设A是3阶实对称矩阵且A^3-A^2-A=2E,则A的二次经正交变换化成标准形为 设A为3阶实对称矩阵，如果二次曲面方程（x，y，z）Axyz...
A\u4e3a3\u9636\u5b9e\u5bf9\u79f0\u77e9\u9635\uff0c\u4e14\u6ee1\u8db3A^3-A^2-A=2E,\u4e8c\u6b21\u578bA^TAx\u7ecf\u6b63\u4ea4\u53d8\u6362\u53ef\u5316\u4e3a\u6807\u51c6\u578b\uff0c\u6c42\u6b64\u6807\u8bbe g(t)=t^3-t^2-t-2
\u5219g(t)\u662f\u77e9\u9635A\u7684\u5316\u96f6\u591a\u9879\u5f0f
g(t)=(t-2)(t^2+t+1)
\u56e0\u4e3aA\u662f\u662f\u5bf9\u79f0\u77e9\u9635\uff0c\u7279\u5f81\u503c\u90fd\u4e3a\u5b9e\u6570
\u6240\u4ee5 \u7279\u5f81\u503c t=2
\u4e8e\u662f x^T A^T Ax \u7684\u6807\u51c6\u578b\u4e3a 4x^Tx
\u7531\u56fe\u53ef\u77e5\u6b64\u4e8c\u6b21\u66f2\u9762\u4e3a\u65cb\u8f6c\u53cc\u53f6\u53cc\u66f2\u9762\uff0c\u800c\u6b64\u66f2\u9762\u7684\u6807\u51c6\u65b9\u7a0b\u4e3a\uff1aX2a2?y2+z2c2\uff1d1\uff0c\u800c\u6b64\u65b9\u7a0b\u5316\u4e3a\u77e9\u9635\u5f62\u5f0f\u65f6\uff0c\u53ea\u6709X2\u7684\u7cfb\u6570\u4e3a\u6b63\u6570\uff0c\u53c8\u56e0\u4e3aA\u4e3a\u4e09\u9636\u5b9e\u5bf9\u79f0\u77e9\u9635\uff0c\u6240\u4ee5A\u7684\u6b63\u7279\u5f81\u503c\u4e2a\u6570\u4e3a1\uff0e\u6545\u9009\uff08B\uff09\uff0e
设a是A的任一特征向量则（A^3-A^2-A-2E）a=(λ^3-λ^2-λ-2)a=(λ-2)(λ^2+λ+1)a=0
因为a是实对称矩阵，特征值全为实数
所以λ=2
所以A的特征值全为2
所以A标准形为2x1^2+2x2^2+2x3^2
绛旓細璁綼鏄疉鐨勪换涓鐗瑰緛鍚戦噺 鍒欙紙A^3-A^2-A-2E锛塧=(位^3-位^2-位-2)a=(位-2)(位^2+位+1)a=0 鍥犱负a鏄瀹炲绉扮煩闃,鐗瑰緛鍊煎叏涓哄疄鏁 鎵浠ノ=2 鎵浠鐨勭壒寰佸煎叏涓2 鎵浠鏍囧噯褰负2x1^2+2x2^2+2x3^2
绛旓細璁綼鏄疉鐨勪换涓鐗瑰緛鍚戦噺 鍒欙紙A^3-A^2-A-2E锛塧=(位^3-位^2-位-2)a=(位-2)(位^2+位+1)a=0 鍥犱负a鏄瀹炲绉扮煩闃锛岀壒寰佸煎叏涓哄疄鏁 鎵浠ノ=2 鎵浠鐨勭壒寰佸煎叏涓2 鎵浠鏍囧噯褰负2x1^2+2x2^2+2x3^2
绛旓細x^3-x-6=(x-2)(x^2 + 2x+ 3)=(x-2)[(x+1)^2+2]锛涗唬鍏 (A-2E)[(A+E)^2+2E]=0鎺ㄥ嚭 A-2E=0銆傛墍浠=2E.
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绛旓細鍙埄鐢ㄦ儻鎬ф寚鏁扮‘瀹涓涓壒寰佸硷紝浠庤屾眰鍑鸿鍒楀紡涓-10銆傜粡娴庢暟瀛﹀洟闃熷府浣犺В绛旓紝璇峰強鏃堕噰绾炽傝阿璋紒
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绛旓細A^2(A-E)+(A-E)=(A^2+E)(A-E)=0 A^2+E鍙,鏁呬笂寮忓乏鍙充袱杈瑰悓涔楢^2+E鐨勯=>A=E
绛旓細E A=P^{-1}diag(1,1,-1)P A^{2012}=P^{-1}diag(1,1,-1)^{2012}P =E
绛旓細鍒╃敤瀹炲绉扮煩闃鐨勫睘浜庝笉鍚岀壒寰佸肩殑鐗瑰緛鍚戦噺姝ｄ氦銆傜煡灞炰簬鐗瑰緛鍊1鐨勭壒寰佸悜閲忔弧瓒 x1+x2-2x3=0銆傝В寰楀睘浜庣壒寰佸1鐨勭壒寰佸悜閲 (1,-1,0)^T,(2,0,1)^T銆3涓壒寰佸悜閲忔瀯鎴愮煩闃礟銆傛湁 A=Pdiag(1,1,-2)P^-1銆傜浉鍏冲畾涔 瀹氫箟1銆佸湪m*n鐭╅樀A涓紝浠绘剰鍐冲畾伪琛屽拰尾鍒椾氦鍙夌偣涓婄殑鍏冪礌鏋勬垚A鐨勪竴涓猭...
