函数项级数积分？ 函数项级数是什么？
\u79ef\u5206\u4e0e\u7ea7\u6570\u7684\u8054\u7cfb\u6709\u54ea\u4e9b\uff1f\u5728\u5b9e\u53d8\u7684\u89d2\u5ea6\uff0c\u6b63\u7ea7\u6570\u5c31\u662f\u79ef\u5206\uff0c\u5728\u7ea7\u6570\u4e0e\u53cd\u5e38\u79ef\u5206\u90fd\u6709\u72c4\u5229\u514b\u96f7\u963f\u8d1d\u5c14\u5224\u522b\u6cd5\u3002
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2\u3001\u7ea7\u6570\u7406\u8bba\u662f\u5206\u6790\u5b66\u7684\u4e00\u4e2a\u5206\u652f\uff1b\u5b83\u4e0e\u53e6\u4e00\u4e2a\u5206\u652f\u5fae\u79ef\u5206\u5b66\u4e00\u8d77\u4f5c\u4e3a\u57fa\u7840\u77e5\u8bc6\u548c\u5de5\u5177\u51fa\u73b0\u5728\u5176\u4f59\u5404\u5206\u652f\u4e2d\u3002\u4e8c\u8005\u5171\u540c\u4ee5\u6781\u9650\u4e3a\u57fa\u672c\u5de5\u5177\uff0c\u5206\u522b\u4ece\u79bb\u6563\u4e0e\u8fde\u7eed\u4e24\u4e2a\u65b9\u9762\uff0c\u7ed3\u5408\u8d77\u6765\u7814\u7a76\u5206\u6790\u5b66\u7684\u5bf9\u8c61\uff0c\u5373\u53d8\u91cf\u4e4b\u95f4\u7684\u4f9d\u8d56\u5173\u7cfb\u2500\u2500\u51fd\u6570\u3002
3\u3001\u7ea7\u6570\u662f\u7814\u7a76\u51fd\u6570\u7684\u4e00\u4e2a\u91cd\u8981\u5de5\u5177\uff0c\u5728\u7406\u8bba\u4e0a\u548c\u5b9e\u9645\u5e94\u7528\u4e2d\u90fd\u5904\u4e8e\u91cd\u8981\u5730\u4f4d\uff0c\u8fd9\u662f\u56e0\u4e3a\uff1a\u4e00\u65b9\u9762\u80fd\u501f\u52a9\u7ea7\u6570\u8868\u793a\u8bb8\u591a\u5e38\u7528\u7684\u975e\u521d\u7b49\u51fd\u6570\uff0c\u5fae\u5206\u65b9\u7a0b\u7684\u89e3\u5c31\u5e38\u7528\u7ea7\u6570\u8868\u793a\uff1b\u53e6\u4e00\u65b9\u9762\u53c8\u53ef\u5c06\u51fd\u6570\u8868\u4e3a\u7ea7\u6570\uff0c\u4ece\u800c\u501f\u52a9\u7ea7\u6570\u53bb\u7814\u7a76\u51fd\u6570\uff0c\u4f8b\u5982\u7528\u5e42\u7ea7\u6570\u7814\u7a76\u975e\u521d\u7b49\u51fd\u6570\uff0c\u4ee5\u53ca\u8fdb\u884c\u8fd1\u4f3c\u8ba1\u7b97\u7b49\u3002
4\u3001\u5982\u679c\u7ea7\u6570\u7684\u6bcf\u4e00\u9879\u4f9d\u8d56\u4e8e\u53d8\u91cfx,x \u5728\u67d0\u533a\u95f4I\u5185\u53d8\u5316,\u5373un=un(x),x\u2208I\uff0c\u5219\u2211un(x)\u79f0\u4e3a\u51fd\u6570\u9879\u7ea7\u6570,\u7b80\u79f0\u51fd\u6570\u7ea7\u6570\u3002\u82e5x=x0\u4f7f\u6570\u9879\u7ea7\u6570\u2211un(x0)\u6536\u655b\uff0c\u5c31\u79f0x0\u4e3a\u6536\u655b\u70b9\uff0c\u7531\u6536\u655b\u70b9\u7ec4\u6210\u7684\u96c6\u5408\u79f0\u4e3a\u6536\u655b\u57df\uff0c\u82e5\u5bf9\u6bcf\u4e00x\u2208I\uff0c\u7ea7\u6570\u2211un(x)\u90fd\u6536\u655b\uff0c\u5c31\u79f0I\u4e3a\u6536\u655b\u533a\u95f4\u3002
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\uff082\uff09\u4e2d\u56fd\u53e4\u4ee3\u201c\u51fd\u201d\u5b57\u4e0e\u201c\u542b\u201d\u5b57\u901a\u7528\uff0c\u90fd\u6709\u7740\u201c\u5305\u542b\u201d\u7684\u610f\u601d\u3002\u674e\u5584\u5170\u7ed9\u51fa\u7684\u5b9a\u4e49\u662f\uff1a\u201c\u51e1\u5f0f\u4e2d\u542b\u5929\uff0c\u4e3a\u5929\u4e4b\u51fd\u6570\u3002\u201d\u4e2d\u56fd\u53e4\u4ee3\u7528\u5929\u3001\u5730\u3001\u4eba\u3001\u72694\u4e2a\u5b57\u6765\u8868\u793a4\u4e2a\u4e0d\u540c\u7684\u672a\u77e5\u6570\u6216\u53d8\u91cf\u3002\u8fd9\u4e2a\u5b9a\u4e49\u7684\u542b\u4e49\u662f\uff1a\u201c\u51e1\u662f\u516c\u5f0f\u4e2d\u542b\u6709\u53d8\u91cfx\uff0c\u5219\u8be5\u5f0f\u5b50\u53eb\u505ax\u7684\u51fd\u6570\u3002\u201d\u6240\u4ee5\u201c\u51fd\u6570\u201d\u662f\u6307\u516c\u5f0f\u91cc\u542b\u6709\u53d8\u91cf\u7684\u610f\u601d\u3002
2\uff0c\u65e9\u671f\u6982\u5ff5
\uff081\uff091637\u5e74\u524d\u540e\u7b1b\u5361\u5c14\u5728\u4ed6\u7684\u89e3\u6790\u51e0\u4f55\u4e2d\uff0c\u5df2\u6ce8\u610f\u5230\u4e00\u4e2a\u53d8\u91cf\u5bf9\u53e6\u4e00\u4e2a\u53d8\u91cf\u7684\u4f9d\u8d56\u5173\u7cfb\uff0c\u4f46\u56e0\u5f53\u65f6\u5c1a\u672a\u610f\u8bc6\u5230\u8981\u63d0\u70bc\u51fd\u6570\u6982\u5ff5\uff0c\u56e0\u6b64\u76f4\u523017\u4e16\u7eaa\u540e\u671f\u725b\u987f\uff0c\u83b1\u5e03\u5c3c\u5179\u5efa\u7acb\u5fae\u79ef\u5206\u65f6\u8fd8\u6ca1\u6709\u4eba\u660e\u786e\u51fd\u6570\u7684\u4e00\u822c\u610f\u4e49\uff0c\u5927\u90e8\u5206\u51fd\u6570\u662f\u88ab\u5f53\u4f5c\u66f2\u7ebf\u6765\u7814\u7a76\u7684\u3002
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n>0时，cosnx在0到2π上的积分都是0，所以只剩下n=0项，积分结果就是2π
首先0<r<1，级数绝对一致收敛，积分与级数求和可以交换顺序。n>0时，cosnx在0到2π上的积分都是0，所以只剩下n=0项，积分结果就是2π
魏尔斯特拉斯判别法告诉你这毡函数项级数一致收敛,从而积分和求和可以交换次序. 对于r^ncosnx来说,在0到2π上的积分当且仅当n=0时,积分值为2π,对其他自然数而言cosnx在0到2π的积分就是。
n=0,1,2，……，时，∑(r^n)cosnx=1+∑(r^n)cosnx，后者n=1,2，……。
∴原式=∫(0,2π)dx+∑(r^n)∫(0,2π)cosnxdx，n=1,2，……。故，原式=2π。
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