求值域。高一数学 高一数学，求各种值域的方法
\u9ad8\u4e00\u6570\u5b66\u5fc5\u4fee\u4e00\u503c\u57df\u7684\u6c42\u6cd5\uff0c\u6700\u597d\u5177\u4f53\u70b9\u5148\u786e\u5b9a\u51fd\u6570\u7684\u5b9a\u4e49\u57df\uff0c\u7136\u540e\u5224\u65ad\u51fd\u6570\u7684\u5355\u8c03\u6027\uff0c\u5982\u679c\u51fd\u6570\u662f\u5355\u8c03\u9012\u589e\u6216\u9012\u51cf\uff0c\u53ea\u8981\u628a\u5b9a\u4e49\u57df\u4e2d\u7684\u4e24\u4e2a\u7aef\u70b9\u5e26\u5165\uff0c\u5c31\u662f\u6b64\u51fd\u6570\u7684\u6700\u5927\u6700\u5c0f\u503c\uff1b\u4e8c\u6b21\u51fd\u6570\u53ef\u7b97\u51fa\u5b83\u7684\u5bf9\u79f0\u8f74\uff0c\u7136\u540e\u4ee3\u5165\u7b97\u51fa\u6700\u503c\u3002\u7279\u6b8a\u51fd\u6570\u53ef\u4ee5\u7528\u6362\u5143\u6cd5\uff0c\u914d\u65b9\u6cd5\u548c\u5206\u79bb\u5e38\u6570\u6cd5
\u4e00\u3001\u914d\u65b9\u6cd5
\u901a\u8fc7\u914d\u65b9\u7ed3\u5408\u51fd\u6570\u56fe\u50cf\u6c42\u51fd\u6570\u7684\u503c\u57df\uff0c\u4e00\u822c\u5730\uff0c\u5bf9\u4e8e\u4e8c\u6b21\u51fd\u6570 \u6c42\u503c\u57df\u95ee\u9898\u53ef\u8fd0\u7528\u914d\u65b9\u6cd5.
\u4f8b1\u3001 \u6c42 \u7684\u503c\u57df
\u89e3\uff1a
\u4e8e\u662f \u7684\u503c\u57df\u4e3a .
\u4e8c\u3001\u53cd\u51fd\u6570\u6cd5
\u4e00\u822c\u5730\uff0c\u5f62\u5982 \uff0c\u53ef\u5229\u7528\u539f\u51fd\u6570\u4e0e\u53cd\u51fd\u6570\u7684\u5b9a\u4e49\u57df\u548c\u503c\u57df\u4e4b\u95f4\u7684\u4e92\u9006\u5173\u7cfb.
\u4f8b2\u3001 \u6c42\u51fd\u6570 \u7684\u503c\u57df.
\u89e3\uff1a\u7531 \u5f97 \uff0c\u56e0\u4e3a \uff0c\u6240\u4ee5 .
\u4e8e\u662f\u6b64\u51fd\u6570\u7684\u503c\u57df\u4e3a
\u4e09\u3001\u5206\u79bb\u5e38\u6570\u6cd5
\u4e00\u822c\u5730\uff0c\u5bf9\u4e8e\u5206\u5f0f\u51fd\u6570\u6765\u8bf4\uff0c\u53ef\u4ee5\u5206\u79bb\u4e00\u4e2a\u5e38\u6570\u53bb\u6c42\u51fd\u6570\u7684\u503c\u57df.
\u4f8b3\u3001 \u6c42 \u7684\u503c\u57df
\u89e3\uff1a
\u800c
\u5373 \uff0c\u6240\u4ee5
\u5373\u51fd\u6570 \u7684\u503c\u57df\u4e3a .
\u6ce8\u610f\uff1a\u4f8b2\u4e5f\u53ef\u4ee5\u5229\u7528\u5206\u79bb\u5e38\u6570\u6cd5\u53bb\u6c42\u503c\u57df\uff0c\u6709\u5174\u8da3\u7684\u8bfb\u8005\u53ef\u4ee5\u8bd5\u4e00\u8bd5.
\u56db.\u5224\u522b\u5f0f\u6cd5
\u4e00\u822c\u5730.\u5f62\u5982 \uff0c\u8f6c\u5316\u4e3a\u5173\u4e8ey\u7684\u4e00\u5143\u4e8c\u6b21\u65b9\u7a0b\uff0c\u5229\u7528\u65b9\u7a0b\u6709\u5b9e\u6570\u89e3\uff0c \u6765\u6c42y.
\u4f8b4\u3001 \u6c42 \u7684\u503c\u57df.
\u89e3\uff1a\u7531 \u53bb\u5206\u6bcd\u5f97
\u5373
\u5f53y=2\u65f6\uff0c\u6b64\u65b9\u7a0b\u65e0\u5b9e\u6839.
\u5f53 \uff0c\u6b64\u65b9\u7a0b\u4e3a\u4e00\u5143\u4e8c\u6b21\u65b9\u7a0b\uff0c
\u5373
\u6240\u4ee5 \uff0c\u53c8\u56e0\u4e3a \uff0c\u4e8e\u662f
\u6545\u51fd\u6570 \u7684\u503c\u57df\u4e3a
\u6ce8\u610f\uff1a\u4e0b\u97622\u70b9\u4e0d\u80fd\u76f4\u63a5\u7528\u5224\u522b\u5f0f\u6cd5.
1\u3001\u5b9a\u4e49\u57df\u53bb\u6389\u65e0\u9650\u4e2a\u70b9. 2\u3001\u5206\u5b50\u5206\u6bcd\u4e2d\u542b\u6709\u516c\u56e0\u5f0f.
\u4e94\u3001\u6362\u5143\u6cd5
\u4e00\u822c\u5730\uff0c\u5f62\u5982 \uff0c\u901a\u8fc7\u6362\u5143 \uff08\u6ce8\u610f\u6b64\u65f6t\u7684\u8303\u56f4\uff09
\u4f8b5\u6c42 \u7684\u503c\u57df
\u89e3\uff1a\u4ee4 \u5219
\u6240\u4ee5 =
\u5f53t=0\u65f6\uff0cy\u6709\u6700\u5c0f\u503c3.
\u4e8e\u662f \u7684\u503c\u57df\u4e3a .
\u516d\u3001\u5206\u7c7b\u8ba8\u8bba\u6cd5
\u901a\u8fc7\u5206\u7c7b\u8ba8\u8bba\u51fd\u6570\u5b9a\u4e49\u57dfx\u7684\u7b26\u53f7\u53bb\u6c42\u503c\u57df.
\u4f8b6\u6c42 \u7684\u503c\u57df
\u89e3\uff1b
\u56e0\u4e3a \uff0c\u6240\u4ee5 \uff0c\u5373
\u5f53
\u800c \u5373
\u7efc\u4e0a\uff1a \u7684\u503c\u57df\u4e3a .
1．直接法：利用常见函数的值域来求
一次函数y=ax+b(a 0)的定义域为R，值域为R；
反比例函数 的定义域为{x|x 0}，值域为{y|y 0}；
二次函数 的定义域为R，
当a>0时，值域为{ }；当a<0时，值域为{ }.
例1．求下列函数的值域
① y=3x+2(-1 x 1) ② ③ ④
解：①∵-1 x 1，∴-3 3x 3，
∴-1 3x+2 5，即-1 y 5，∴值域是[-1，5]
②∵ ∴
即函数 的值域是 { y| y 2}
③
④当x>0，∴ = ，
当x<0时， =－
∴值域是 [2，+ ).（此法也称为配方法）
函数 的图像为：
2．二次函数比区间上的值域(最值)：
例2 求下列函数的最大值、最小值与值域：
① ；
解：∵ ，∴顶点为(2,-3)，顶点横坐标为2.
①∵抛物线的开口向上，函数的定义域R，
∴x=2时，ymin=-3 ,无最大值；函数的值域是{y|y -3 }.
②∵顶点横坐标2 [3,4]，
当x=3时，y= -2；x=4时，y=1；
∴在[3,4]上， =-2， =1；值域为[-2，1].
③∵顶点横坐标2 [0,1]，当x=0时，y=1；x=1时，y=-2,
∴在[0,1]上， =-2， =1；值域为[-2，1].
④∵顶点横坐标2 [0,5]，当x=0时，y=1；x=2时，y=-3, x=5时，y=6,
∴在[0,1]上， =-3， =6；值域为[-3，6].
注：对于二次函数 ,
⑴若定义域为R时，
①当a>0时，则当 时，其最小值 ；
②当a<0时，则当 时，其最大值 .
⑵若定义域为x [a,b],则应首先判定其顶点横坐标x0是否属于区间[a,b].
①若 [a,b],则 是函数的最小值（a>0）时或最大值（a<0）时，再比较 的大小决定函数的最大（小）值.
②若 [a,b],则[a,b]是在 的单调区间内，只需比较 的大小即可决定函数的最大（小）值.
注：①若给定区间不是闭区间，则可能得不到最大（小）值；
②当顶点横坐标是字母时，则应根据其对应区间特别是区间两端点的位置关系进行讨论.
3．判别式法（△法）：
判别式法一般用于分式函数，其分子或分母只能为二次式，解题中要注意二次项系数是否为0的讨论
例3．求函数 的值域
方法一：去分母得 (y-1) +(y+5)x-6y-6=0 ①
当 y11时 ∵x?R ∴△=(y+5) +4(y-1)×6(y+1) 0
由此得 (5y+1) 0
检验 时 （代入①求根）
∵2 ? 定义域 { x| x12且 x13} ∴
再检验 y=1 代入①求得 x=2 ∴y11
综上所述，函数 的值域为 { y| y11且 y1 }
方法二：把已知函数化为函数 (x12)
∵ x=2时 即
说明：此法是利用方程思想来处理函数问题，一般称判别式法. 判别式法一般用于分式函数，其分子或分母只能为二次式.解题中要注意二次项系数是否为0的讨论.
4．换元法
例4．求函数 的值域
解：设 则 t 0 x=1-
代入得
5．分段函数
例5．求函数y=|x+1|+|x-2|的值域.
解法1：将函数化为分段函数形式： ，画出它的图象（下图），由图象可知，函数的值域是{y|y 3}.
解法2：∵函数y=|x+1|+|x-2|表示数轴上的动点x到两定点-1，2的距离之和，∴易见y的最小值是3，∴函数的值域是[3，+ ]. 如图
两法均采用“数形结合”，利用几何性质求解，称为几何法或图象法.
说明：以上是求函数值域常用的一些方法（观察法、配方法、判别式法、图象法、换元法等），随着知识的不断学习和经验的不断积累，还有如不等式法、三角代换法等.有的题可以用多种方法求解，有的题用某种方法求解比较简捷，同学们要通过不断实践，熟悉和掌握各种解法，并在解题中尽量采用简捷解法.
三、练习：
1 ；
解：∵x 0， ，∴y 11.
另外，此题利用基本不等式解更简捷：
2
∵2 -4x+3>0恒成立(为什么？)，
∴函数的定义域为R，
∴原函数可化为2y -4yx+3y-5=0，由判别式 0，
即16 -4×2y(3y-5)=-8 +40y 0(y 0),
解得0 y 5，又∵y 0, ∴0 注意：利用判别式法要考察两端点的值是否可以取到.
3 求函数的值域
① ； ②
解：①令 0,则 ,
原式可化为 ,
∵u 0，∴y ，∴函数的值域是（- ， ].
②解：令 t=4x- 0 得 0 x 4
在此区间内 (4x- ) =4 ，(4x- ) =0
∴函数 的值域是{ y| 0 y 2}
小结:求函数值域的基本方法（直接法、换元法、判别式法）；二次函数值域（最值）或二次函数在某一给定区间上的值域（最值）的求法.
作业：求函数y= 值域
解：∵ ，
∴函数的定义域R，原式可化为 ,
整理得 ，
若y=1,即2x=0,则x=0；
若y 1,∵ R，即有 0，
∴ ,解得 且 y 1.
综上：函数是值域是{y| }.
由x-2≥0
x+2≠0
解得x≥2
因为y1=1/(x+2)在x≥2上是减函数
所以y2=-1/(x+2)在x≥2上是增函数
又y3=√(x-2)在x≥2上是增函数
所以y=y3+y2=√(x-2)-1/(x+2)在x≥2上是增函数
故当x=2时取得最小值y=-1/4
所以值域为{y|y≥-1/4}
y≥-1/4
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