欧拉公式如何简单推导欧拉公式是如何推导的

\u6b27\u62c9\u516c\u5f0f\u662f\u600e\u4e48\u63a8\u5bfc\u51fa\u6765\u7684

\u7528\u62d3\u6734\u5b66\u65b9\u6cd5\u8bc1\u660e\u6b27\u62c9\u516c\u5f0f
\u5c1d\u6b27\u62c9\u516c\u5f0f\uff1a\u5bf9\u4e8e\u4efb\u610f\u591a\u9762\u4f53\uff08\u5373\u5404\u9762\u90fd\u662f\u5e73\u9762\u591a\u8fb9\u5f62\u5e76\u4e14\u6ca1\u6709\u6d1e\u7684\u7acb\u4f53\uff09\uff0c\u5047 \u8bbeF\uff0cE\u548cV\u5206\u522b\u8868\u793a\u9762\uff0c\u68f1\uff08\u6216\u8fb9\uff09\uff0c\u89d2\uff08\u6216\u9876\uff09\u7684\u4e2a\u6570\uff0c\u90a3\u4e48
F-E+V=2\u3002\u8bd5\u4e00\u4e0b\u7528\u62d3\u6734\u5b66\u65b9\u6cd5\u8bc1\u660e\u5173\u4e8e\u591a\u9762\u4f53\u7684\u9762\u3001\u68f1\u3001\u9876\u70b9\u6570\u7684\u6b27\u62c9\u516c\u5f0f\u3002

\u8bc1\u660e \u5982\u56fe15\uff08\u56fe\u662f\u7acb\u65b9\u4f53\uff0c\u4f46\u8bc1\u660e\u662f\u4e00\u822c\u7684\uff0c\u662f\u201c\u62d3\u6734\u201d\u7684\uff09\uff1a

\uff081\uff09\u628a\u591a\u9762\u4f53\uff08\u56fe\u4e2d\u2460\uff09\u770b\u6210\u8868\u9762\u662f\u8584\u6a61\u76ae\u7684\u4e2d\u7a7a\u7acb\u4f53\u3002
\uff082\uff09\u53bb\u6389\u591a\u9762\u4f53\u7684\u4e00\u4e2a\u9762\uff0c\u5c31\u53ef\u4ee5\u5b8c\u5168\u62c9\u5f00\u94fa\u5728\u5e73\u9762\u4e0a\u800c\u5f97\u5230\u4e00\u4e2a\u5e73\u9762\u4e2d\u7684\u76f4\u7ebf\u5f62\uff0c\u50cf\u56fe\u4e2d\u2461\u7684\u6837\u5b50\u3002\u5047\u8bbeF\u2032\uff0cE\u2032\u548cV\u2032\u5206\u522b\u8868\u793a\u8fd9\u4e2a\u5e73\u9762\u56fe\u5f62\u7684\uff08\u7b80\u5355\uff09\u591a\u8fb9\u5f62\u3001\u8fb9\u548c\u9876\u70b9\u7684\u4e2a\u6570\uff0c\u6211\u4eec\u53ea\u987b\u8bc1\u660eF\u2032-E\u2032+V\u2032=1\u3002
\uff083\uff09\u5bf9\u4e8e\u8fd9\u4e2a\u5e73\u9762\u56fe\u5f62\uff0c\u8fdb\u884c\u4e09\u89d2\u5f62\u5206\u5272\uff0c\u4e5f\u5c31\u662f\u8bf4\uff0c\u5bf9\u4e8e\u8fd8\u4e0d\u662f\u4e09\u89d2\u5f62\u7684\u591a\u8fb9\u5f62\u9646\u7eed\u5f15\u8fdb\u5bf9\u89d2\u7ebf\uff0c\u4e00\u76f4\u5230\u6210\u4e3a\u4e00\u4e9b\u4e09\u89d2\u5f62\u4e3a\u6b62\uff0c\u50cf\u56fe\u4e2d\u2462\u7684\u6837\u5b50\u3002\u6bcf\u5f15\u8fdb\u4e00\u6761\u5bf9\u89d2\u7ebf\uff0cF\u2032\u548cE\u2032\u5404\u589e\u52a01\uff0c\u800cV\u2032\u5374\u4e0d\u53d8\uff0c\u6240\u4ee5F\u2032-E\u2032+V\u2032\u4e0d\u53d8\u3002\u56e0\u6b64\u5f53\u5b8c\u5168\u5206\u5272\u6210\u4e09\u89d2\u5f62\u7684\u65f6\u5019\uff0cF\u2032-E\u2032+V\u2032\u7684\u503c\u4ecd\u7136\u6ca1\u6709\u53d8\u3002\u6709\u4e9b\u4e09\u89d2\u5f62\u6709\u4e00\u8fb9\u6216\u4e24\u8fb9\u5728\u5e73\u9762\u56fe\u5f62\u7684\u8fb9\u754c\u4e0a\u3002
\uff084\uff09\u5982\u679c\u67d0\u4e00\u4e2a\u4e09\u89d2\u5f62\u6709\u4e00\u8fb9\u5728\u8fb9\u754c\u4e0a\uff0c\u4f8b\u5982\u56fe\u2463\u4e2d\u7684\u25b3ABC\uff0c\u53bb\u6389\u8fd9\u4e2a\u4e09\u89d2\u5f62\u7684\u4e0d\u5c5e\u4e8e\u5176\u4ed6\u4e09\u89d2\u5f62\u7684\u8fb9\uff0c\u5373AC\uff0c\u8fd9\u6837\u4e5f\u5c31\u53bb\u6389\u4e86\u25b3ABC\u3002\u8fd9\u6837F\u2032\u548cE\u2032\u5404\u51cf\u53bb1\u800cV\u2032\u4e0d\u53d8\uff0c\u6240\u4ee5F\u2032-E\u2032+V\u2032\u4e5f\u6ca1\u6709\u53d8\u3002
\uff085\uff09\u5982\u679c\u67d0\u4e00\u4e2a\u4e09\u89d2\u5f62\u6709\u4e8c\u8fb9\u5728\u8fb9\u754c\u4e0a\uff0c\u4f8b\u5982\u56fe\u2464\u4e2d\u7684\u25b3DEF\uff0c\u53bb\u6389\u8fd9\u4e2a\u4e09\u89d2\u5f62\u7684\u4e0d\u5c5e\u4e8e\u5176\u4ed6\u4e09\u89d2\u5f62\u7684\u8fb9\uff0c\u5373DF\u548cEF\uff0c\u8fd9\u6837\u5c31\u53bb\u6389\u25b3DEF\u3002\u8fd9\u6837F\u2032\u51cf\u53bb1\uff0cE\u2032\u51cf\u53bb2\uff0cV\u2032\u51cf\u53bb1\uff0c\u56e0\u6b64F\u2032-E\u2032+V\u2032\u4ecd\u6ca1\u6709\u53d8\u3002
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\uff087\uff09\u56e0\u4e3a\u539f\u6765\u56fe\u5f62\u662f\u8fde\u5728\u4e00\u8d77\u7684\uff0c\u4e2d\u95f4\u5f15\u8fdb\u7684\u5404\u79cd\u53d8\u5316\u4e5f\u4e0d\u7834\u574f\u8fd9\u4e8b\u5b9e\uff0c\u56e0\u6b64\u6700\u540e\u56fe\u5f62\u8fd8\u662f\u8fde\u5728\u4e00\u8d77\u7684\uff0c\u6240\u4ee5\u6700\u540e\u4e0d\u4f1a\u662f\u5206\u6563\u5728\u5411\u5916\u7684\u51e0\u4e2a\u4e09\u89d2\u5f62\uff0c\u50cf\u56fe\u4e2d\u2466\u90a3\u6837\u3002
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\u5373F\u2032-E\u2032+V\u2032=1
\u6210\u7acb\uff0c\u4e8e\u662f\u6b27\u62c9\u516c\u5f0f\uff1a
F-E+V=2
\u5f97\u8bc1\u3002

^ix=cosx+isinx，e是自然对数的底，i是虚数单位。它将三角函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位。 e^ix=cosx+isinx的证明：因为e^x=1+x/1！+x^2/2！+x^3/3!+x^4/4!+…… cos x=1-x^2/2!+x^4/4!-x^6/6!…… sin x=x-x^3/3!+x^5/5!-x^7/7!…… 在e^x的展开式中把x换成±ix. (±i)^2=-1, (±i)^3=??i, (±i)^4=1 …… e^±ix=1±ix/1!-x^2/2!??x^3/3!+x^4/4!…… =(1-x^2/2!+……)±i(x-x^3/3!……) 所以e^±ix=cosx±isinx 将公式里的x换成-x，得到： e^-ix=cosx-isinx，然后采用两式相加减的方法得到： sinx=(e^ix-e^-ix)/(2i)，cosx=(e^ix+e^-ix)/2.这两个也叫做欧拉公式。将e^ix=cosx+isinx中的x取作π就得到： e^iπ+1=0.这个恒等式也叫做欧拉公式

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老K唾沫么么，哦哦哦拉去weak哦作用楼退货们，哦脱离进图我魔图女王受我摸，哦就摸困吧苏总具体咯女了咯，某件垃圾咯meal卧龙。

将函数y=e^x、y=sinx、y=cosx用幂级数展开,有
e^x=exp(x)＝1＋x/1!＋x^2/2!＋x^3/3!＋x^4/4!＋…＋x^n/n!＋…
sinx=x-x^3/3!+x^5/5!-x^7/7!+……+(-1)^(k-1)*x^(2k-1)/(2k-1)!+……
cosx=1-x^2/2!+x^4/4!-x^6/6!+……+(-1)^k*x^(2k)/(2k)!+……
将式中的x换为ix,得到式；
将i*+式得到式.比较两式,知与恒等.
于是我们导出了e^ix=cosx+isinx,
将公式里的x换成-x,得到：
e^-ix=cosx-isinx,然后采用两式相加减的方法得到：
sinx=(e^ix-e^-ix)/(2i),cosx=(e^ix+e^-ix)/2.
tanx=[e^(ix)-e^(-ix)]/[ie^(ix)+ie^(-ix)]
此时三角函数定义域已推广至整个复数集.
P.S.
幂级数
c0+c1x+c2x2+...+cnxn+...=∑cnxn (n=0..∞)
c0+c1(x-a)+c2(x-a)2+...+cn(x-a)n+...=∑cn(x-a)n (n=0..∞)
它们的各项都是正整数幂的幂函数,其中c0,c1,c2,...cn...及a都是常数,这种级数称为幂级数.
泰勒展开式(幂级数展开法):
f(x)=f(a)+f'(a)/1!*(x-a)+f''(a)/2!*(x-a)2+...f(n)(a)/n!*(x-a)n+...
实用幂级数：
ex = 1+x+x2/2!+x3/3!+...+xn/n!+...
ln(1+x)= x-x2/3+x3/3-...(-1)k-1*xk/k+...(|x|

楼主说的欧拉公式是复数的那个欧拉公式：e^ix=cosx+isinx么；如果是的话不是很难推导，简单给你个思路吧：
1.把复数系数i看成未知x项一部分，对函数f=e^ix用泰勒展开，然后合并：
e^ix=1+ix+1/2!*(ix)^2+1/3!*(ix)^3+...+1/n!*(ix)^n
2.把上面的ix的项展开有i偶次方=-1，i的奇数次方=-i；
3.合并，用sinx和cosx的展开级数代替就得到欧拉公式；
希望对你有帮助，详细信息可以参考同济大学的高等数学下册无穷级数的章节；

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绛旓細娆ф媺鍏紡鎺ㄥ濡備笅銆1銆佹鎷夊叕寮忔槸e^ix=cosx+isinx锛宔鏄嚜鐒跺鏁扮殑搴曪紝i鏄櫄鏁板崟浣嶃傚畠灏嗕笁瑙掑嚱鏁扮殑瀹氫箟鍩熸墿澶у埌澶嶆暟锛屽缓绔嬩簡涓夎鍑芥暟鍜屾寚鏁板嚱鏁扮殑鍏崇郴锛屽畠鍦ㄥ鍙樺嚱鏁拌閲屽崰鏈夐潪甯搁噸瑕佺殑鍦颁綅銆2銆乪^ix=cosx+isinx鐨勮瘉鏄庯細鍥犱负e^x=1+x/1锛+x^2/2锛+x^3/3!+x^4/4!+鈥︹ cos x=1-x^2...

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