怎样求数列的极限
1、摘要：数列极限的求法一直是数列中一个比较重要的问题， 本文通过归纳和总结， 从不同 的方面罗列了它的几种求法.
关键词：高等数学、数列极限、定义、洛比达法则、
英文题目Limit methods summarize
Abstract:
The method of sequence limit has been in the series a more important problems, this paper summed up from different aspects and a few of its listing is also given.
Key words:
Higher mathematics, sequence limit, definition, los than amounting to law,
一. 引言
高等数学第二章在整个高等数学的学习中都占有相当重要的地位 ， 特别是极限，原因就是后续章节本质上都是极限。一个经典的形容就是假如高等数学是棵树木的话，那么极限就是它的根，函数就是它的皮。树没有根，活不下去， 没有皮，只能枯萎，可见极限的重要性。
极限一直是数学分析中的一个重点内容，而对数列极限的求法可谓是多种多样，通过归纳和总结，我们罗列出一些常用的求法。求数列极限的最基本的方法 还是利用数列极限的定义，也要注意运用两个重要极限，其中，可以利用等量代 换, 展开、约分，三角代换等方法化成比较好求的数列，也可以利用数列极限的 四则运算法则计算。夹逼性定理和单调有界原理是很重要的定理，在求的时候要 重点注意运用。泰勒公式、 洛必达法则、黎曼引理是针对某些特殊的数列而言的。还有一些比较常
3 （2） e x x
x =+→10) 1(lim ； e x x =+∞→) 11(l i m 说明：( 1 )不仅要能够运用这两个重要极限本身，还应能够熟练运用它们的变形形式.
（2）一定注意两个重要极限成立的条件。 一定注意两个重要极限 成立的条件。 例如：133sin lim 0=→x x x ，e x x x =--→210) 21(lim ，e x
x =+∞→3) 1(lim ；等等。 4．洛比达法则
定理2 无穷小与有界函数的乘积仍然是无穷小（即极限是0）。
定理3 当0→x 时，下列函数都是无穷小（即极限是0），且相互等价，即有：
x ～x sin ～x tan ～x arcsin ～x arctan ～) 1ln(x +～1-x e 。 说明：当上面每个函数中的自变量x 换成) (x g 时（0) (→x g ），仍有上
面的等价
关系成立，例如：当0→x 时， 13-x e ～ x 3 ；) 1ln(2x - ～ 2x -。 定理4 如果函数) (), (), (), (11x g x f x g x f 都是0x x →时的无穷小，且) (x f ～) (1x f ，) (x g ～) (1x g ，则当)
() (lim 110x g x f x x →存在时，) () (lim 0x g x f x x →也存在且等于) (x f ) () (lim 110x g x f x x →，即) () (lim 0x g x f x x →=)
() (lim 110x g x f x x →。 5．洛比达法则
定理5 假设当自变量x 趋近于某一定值（或无穷大）时，函数) (x f 和)
(x g 满足：（1）) (x f 和) (x g 的极限都是0或都是无穷大；
4 （2）) (x f 和) (x g 都可导，且) (x g 的导数不为0；
（3）)
() (lim x g x f ''存在（或是无穷大）； 则极限) () (lim x g x f 也一定存在，且等于)
() (lim x g x f ''，即) () (l i m x g x f =) () (lim x g x f '' 。 说明：定理5称为洛比达法则，用该法则求极限时，应注意条件是否
满足，只要有一条不满足，洛比达法则就不能应用。特别要注意条件（1）是否满足，即验证所求极限是否为“00”型或“∞
∞”型；条件（2）一般都满足，而条件（3）则在求导完毕后可以知道是否满足。另外，洛比达法则可以连续使用，但每次使用之前都需要注意条件。
6．连续性
定理6 一切连续函数在其定义去间内的点处都连续，即如果0x 是函数
) (x f 的定义去间内的一点，则有) () (lim 00x f x f x x =→ 。 7．极限存在准则
定理7（准则1） 单调有界数列必有极限。
定理8（准则2） 已知}{, }{, }{n n n z y x 为三个数列，且满足：
（1） ) , 3, 2, 1(, =≤≤n z x y n n n
（2） a y n n =∞→lim ，a z n n =∞
→lim 则极限∞→n n x lim 一定存在，且极限值也是a ，即a x n n =∞
→lim 。 二、求极限方法举例
1． 利用函数的连续性（定理6）求极限
5 例4 x x e x 122
lim → 解：因为20=x 是函数x
e x x f 12) (=的一个连续点，
所以 原式=e e 42212= 。
2． 利用两个重要极限求极限
例5 203cos 1lim x x x -→ 解：原式=61) 2(12sin 2lim 3sin 2lim 22
022
0=⋅=→→x x x x x x 。 注：本题也可以用洛比达法则。
例6 x x x 20
) sin 31(lim -→ 解：原式=6sin 6sin 310sin 610]) sin 31[(lim ) sin 31(lim ---→-⋅→=-=-e x x x x x x x 。
例7 n n n n ) 1
2(lim +-∞→ 解：原式=3331331]) 131[(lim ) 131(lim ---+∞→-⋅-+∞→=+-+=+-+e n n n
n n n
n n 。 注：两个重要的极限分别为 limsin x 1 2 = 1 和 lim (1 + ) x = e ，对第一个而言是 x →0 x →∞ x xX 趋近 0 时候的 sinx 与 x 比值。第2 个实际上如果 x 趋近无穷大和无穷小都有 对有对应的形式。当底数是 1 的时候要特别注意可能是用第2 个重要极限。
3． 利用定理2求极限
6 例8 x
x x 1sin lim 20→ 解：原式=0 （定理2的结果）。
4． 利用等价无穷小代换（定理4）求极限
这种方法的理论基础主要包括：(1)有限个无穷小的和、差、积仍是无穷小.(2)有界函数与无穷小的乘积是无穷小.(3)非零无穷小与无穷大互为倒数.(4)等价无穷小代换(当求两个无穷小之比的极限时，分子与分母都可用等价无穷小代替). [3]
设αα'~、~ββ'且lim lim ββαα
'=；则：β与α是等价无穷小的充分必要条件为：0() βαα=+．
常用等价无穷小：当变量0x →时，
21sin ~, tan ~,arcsin ~,arctan ~, 1~,ln(1) ~,1cos ~, 2x x x x x x x x x e x x x x x -+
-~,(1) 1~x x x αα+-．
例1 求01cos lim arctan x x x x
→-． 解 210,1cos ~,arctan ~2
x x x x x →- 时， 故，原式22011lim 2
x x x →== 例2 求1230(1) 1lim cos 1
x x x →+--． 解 1
2223110,(1) 1~,1cos ~32
x x x x x →+-- 时, 因此: 原式20212lim 32
x x x →==-． 例3 求
01lim tan x x
→． 解 0, x →
时11~, tan ~3x x x ，故:原式=011lim 3
x x x →=．
7 例4 求()201lim 2ln(1) x x e x x →-+．
解 0, 1~,ln(1) ~x x e x x x →-+时, 故: 原式2201lim 22
x x x →==． 例5 试确定常数a 与n ，使得当0x →时，n
ax 与33ln(1) x x -+为等价无穷小． 解 330ln(1) lim 1n x x x ax →-+= 而左边22531100333lim lim n n x x x x x nax nax
--→→-+-=， 故 15n -=即6n = 0331lim 11662
x a a a →--∴=∴=∴=-． 5. 利用洛比达法则求极限
利用这一法则的前提是：函数的导数要存在；为0比0型或者∞∞
型等未定式类型. 洛必达法则分为3种情况：（1）0比0，无穷比无穷的时候直接用. （2）0乘以无穷，无穷减去无穷（无穷大与无穷小成倒数关系时）通常无穷大都写成无穷小的倒数形式, 通项之后，就能变成（1）中形式了. （3）0的0次方，1的无穷次方，无穷的0次方，对于（指数, 幂函数）形式的方法主要是取指数的方法，这样就能把幂函数指数位置的函数移下来了，就是写成0与无穷的形式了.
洛必达法则中还有一个定理：当x a →时，函数() f x 及() F x 都趋于0；在点a 的某去心邻域内，() f x ﹑() F x 的导数都存在且() F x 的导数不等于0；() lim ()
x a f x F x →''存在，那么() () lim lim () ()
x a x a f x f x F x F x →→'=' . [1] 求极限有很多种方法如洛必达法则，夹逼定理求极限的秘诀是：强行代入，先定型后定法. [3] 例12 2
03cos 1lim x x x -→（例4） 解：原式=616sin lim 0
=→x x x 。（最后一步用到了重要极限）
8 例13 1
cos lim 1-→x x
x π 解：原式=21sin lim 1
πππ
-=-→x
x 。 例14 3
0sin lim x x x x -→ 解：原式=20
3cos 1lim x x x -→=616sin lim 0=→x x x 。（连续用洛比达法则，最后用重要极限）
例15 x
x x x x x sin cos sin lim 20
-→ 解： 313sin lim 3) sin (coscos lim cos sin lim 202
020==--=⋅-=→→→x
x x x x x x x x x x x x x x x 原式 例18 ])
1ln(11[lim 0x x x +-→ 解：错误解法：原式=0]11[lim 0=-→x
x x 。 正确解法：
。原式2
1) 1(2lim 211lim ) 1ln(lim ) 1ln() 1ln(lim 000
0=+=-=⋅-+=+-+=→→→→x x x x x x x x x x x x x x x x 应该注意，洛比达法则并不是总可以用，如下例。 例19 x x x x x cos 3sin 2lim +-∞
10
例21 ) 1211
1(lim 2
2
2
n n n n n ++
+++
+∞
→
解： 易见：1
12
11
1
2
2
22
2
+<
++++++<
+n n n
n n n n
n n
因为 1lim 2
=+∞
→n
n n n ，11
lim
2
=+∞
→n n n
所以由准则2得：1) 12
1
1
1(lim 2
2
2
=++
+++
+∞
→n
n n n n 。
7. 直接使用求导的定义求极限
当题目中告诉你0) 0(=F 时，) (x F 的导数等于0的时候，就是暗示你一定要用导数定义： （1）设函数()y f x =在点0x 的某个领域内有定义，当自变量x 在0x 处取得增量x ∆（点
0x x ∆+仍在该领域内）时，相应的函数取得增量()()00y f x x f x ∆=∆+-；如果y ∆与x ∆之
比0x ∆→时的极限存在，则称函数()y f x =在点0x 处可导，并称这个极限为函数()y f x =在点0x 处可导，并称这个极限为函数()y f x =在点0x 处的导数，记作()0f x '，即
()()()00000lim
lim x x f x x f x y
f x x x
∆→∆→∆+-∆'==∆∆；
（2）在某点处可导的充分必要条件是左右导数都存在且相等. 例36 ()()()()1f x x x e x π=---，求()'
f
π.
解 ()'
f
π ()()
()()()()=lim
lim 11x x f x f x x e x x e x π
πππ
→→-=--=---. 例37 若函数()f x 有连续二阶导数且()0=0f ，()'
0=1f
，()'' 0=-2f ，
则 ()()2
0lim
x f x x
x →-=.
A:不存在 B：0 C：-1 D：-2
解 ()20lim x f x x x →-=()()()' ' ' 00101lim lim 220
x x f x f x f x x →→--=-()''
1012f ==-. 所以，答案为D.
11 例38 若() (1)(2) .....(2010) f x x x x x =++++，求(0)f '.
解 0() (0)(0)lim
x f x f f x
→-'= 0(1)(2) .....(2010) lim x x x x x x →++++= 0
lim (1)(2) .....(2010) x x x x x →=++++ 2010! =.
8. 求数列极限的时候可以将其转化为定积分[1]
例33 已知(
)f x = ,在区间[]0,1上求()01lim n
i i
i f x λξ→=∆∑（其中将[]0,1分为n 个小区间[]1, i i x x -, 1i i i x x ξ-≤≤，λ为i x ∆中的最大值）.
解 由已知得: ()()1
001lim n i i i f x f x dx λξ→=∆=∑⎰
dx =⎰ 4π
= .
（注释：由已知可以清楚的知道，该极限的求解可以转化为定积分, 求函数()f x 在区间[]0,1上的面积）.
在有的极限的计算中，需要利用到如下的一些结论、概念和方法：
（1）定积分中值定理：如果函数()f x 在积分区间[], a b 上连续，则在[], a b 上至少有一个点，使下列公式成立：()()()b a f x dx x b a ϕ=-⎰ ()a b ϕ≤≤；
（2）设函数()f x 在区间[], a +∞上连续，取t a >，如果极限 ()lim
t a t f x dx →+∞⎰存在，则称此极限为函数()f x 在无穷区间[], a +∞上的反常积分，记作⎰∞
+0) (dx x f ，即
⎰⎰+∞→∞
+=t
a t a dx x f dx x f ) (lim ) (； 设()f x 在区间[], a b 上连续且()0f x ≥，求以曲线()y f x =为曲线，底为[], a b 的曲边梯形的面积A ，把这个面积A 表示为定积分：()b
=a A f x dx ⎰ 的步骤是： 首先，用任意一组的点把区间[], a b 分成长度为(1,2,... ) i x i n ∆=的n 个小区间，相应地把曲
12
线梯形分成n 个窄曲边梯形，第i 个窄曲边梯形的面积设为i A ∆，于是有1
n
i
i A A ==
∆∑；
其次，计算i A ∆的近似值 ()()1i i i i i i A f x x x ϕϕ-∆≈∆≤≤；
然后，求和，得A 的近似值 ()1
n
i
i
i A f x ϕ=≈
∆∑；
最后，求极限，得⎰∑=∆==→b
a
i n
i i dx x f x f A ) () (lim
1
ϕλ.
例34 设函数()f x 连续，且()00f ≠，求极限 ()()()[]2
lim
. x x
x x t f t dt x f x t dt
→--⎰⎰. 解 ()()()00
0lim
x
x
x x t f t dt
x f x t dt
→--⎰⎰ =()()()0
lim
, x
x
x
x xf t dt tf t dt
x f u du
→-⎰
⎰⎰
()()()()()0
+lim
x
x x f t dt xf x xf x f u du xf x →-+⎰⎰由洛必达得：，
()()(
)
, , ,
f x t dx u x t f u du -=-⎰x
其中令得
()()0
lim
0x x xf xf xf x ϕφϕ→+再由积分中值定理得:在到之间
()()0
01lim
002
x f f f f x f f ϕϕ→===
++.
例35 计算反常积分: 21dx x +∞
-∞+⎰.
解
21dx x +∞
-∞+⎰ =[]arctan x +∞
-∞=-lim arctan lim arctan x x x x →+∞→∞-=() 22
πππ--=. 9. 用初等方法变形后，再利用极限运算法则求极限
利用如下的极限运算法则来求极限： (1)如果()()lim ,lim , f x A g x B ==
那么B A x g x f x g x f ±=±=±) (lim ) (lim )]() (lim[
13 ()()()()lim lim lim f x g x f x g x A B ⋅=⋅=⋅⎡⎤⎣⎦ 若又有0≠B ，则B A
x g x
f x g x f ==) (lim )
(lim ) () (lim
（2）如果) (lim x f 存在，而c 为常数，则) (lim )](lim[x f c x cf =
（3）如果) (lim x f 存在，而n 为正整数，则n n x f x f )]([lim)](lim[=
（4）如果) () (x x ϕδ≥，而b x a x ==) (lim , ) (lim ϕδ，则b a ≥
（5）设有数列{}n x 和{}n y ，如果()lim ; n n n x y A B →∞+=+ 那么，()lim ; n n n x y A B →∞+=+lim n n n x y A B →∞=⋅ 当()01,2,... n y n ≠=且0b ≠时，lim n n n x A
y B
→∞=
例1 12
1lim 1--+→x x x
解：原式=43) 21)(1(33lim ) 213)(1(2) 13(lim 12
21=++--=++--+→→x x x x x x x x 。
注：本题也可以用洛比达法则。
例2 ) 12(lim --+∞→n n n n
解：原式=2
3
1
23
lim 12)]1() 2[(lim =-++=-++--+∞→∞→n
n n n n n n n n 分子分母同除以 。 例3 n n n
n n 323) 1(lim ++-∞→ 解：原式11
) 32
(1
) 1(lim 3=++-=∞→n n n n
上下同除以 。 三，极限运算思维的培养
14 极限运算考察的是一种基本能力，所以在做题或者看书的时候依赖的是基本概念和基本方法。掌握一定的技巧可以使学习事半功倍。而极限思维的培养则是对做题起到指导性的意义。如何培养，一方面要立足概念，另一方面则需要在具体的运算中体会，多做题多总结。
四. 结束语
上面对求极限的常用方法进行了比较全面的总结，由此可以看出，求极限方法灵活多样，而且许多题目不只用到一种方法，因此，要想熟练掌握各种方法，必须多做练习，在练习中体会。另外，求极限还有其它一些方法，如用定积分求极限等，由于平时练习中不经常使用，这里不作一一介绍了。
[参 考 文 献]
[1] 同济大学应用数学系 高等数学 1997
[2] 吉米多维奇. 数学分析[M].济南:山东科技文献出版社1995.
[3] 陈纪修, 等. 数学分析[M].北京:高等教育出版社,1999.
[4] 同济大学应用数学组. 高等数学[M].北京:高等教育出版社,1996. 第3期张宏达:高
等数学中求极限的常用方法
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