通俗易懂的傅里叶级数和傅里叶变换(一)
级数是指将数列的项依次用加号连接起来的函数。举例就是:这种由很多项相加的形式就是级数。
对于函数就是如下这个形式：
在工程中，我们经常会遇到各种各样的周期性的波形。这些波形很难找到一个函数去表达他，或者原函数无法很好的去分析波的特征。
所以我们需要找到一个函数 去近似原函数 ，而且这个 有很好的特性，方便去做分析。
法国数学家傅里叶就发现，任何周期函数都可以用正弦函数和余弦函数构成的无穷级数来表示。
看一个动图来理解下这句话。
右边的波形就是由左边几个基础波形(三角函数)合成的。
下面给出傅里叶级数的数学公式。
原函数 就由无数个 组成的。这个公式理解起来也很简单， 是个常数项，因为正弦和余弦函数都是在0点位置上下波动，想要让其脱离0点，就必须加入 这个偏移项，当然你也可以理解为 。
便是无数个sin和cos的组合，其中 就相当于上面动图中的 代表着振幅，也就是圆半径的大小。 就相当于动图中的 前的系数1，3，5，7代表着频率，也就是圆转一圈用的速度。so，是不是很容易理解。
代表这频率，那其中的 代表着什么呢？ 就是函数 的周期， 的作用就是构建一个周期为 的波形，只是随着 的增大，波的频率越来越高。例如 都是周期 的函数，只是 的最小周期不在是 ，所以其频率就变大了。
这里强调下，傅里叶级数是针对周期函数的，对于非周期的函数就是傅里叶变换了。
很多博主在解读傅里叶级数的时候，上来就说时域，频阈，复频域，欧拉公式。其实那些都是在不同场景下的不同的表现形式，本质都是一样的。先理解了上面的公式，以此为基础进行展开，会更加容易理解。
还记得我们的目标吗？找出一个函数 去近似原函数 ， 样子已经有了：
我们只需要求出 就可以得到 。
所以这里有个前提，我们在看下需要求解的波形：
对于原函数 是什么样的我们并不知道，但我们知道 在每个x处的取值，毕竟这个波是我们自己采样得到的。
所以求解 最简单得方法就是，构建n个 方程等式，求解一个n元一次方程，如上面所示。这里 是常数， 得数量由自己定义。
当然上面是小学生的解法，大家不要当真。
在给大家介绍傅里叶级数的解之前，我们先看下周期为 的傅里叶级数，令 带入：
其对应的解为：
想要求出这几个解，我们要先了解下三角函数的正交性，而理解三角函数的正交最好就是从周期为 的函数开始。
什么是正交？在线性代数中，正交就是两个向量垂直，如下图(A)。
和 正交，就表现为 ,也就是两个向量的内积等于0
而在函数上的正交就表现为积分的形式:
其中 就是 的内积，当其为零的时候就说明两个函数在 区间内正交。
回到傅里叶级数，下面就是傅里叶级数中所有的三角函数集合。
{ }
任意两个三角函数一定条件下在 和 之间是正交的,详细如下：
关于其证明网上有很多，这里就不细说了。
下面看如何利用上面的性质来接
将函数两边同时积分
将 移到前面。
其中 可以看成 ,根据前面的正交性，得到这两项都等于0，于是上面的函数就等于
于是:
下面求解下
将两边乘上 ，然后两边同时积分
将 移到前面。
同样根据正交性 等于0. 而 只有 的项不为0，其他的也会为0，所以：
在正交性那块我给出了 ，所以:
关于 求法是一样得，这里就不细说了。
上面便是傅里叶级数得求解过程，但是这里我们定义得频率是 。
如何把傅里叶级数扩展到任意周期上，以及傅里叶变换，在 通俗易懂的傅里叶级数和傅里叶变换(二)
中会详细介绍，希望以上得内容能帮到你。
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