵兼暟涓嶇浉绛夈傚y=|x|锛屽湪x=0澶勮繛缁紝鍦▁澶勭殑宸﹀鏁颁负-1锛屽彸瀵兼暟涓1锛屽乏鍙冲鏁颁笉鐩哥瓑锛屽嚱鏁板湪x=0涓嶅彲瀵笺傞棿鏂偣鏄寚锛氬湪闈炶繛缁嚱鏁皔=f(x)涓煇...
绛旓細浣嗘槸宸︽瀬闄愪笉绛変簬鍙虫瀬闄愶紝閭ｄ箞杩欎釜鐐瑰氨琚О涓洪棿鏂偣銆傞棿鏂偣鍒嗕负鍙幓闂存柇鐐广佽烦璺冮棿鏂偣鍜屾棤绌烽棿鏂偣涓夌鎯呭喌銆傚洜姝わ紝鐟曠偣鏄寚鍑芥暟鍦ㄦ煇涓鐐圭殑鍑芥暟鍊间负鏃犵┓澶ф垨涓嶅瓨鍦紝鑰岄棿鏂偣鏄寚鍑芥暟鍦ㄦ煇涓鐐圭殑宸︽瀬闄愬拰鍙虫瀬闄愬瓨鍦紝浣嗕笉鐩哥瓑銆傚彲浠ヨ锛屾墍鏈夌殑鐟曠偣閮芥槸闂存柇鐐癸紝浣嗗苟闈炴墍鏈鐨勯棿鏂偣閮芥槸鐟曠偣銆
绛旓細璺宠穬闂存柇鐐锛氬嚱鏁板湪璇ョ偣宸︽瀬闄愩佸彸鏋侀檺瀛樺湪锛屼絾涓嶇浉绛夈傚彲鍘婚棿鏂偣鍜岃烦璺冮棿鏂偣绉颁负绗竴绫婚棿鏂偣锛屼篃鍙湁闄愬瀷闂存柇鐐广傚叾瀹冮棿鏂偣绉颁负绗簩绫婚棿鏂偣銆傛眰娉曢兘鏄垎鍒眰宸﹀彸鏋侀檺锛岀劧鍚庢牴鎹鐐圭殑瀹氫箟鍜屼互涓婁袱鏉″垽鏂槸涓嶆槸鍙幓鐨勬垨鑰呰烦璺冪殑锛屽鏋滈兘涓嶆槸灏辨槸绗簩绫婚棿鏂偣銆傜浜岀被闂存柇鐐癸細鍑芥暟鐨宸﹀彸鏋侀檺鑷冲皯...
绛旓細鍦ㄩ珮鏁颁腑鈥滈棿鏂偣鈥濆彧瑕佷粠鍑芥暟娌℃湁瀹氫箟鐨勭偣閲屽幓鎵惧氨涓嶄細閬楁紡銆傞棿鏂偣鏄寚鍦ㄩ潪杩炵画鍑芥暟y=f(x)涓煇鐐瑰xo澶勬湁涓柇鐜拌薄锛岄偅涔坸o灏辩О涓鍑芥暟鐨勪笉杩炵画鐐銆備綔涓轰竴闂ㄥ熀纭绉戝锛岄珮绛夋暟瀛︽湁鍏跺浐鏈夌殑鐗圭偣锛岃繖灏辨槸楂樺害鐨勬娊璞℃с佷弗瀵嗙殑閫昏緫鎬у拰骞挎硾鐨勫簲鐢ㄦс傛娊璞℃у拰璁＄畻鎬ф槸鏁板鏈鍩烘湰銆佹渶鏄捐憲鐨勭壒鐐癸紝鏈変簡...
绛旓細4銆佽ˉ鍏呰鏄庯細浠ヤ笂鏂规硶鍙槸涓鑸垽鏂棿鏂被鍨嬬殑甯歌鎵嬫锛屽叿浣撴儏鍐典粛闇瑕佹牴鎹叿浣鍑芥暟鍙婂叾瀹氫箟鍩熻繘琛屽垎鏋愩闂存柇鐐绫诲瀷 1銆佸彲鍘婚棿鏂紙Removable Discontinuity锛夛細鍦ㄦ煇涓偣澶勶紝鍑芥暟瀛樺湪浣嗕笉杩炵画锛屽苟涓旇闂存柇鍙互閫氳繃淇鍑芥暟鍦ㄨ鐐圭殑瀹氫箟鎴栬呰ˉ鍏呯己澶辩殑鍑芥暟鍊兼潵娑堥櫎銆傚彲鍘婚棿鏂氬父琛ㄧず涓哄嚱鏁板湪璇ョ偣闄勮繎鏈変竴涓绔...
绛旓細(1)鍑芥暟f(x)鍦ㄧ偣x0鐨勫乏鍙虫瀬闄愰兘瀛樺湪浣嗕笉鐩哥瓑,鍗砯(x0+)鈮爁(x0-); (2)鍑芥暟f(x)鍦ㄧ偣x0鐨勫乏鍙虫瀬闄愪腑鑷冲皯鏈変竴涓笉瀛樺湪; (3)鍑芥暟f(x)鍦ㄧ偣x0鐨勫乏鍙虫瀬闄愰兘瀛樺湪涓旂浉绛,浣嗕笉绛変簬f(x0)鎴栬協(x)鍦ㄧ偣x0鏃犲畾涔夈 鍒欏嚱鏁癴(x)鍦ㄧ偣x0涓轰笉杩炵画,鑰岀偣x0绉颁负鍑芥暟f(x)鐨勯棿鏂偣銆 鎵╁睍璧勬枡: 闂存柇鐐圭殑...
绛旓細鍑芥暟鍦ㄨ鐐瑰鍦ㄦ煇涓や釜鍊兼瘮濡-1鍜+1涔嬮棿鏉ュ洖鎸崱銆2銆佹棤绌闂存柇鐐锛屽嚱鏁板湪璇ョ偣鏋侀檺涓嶅瓨鍦ㄨ秼浜庢棤绌峰厛鐪嬪嚱鏁板湪鍝簺鐐规槸娌℃湁鎰忎箟鐨勫啀鍒嗕袱澶х被鍒ゆ柇鏃犵┓闂存柇鐐 鍜 闈炴棤绌烽棿鏂偣杩欎袱绉嶅簲璇ュ緢瀹规槗鍖哄垎鍦 闈炴棤绌烽棿鏂偣 涓,杩樺垎鍙幓闂存柇鐐瑰拰璺宠穬闂存柇鐐瑰鏋滄瀬闄愬瓨鍦ㄥ氨鏄彲鍘婚棿鏂偣锛屼笉瀛樺湪灏辨槸璺宠穬闂存柇鐐广
