什么是正交变换矩阵？ 什么叫正交变换？为什么要正交变换
\u4ec0\u4e48\u662f\u6b63\u4ea4\u53d8\u6362\uff1f 如果AAT=E（E为单位矩阵，AT表示“矩阵A的转置矩阵”）或ATA=E，则n阶实矩阵A称为正交矩阵。正交矩阵是实数特殊化的酉矩阵，因此总是属于正规矩阵。尽管我们在这里只考虑实数矩阵，但这个定义可用于其元素来自任何域的矩阵。
正交矩阵毕竟是从内积自然引出的，所以对于复数的矩阵这导致了归一要求。正交矩阵不一定是实矩阵。实正交矩阵（即该正交矩阵中所有元都是实数）可以看做是一种特殊的酉矩阵，但也存在一种复正交矩阵，这种复正交矩阵不是酉矩阵。
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正交矩阵的性质
1、正交矩阵一定是对实矩阵而言的。
2、正交矩阵不一定对称。
3、正交矩阵的特征值为正负1或者cos(t)+isin(t),换句话说特征值的模长为1。
4、正交矩阵的行列式肯定是正负1,正1是叫第一类,负1时叫第二类。
5、对称的正交矩阵不一定是对角的,只是满足A'=A=A^{-1},例如副对角线全为1,其余元素都为零的那个方阵就是这种类型。
6、正交矩阵乘正交矩阵还是正交矩阵,但是正交矩阵相加相减不一定还是正交矩阵。
7、正交矩阵的每一个行(列)向量都是模为1的,并且任意两个行(列)向量是正交的,即所有的行(列)向量组成R^n的一组标准正交基。
8、正交矩阵每个元素绝对值都小于等于1,如果有一个元素为1,那么这个元素所在的行列的其余元素一定都为零。
9、一个对称矩阵,如果它的特征值都为1或者-1,那么这个矩阵一定是对称的正交矩阵。
10、如果b是一个n维单位实列向量,则E_n-2bb'是一个对称正交矩阵.因为E_n-2bb'的特征值为1(n-1重),-1(1重),同时还是一个对阵矩阵。
以下是正交变换矩阵的概念
设M是对称矩阵, P是正交矩阵, N=P^tMP 称为 M的正交变换.
(正交矩阵的定义为:P.P^t = E)
正交变换既是相似变换,也是相合变换.正交变换不改变M的特征值.
这种矩阵元又被称为简正坐标.用质量加权坐标表示的分子内部运动的动能,用质量加权坐标表示的分子内部势能,由力常数的数学表达式可以知道fij = fji因而矩阵为一个正交变换通过酉变换可以把矩阵变形成为对角矩阵的形式:.则有:它的每一个矩阵元都是分子所有质量加权坐标的线性组合,总的矩阵元的数量恰巧等于质量加权坐标的个数,这些矩阵元就被称作简正坐标,而这些变换中分子的势能不变,所以正交变换又称为酉变换.
所谓正交是指【X ,Y】=0 其中X,Y均为向量;而正交矩阵是指:矩阵A具有如A^tA=E(其中E为单位矩阵)性质,则称A为正交矩阵.所以矩阵的正交变换既是指:若P为正交矩阵,则线性变换y=Px称为正交变换.
欧几里得空间内正交变换的定义:设V为欧式空间,σ是V上的线性变换,若对于任何α∈V,都有▏σ(α)▏=▏α ▏,则称σ是V上的正交变换.
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