求1到n的平方和。 1到n的平方和数列求和
1\u5230N\u7684\u5e73\u65b9\u548c\uff0c\u7acb\u65b9\u548c\u516c\u5f0f\u662f\u600e\u4e48\u63a8\u5bfc\u7684\uff1f1²\uff0b2²+3²+....+n²=n(n+1)(2n+1)/6\u3002
\u5229\u7528\u6052\u7b49\u5f0f\uff08n+1)³=n³+3n²+3n+1\uff0c\u53ef\u4ee5\u5f97\u5230\uff1a
(n+1)³-n³=3n²+3n+1
n³-(n-1)³=3(n-1)²+3(n-1)+1
3³-2³=3*(2²)+3*2+1
2³-1³=3*(1²)+3*1+1
\u628a\u8fd9n\u4e2a\u7b49\u5f0f\u4e24\u7aef\u5206\u522b\u76f8\u52a0\uff0c\u5f97\uff1a
(n+1)³-1=3(1²+2²+3²+.+n²)+3(1+2+3+...+n)+n
\u7531\u4e8e1+2+3+...+n=(n+1)n/2
\u4ee3\u5165\u4e0a\u5f0f\u5f97\uff1an³+3n²+3n=3(1²+2²+3²+.+n²)+3(n+1)n/2+n
\u6574\u7406\u540e\u5f97\uff1a1+2+3+.+n=n(n+1)(2n+1)/6
\u6570\u5217\u6c42\u548c\u65b9\u6cd5
\u6570\u5217\u6c42\u548c\u5bf9\u6309\u7167\u4e00\u5b9a\u89c4\u5f8b\u6392\u5217\u7684\u6570\u8fdb\u884c\u6c42\u548c\u3002\u6c42Sn\u5b9e\u8d28\u4e0a\u662f\u6c42{an}\u7684\u901a\u9879\u516c\u5f0f\uff0c\u5e94\u6ce8\u610f\u5bf9\u5176\u542b\u4e49\u7684\u7406\u89e3\u3002\u5e38\u89c1\u7684\u65b9\u6cd5\u6709\u516c\u5f0f\u6cd5\u3001\u9519\u4f4d\u76f8\u51cf\u6cd5\u3001\u5012\u5e8f\u76f8\u52a0\u6cd5\u3001\u5206\u7ec4\u6cd5\u3001\u88c2\u9879\u6cd5\u3001\u6570\u5b66\u5f52\u7eb3\u6cd5\u3001\u901a\u9879\u5316\u5f52\u3001\u5e76\u9879\u6c42\u548c\u3002
\u6570\u5217\u662f\u9ad8\u4e2d\u4ee3\u6570\u7684\u91cd\u8981\u5185\u5bb9\uff0c\u53c8\u662f\u5b66\u4e60\u9ad8\u7b49\u6570\u5b66\u7684\u57fa\u7840\u3002\u5728\u9ad8\u8003\u548c\u5404\u79cd\u6570\u5b66\u7ade\u8d5b\u4e2d\u90fd\u5360\u6709\u91cd\u8981\u7684\u5730\u4f4d\u3002\u6570\u5217\u6c42\u548c\u662f\u6570\u5217\u7684\u91cd\u8981\u5185\u5bb9\u4e4b\u4e00\uff0c\u9664\u4e86\u7b49\u5dee\u6570\u5217\u548c\u7b49\u6bd4\u6570\u5217\u6709\u6c42\u548c\u516c\u5f0f\u5916\uff0c\u5927\u90e8\u5206\u6570\u5217\u7684\u6c42\u548c\u90fd\u9700\u8981\u6709\u4e00\u5b9a\u7684\u6280\u5de7\u3002
即1^2+2^2+3^2+…+n^2=n(n+1)(2n+1)/6 (注：n^2=n的平方)
证法一
（归纳猜想法）：
1、N=1时，1=1（1+1）（2×1+1）/6=1
2、N=2时，1+4=2（2+1）（2×2+1）/6=5
3、设N=x时，公式成立，即1+4+9+…+x2=x(x+1)(2x+1)/6
则当N=x+1时，
1+4+9+…+x2+（x+1）2=x(x+1)(2x+1)/6+（x+1）2
=（x+1）[2（x2）+x+6（x+1）]/6
=（x+1）[2（x2）+7x+6]/6
=（x+1）（2x+3）（x+2）/6
=（x+1）[（x+1）+1][2（x+1）+1]/6
也满足公式
4、综上所述，平方和公式1^2+2^2+3^2+…+n^2=n(n+1)(2n+1)/6成立，得证。
证法二
(利用恒等式(n+1)^3=n^3+3n^2+3n+1） ：
(n+1)^3-n^3=3n^2+3n+1,
n^3-(n-1)^3=3(n-1)^2+3(n-1)+1
..............................
3^3-2^3=3*(2^2)+3*2+1
2^3-1^3=3*(1^2)+3*1+1.
把这n个等式两端分别相加，得：
(n+1)^3-1=3(1^2+2^2+3^2+....+n^2)+3(1+2+3+...+n)+n,
由于1+2+3+...+n=(n+1)n/2,
代入上式得：
n^3+3n^2+3n=3(1^2+2^2+3^2+....+n^2)+3(n+1)n/2+n
整理后得：
1^2+2^2+3^2+....+n^2=n(n+1)(2n+1)/6
a^2+b^2=a(a+b)-b(a-b)
完全平方计算公式
(3x-5)²-(2x+7)²=9x²-30x+25-(4x²+28x+49)=5x²-58x-24
(3x-5)²-(2x+7)²=(3x-5+2x+7)(3x-5-2x-7)=(5x+2)(x-12)=5x²-60x+2x-24=5x²-58x-24
(x+y+1)(x+y-1)=(x+y)²-1=x²+2xy+y²-1
(2x-y-3)²=(2x-y)²-6(2x-y)+9=4x²-4xy+y²-12x+6y+9
[(x+2)(x-2)]²=(x²-4)²=x的4次方-8x²+16
(2x+3y)²-(2x+y)(2x-y)=4x²+12xy+9y²-(4x²-y²)=12xy+10y²
原式=12*1/3*(-1/2)+10*(-1/2)²=-2+5/2=0.5
设变成为x
(x+3)²-x²=39
x²+6x+9-x²=39
6x=30
x=5
[(a+b)/2]²π-(a/2)²π-(b/2)²π=abπ/2=1.57ab
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绛旓細4銆佺患涓婃墍杩帮紝骞虫柟鍜屽叕寮1^2+2^2+3^2+鈥+n^2=n(n+1)(2n+1)/6鎴愮珛锛屽緱璇併傝瘉娉曚簩 (鍒╃敤鎭掔瓑寮(n+1)^3=n^3+3n^2+3n+1锛 锛(n+1)^3-n^3=3n^2+3n+1,n^3-(n-1)^3=3(n-1)^2+3(n-1)+1 ...3^3-2^3=3*(2^2)+3*2+1 2^3-1^3=3*(1^2)+3*1+...
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