三种解法解一道一元二次方程计算题的例题
\u89e3\u4e00\u5143\u4e8c\u6b21\u65b9\u7a0b\u7684\u6240\u6709\u65b9\u6cd5\u53ca\u4f8b\u9898?\u4e00\u5143\u4e8c\u6b21\u65b9\u7a0b\u7684\u89e3\u6cd5\u6709\u5982\u4e0b\u51e0\u79cd:
\u7b2c\u4e00\u79cd:\u8fd0\u7528\u56e0\u5f0f\u5206\u89e3\u7684\u65b9\u6cd5,\u800c\u56e0\u5f0f\u5206\u89e3\u7684\u65b9\u6cd5\u6709:(1)\u5341\u5b57\u76f8\u4e58\u6cd5(\u53c8\u5305\u62ec\u4e8c\u6b21\u9879\u7cfb\u6570\u4e3a1\u7684\u548c\u4e8c\u6b21\u9879\u7cfb\u6570\u4e0d\u4e3a1,\u4f46\u53c8\u4e0d\u662f0\u7684),(2)\u516c\u5f0f\u6cd5:(\u5305\u62ec\u5b8c\u5168\u5e73\u65b9\u516c\u5f0f,\u5e73\u65b9\u5dee\u516c\u5f0f,).\uff083\uff09\u63d0\u53d6\u516c\u56e0\u5f0f
\u4f8b1:X^2-4X+3=0
\u672c\u9898\u8fd0\u7528\u56e0\u5f0f\u5206\u89e3\u6cd5\u4e2d\u7684\u5341\u5b57\u76f8\u4e58\u6cd5,\u539f\u65b9\u7a0b\u5206\u89e3\u4e3a(X-3)(X-1)=0 ,\u53ef\u5f97\u51faX=3\u62161\u3002
\u4f8b2\uff1aX^2-8X+16=0
\u672c\u9898\u8fd0\u7528\u56e0\u5f0f\u5206\u89e3\u6cd5\u4e2d\u7684\u5b8c\u5168\u5e73\u65b9\u516c\u5f0f\uff0c\u539f\u65b9\u7a0b\u5206\u89e3\u4e3a\uff08X-4\uff09^2=0 \u53ef\u4ee5\u5f97\u51faX1=4 X2=4\uff08\u6ce8\u610f\uff1a\u78b0\u5230\u6b64\u7c7b\u95ee\u9898\uff0c\u4e00\u5b9a\u8981\u5199X1=X2=\u67d0\u4e2a\u6570\uff0c\u4e0d\u80fd\u53ea\u5199X=\u67d0\u4e2a\u6570\uff0c\u56e0\u4e3a\u4e00\u5143\u4e8c\u6b21\u65b9\u7a0b\u4e00\u5b9a\u6709\u4e24\u4e2a\u6839\uff0c\u4e24\u4e2a\u6839\u53ef\u4ee5\u76f8\u540c\uff0c\u4e5f\u53ef\u4ee5\u4e0d\u540c\uff09
\u4f8b3\uff1aX^2-9=0
\u672c\u9898\u8fd0\u7528\u56e0\u5f0f\u5206\u89e3\u6cd5\u4e2d\u7684\u5e73\u65b9\u5dee\u516c\u5f0f\uff0c\u539f\u65b9\u7a0b\u5206\u89e3\u4e3a\uff08X-3\uff09\uff08X+3\uff09=0 \uff0c\u53ef\u4ee5\u5f97\u51faX1=3\uff0cX2=-3\u3002
\u4f8b4\uff1aX^2-5X=0
\u672c\u9898\u8fd0\u7528\u56e0\u5f0f\u5206\u89e3\u6cd5\u4e2d\u7684\u63d0\u53d6\u516c\u56e0\u5f0f\u6cd5\u6765\u89e3\uff0c\u539f\u65b9\u7a0b\u5206\u89e3\u4e3aX\uff08X-5\uff09=0 \uff0c\u53ef\u4ee5\u5f97\u51faX1=0 \uff0cX2=5
\u7b2c\u4e8c\u79cd\u65b9\u6cd5\u662f\u914d\u65b9\u6cd5\uff0c\u6bd4\u8f83\u590d\u6742\uff0c\u4e0b\u9762\u4e3e\u4e00\u4e2a\u4f8b\u6765\u8bf4\u660e\u600e\u6837\u7528\u914d\u65b9\u6cd5\u6765\u89e3\u4e00\u5143\u4e8c\u6b21\u65b9\u7a0b\uff1a
X^2+2X-3=0
\u7b2c\u4e00\u6b65\uff1a\u5148\u5728X^2+2X\u540e\u52a0\u4e00\u9879\u5e38\u6570\u9879\uff0c\u4f7f\u4e4b\u80fd\u6210\u4e3a\u4e00\u9879\u5b8c\u5168\u5e73\u65b9\u5f0f\uff0c\u90a3\u4e48\u6839\u636e\u9898\u76ee\uff0c\u6211\u4eec\u53ef\u4ee5\u5f97\u77e5\u5e94\u8be5\u52a0\u4e00\u4e2a1\u8fd9\u6837\u5c31\u53d8\u6210\u4e86\uff08X+1)^2\u3002
\u7b2c\u4e8c\u6b65\uff1a\u539f\u5f0f\u662fX^2+2X-3\uff0c\u800c(X+1)^2=X^2+2X+1\uff0c\u4e24\u4e2a\u8475\u82b1\u5b50\u5bf9\u6bd4\u4e4b\u540e\u53d1\u73b0\u8981\u5728\u5e38\u6570\u9879\u540e\u9762\u51cf\u53bb4\uff0c\u624d\u4f1a\u7b49\u4e8e\u539f\u5f0f\uff0c\u6240\u4ee5\u6700\u540e\u7528\u914d\u65b9\u6cd5\u540e\u5f97\u5230\u7684\u5f0f\u5b50\u4e3a(X+1)^2-4=0,\u6700\u540e\u53ef\u89e3\u65b9\u7a0b\u3002
\u8fd8\u6709\u4e00\u79cd\u65b9\u6cd5\u5c31\u662f\u5f00\u5e73\u65b9\u6cd5,\u4f8b\u5982:X^2=121,\u90a3\u4e48X1=11,X2=-11\u3002
\u6700\u540e\u5982\u679c\u7528\u4e86\u4e0a\u9762\u6240\u6709\u7684\u65b9\u6cd5\u90fd\u65e0\u6cd5\u89e3\u65b9\u7a0b\uff0c\u90a3\u5c31\u53ea\u80fd\u50cf\u697c\u4e0a\u6240\u8bf4\u7684\u7528\u6c42\u6839\u516c\u5f0f\u4e86\u3002
\u5b9a\u7406\u5c31\u662f\u97e6\u8fbe\u5b9a\u7406\uff0c\u8fd8\u6709\u6839\u7684\u5224\u522b\u5f0f\uff0c\u97e6\u8fbe\u5b9a\u7406\u5c31\u662f\u4e00\u5143\u4e8c\u65b9\u7a0bax^2+bx+c=0(a\u4e0d\u7b49\u4e8e0)\u4e8c\u6839\u4e4b\u548c\u5c31\u662f-b/a,\u4e24\u6839\u4e4b\u79ef\u5c31\u662fc/a
\u4e3e\u4f8b\uff1aX^2-4X+3=0 \u4e24\u6839\u4e4b\u548c\u5c31\u662f-(-4/1)=4\uff0c\u4e24\u6839\u4e4b\u79ef\u5c31\u662f3/1=3,\uff08\u4f60\u53ef\u4ee5\u81ea\u5df1\u89e3\u4e00\u4e0b\uff0c\u770b\u770b\u662f\u5426\u6b63\u786e\uff09\u3002
1\u3001\u76f4\u63a5\u5f00\u5e73\u65b9\u6cd5\uff1b2\u3001\u914d\u65b9\u6cd5\uff1b3\u3001\u516c\u5f0f\u6cd5\uff1b4\u3001\u56e0\u5f0f\u5206\u89e3\u6cd5\u3002 \u3000\u30001\u3001\u76f4\u63a5\u5f00\u5e73\u65b9\u6cd5\uff1a \u3000\u3000\u76f4\u63a5\u5f00\u5e73\u65b9\u6cd5\u5c31\u662f\u7528\u76f4\u63a5\u5f00\u5e73\u65b9\u6c42\u89e3\u4e00\u5143\u4e8c\u6b21\u65b9\u7a0b\u7684\u65b9\u6cd5\u3002\u7528\u76f4\u63a5\u5f00\u5e73\u65b9\u6cd5\u89e3\u5f62\u5982(x-m)^2;=n (n\u22650)\u7684 \u65b9\u7a0b\uff0c\u5176\u89e3\u4e3ax=\u00b1\u221an+m . \u3000\u3000\u4f8b1\uff0e\u89e3\u65b9\u7a0b\uff081\uff09(3x+1)^2;=7 \uff082\uff099x^2;-24x+16=11 \u3000\u3000\u5206\u6790\uff1a\uff081\uff09\u6b64\u65b9\u7a0b\u663e\u7136\u7528\u76f4\u63a5\u5f00\u5e73\u65b9\u6cd5\u597d\u505a\uff0c\uff082\uff09\u65b9\u7a0b\u5de6\u8fb9\u662f\u5b8c\u5168\u5e73\u65b9\u5f0f(3x-4)^2;\uff0c\u53f3\u8fb9=11>0\uff0c\u6240\u4ee5\u6b64\u65b9\u7a0b\u4e5f\u53ef\u7528\u76f4\u63a5\u5f00\u5e73\u65b9\u6cd5\u89e3\u3002 \u3000\u3000\uff081\uff09\u89e3\uff1a(3x+1)^2=7 \u3000\u3000\u2234(3x+1)^2=7 \u3000\u3000\u22343x+1=\u00b1\u221a7(\u6ce8\u610f\u4e0d\u8981\u4e22\u89e3\u7b26\u53f7) \u3000\u3000\u2234x= \ufe59\ufe631\u00b1\u221a7\ufe5a/3 \u3000\u3000\u2234\u539f\u65b9\u7a0b\u7684\u89e3\u4e3ax?=\ufe59\u221a7\ufe631\ufe5a/3,x?=\ufe59\ufe63\u221a7-1\ufe5a/3 \u3000\u3000\uff082\uff09\u89e3\uff1a 9x^2-24x+16=11 \u3000\u3000\u2234(3x-4)^2=11 \u3000\u3000\u22343x-4=\u00b1\u221a11 \u3000\u3000\u2234x=\ufe59 4\u00b1\u221a11\ufe5a/3 \u3000\u3000\u2234\u539f\u65b9\u7a0b\u7684\u89e3\u4e3ax?=\ufe594\ufe62\u221a11\ufe5a/3,x?= \ufe594\ufe63\u221a11\ufe5a/3 \u3000\u30002\uff0e\u914d\u65b9\u6cd5\uff1a\u7528\u914d\u65b9\u6cd5\u89e3\u65b9\u7a0bax^2+bx+c=0 (a\u22600) \u3000\u3000\u5148\u5c06\u5e38\u6570c\u79fb\u5230\u65b9\u7a0b\u53f3\u8fb9\uff1aax^2+bx=-c \u3000\u3000\u5c06\u4e8c\u6b21\u9879\u7cfb\u6570\u5316\u4e3a1\uff1ax^2+b/ax=- c/a \u3000\u3000\u65b9\u7a0b\u4e24\u8fb9\u5206\u522b\u52a0\u4e0a\u4e00\u6b21\u9879\u7cfb\u6570\u7684\u4e00\u534a\u7684\u5e73\u65b9\uff1ax^2+b/ax+( b/2a)^2=- c/a+( b/2a)^2; \u3000\u3000\u65b9\u7a0b\u5de6\u8fb9\u6210\u4e3a\u4e00\u4e2a\u5b8c\u5168\u5e73\u65b9\u5f0f\uff1a(x+b/2a)2= -c/a\ufe62\ufe59b/2a\ufe5a² \u3000\u3000\u5f53b²-4ac\u22650\u65f6\uff0cx+b/2a=\u00b1\u221a\ufe59\ufe63c/a\ufe5a\ufe62\ufe59b/2a\ufe5a² \u3000\u3000\u2234x=\ufe5b\ufe63b\u00b1[\u221a\ufe59b²\ufe634ac\ufe5a]\ufe5c/2a(\u8fd9\u5c31\u662f\u6c42\u6839\u516c\u5f0f) \u3000\u3000\u4f8b2\uff0e\u7528\u914d\u65b9\u6cd5\u89e3\u65b9\u7a0b 3x²-4x-2=0 \u3000\u3000\u89e3\uff1a\u5c06\u5e38\u6570\u9879\u79fb\u5230\u65b9\u7a0b\u53f3\u8fb9 3x²-4x=2 \u3000\u3000\u5c06\u4e8c\u6b21\u9879\u7cfb\u6570\u5316\u4e3a1\uff1ax²-\ufe594/3\ufe5ax= ? \u3000\u3000\u65b9\u7a0b\u4e24\u8fb9\u90fd\u52a0\u4e0a\u4e00\u6b21\u9879\u7cfb\u6570\u4e00\u534a\u7684\u5e73\u65b9\uff1ax²-\ufe594/3\ufe5ax+( 4/6)²=? +(4/6 )² \u3000\u3000\u914d\u65b9\uff1a(x-4/6)²= ? +(4/6 )² \u3000\u3000\u76f4\u63a5\u5f00\u5e73\u65b9\u5f97\uff1ax-4/6=\u00b1 \u221a[? +(4/6 )² ] \u3000\u3000\u2234x= 4/6\u00b1 \u221a[? +(4/6 )² ] \u3000\u3000\u2234\u539f\u65b9\u7a0b\u7684\u89e3\u4e3ax?=4/6\ufe62\u221a\ufe5910/6\ufe5a,x?=4/6\ufe63\u221a\ufe5910/6\ufe5a . \u3000\u30003\uff0e\u516c\u5f0f\u6cd5\uff1a\u628a\u4e00\u5143\u4e8c\u6b21\u65b9\u7a0b\u5316\u6210\u4e00\u822c\u5f62\u5f0f\uff0c\u7136\u540e\u8ba1\u7b97\u5224\u522b\u5f0f\u25b3=b²-4ac\u7684\u503c\uff0c\u5f53b²-4ac\u22650\u65f6\uff0c\u628a\u5404\u9879\u7cfb\u6570a, b, c\u7684\u503c\u4ee3\u5165\u6c42\u6839\u516c\u5f0fx=[-b\u00b1\u221a(b²-4ac)]/(2a) , (b²-4ac\u22650)\u5c31\u53ef\u5f97\u5230\u65b9\u7a0b\u7684\u6839\u3002 \u3000\u3000\u4f8b3\uff0e\u7528\u516c\u5f0f\u6cd5\u89e3\u65b9\u7a0b 2x²-8x=-5 \u3000\u3000\u89e3\uff1a\u5c06\u65b9\u7a0b\u5316\u4e3a\u4e00\u822c\u5f62\u5f0f\uff1a2x²-8x+5=0 \u3000\u3000\u2234a=2, b=-8, c=5 \u3000\u3000b²-4ac=(-8)²-4\u00d72\u00d75=64-40=24>0 \u3000\u3000\u2234x=[(-b\u00b1\u221a(b²-4ac)]/(2a) \u3000\u3000\u2234\u539f\u65b9\u7a0b\u7684\u89e3\u4e3ax?=,x?= . \u3000\u30004\uff0e\u56e0\u5f0f\u5206\u89e3\u6cd5\uff1a\u628a\u65b9\u7a0b\u53d8\u5f62\u4e3a\u4e00\u8fb9\u662f\u96f6\uff0c\u628a\u53e6\u4e00\u8fb9\u7684\u4e8c\u6b21\u4e09\u9879\u5f0f\u5206\u89e3\u6210\u4e24\u4e2a\u4e00\u6b21\u56e0\u5f0f\u7684\u79ef\u7684\u5f62\u5f0f\uff0c\u8ba9\u4e24\u4e2a\u4e00\u6b21\u56e0\u5f0f\u5206\u522b\u7b49\u4e8e\u96f6\uff0c\u5f97\u5230\u4e24\u4e2a\u4e00\u5143\u4e00\u6b21\u65b9\u7a0b\uff0c\u89e3\u8fd9\u4e24\u4e2a\u4e00\u5143\u4e00\u6b21\u65b9\u7a0b\u6240\u5f97\u5230\u7684\u6839\uff0c\u5c31\u662f\u539f\u65b9\u7a0b\u7684\u4e24\u4e2a\u6839\u3002\u8fd9\u79cd\u89e3\u4e00\u5143\u4e8c\u6b21\u65b9\u7a0b\u7684\u65b9\u6cd5\u53eb\u505a\u56e0\u5f0f\u5206\u89e3\u6cd5\u3002 \u3000\u3000\u4f8b4\uff0e\u7528\u56e0\u5f0f\u5206\u89e3\u6cd5\u89e3\u4e0b\u5217\u65b9\u7a0b\uff1a \u3000\u3000(1) (x+3)(x-6)=-8 (2) 2x²+3x=0 \u3000\u3000(3) 6x²+5x-50=0 (\u9009\u5b66\uff09 (4)x2-2( + )x+4=0 \uff08\u9009\u5b66\uff09 \u3000\u3000(1)\u89e3\uff1a(x+3)(x-6)=-8 \u5316\u7b80\u6574\u7406\u5f97 \u3000\u3000x2-3x-10=0 (\u65b9\u7a0b\u5de6\u8fb9\u4e3a\u4e8c\u6b21\u4e09\u9879\u5f0f\uff0c\u53f3\u8fb9\u4e3a\u96f6) \u3000\u3000(x-5)(x+2)=0 (\u65b9\u7a0b\u5de6\u8fb9\u5206\u89e3\u56e0\u5f0f) \u3000\u3000\u2234x-5=0\u6216x+2=0 (\u8f6c\u5316\u6210\u4e24\u4e2a\u4e00\u5143\u4e00\u6b21\u65b9\u7a0b) \u3000\u3000\u2234x1=5,x2=-2\u662f\u539f\u65b9\u7a0b\u7684\u89e3\u3002 \u3000\u3000(2)\u89e3\uff1a2x2+3x=0 \u3000\u3000x(2x+3)=0 (\u7528\u63d0\u516c\u56e0\u5f0f\u6cd5\u5c06\u65b9\u7a0b\u5de6\u8fb9\u5206\u89e3\u56e0\u5f0f) \u3000\u3000\u2234x=0\u62162x+3=0 (\u8f6c\u5316\u6210\u4e24\u4e2a\u4e00\u5143\u4e00\u6b21\u65b9\u7a0b) \u3000\u3000\u2234x1=0\uff0cx2=-\u662f\u539f\u65b9\u7a0b\u7684\u89e3\u3002 \u3000\u3000\u6ce8\u610f\uff1a\u6709\u4e9b\u540c\u5b66\u505a\u8fd9\u79cd\u9898\u76ee\u65f6\u5bb9\u6613\u4e22\u6389x=0\u8fd9\u4e2a\u89e3\uff0c\u5e94\u8bb0\u4f4f\u4e00\u5143\u4e8c\u6b21\u65b9\u7a0b\u6709\u4e24\u4e2a\u89e3\u3002 \u3000\u3000(3)\u89e3\uff1a6x2+5x-50=0 \u3000\u3000(2x-5)(3x+10)=0 (\u5341\u5b57\u76f8\u4e58\u5206\u89e3\u56e0\u5f0f\u65f6\u8981\u7279\u522b\u6ce8\u610f\u7b26\u53f7\u4e0d\u8981\u51fa\u9519) \u3000\u3000\u22342x-5=0\u62163x+10=0 \u3000\u3000\u2234x1=, x2=- \u662f\u539f\u65b9\u7a0b\u7684\u89e3\u3002 \u3000\u3000(4)\u89e3\uff1ax2-2(+ )x+4 =0 \uff08\u22354 \u53ef\u5206\u89e3\u4e3a2 \u00b72 \uff0c\u2234\u6b64\u9898\u53ef\u7528\u56e0\u5f0f\u5206\u89e3\u6cd5\uff09 \u3000\u3000(x-2)(x-2 )=0 \u3000\u3000\u2234x1=2 ,x2=2\u662f\u539f\u65b9\u7a0b\u7684\u89e3\u3002 \u3000\u3000\u5c0f\u7ed3\uff1a \u3000\u3000\u4e00\u822c\u89e3\u4e00\u5143\u4e8c\u6b21\u65b9\u7a0b\uff0c\u6700\u5e38\u7528\u7684\u65b9\u6cd5\u8fd8\u662f\u56e0\u5f0f\u5206\u89e3\u6cd5\uff0c\u5728\u5e94\u7528\u56e0\u5f0f\u5206\u89e3\u6cd5\u65f6\uff0c\u4e00\u822c\u8981\u5148\u5c06\u65b9\u7a0b\u5199\u6210\u4e00\u822c\u5f62\u5f0f\uff0c\u540c\u65f6\u5e94\u4f7f\u4e8c\u6b21\u9879\u7cfb\u6570\u5316\u4e3a\u6b63\u6570\u3002 \u3000\u3000\u76f4\u63a5\u5f00\u5e73\u65b9\u6cd5\u662f\u6700\u57fa\u672c\u7684\u65b9\u6cd5\u3002 \u3000\u3000\u516c\u5f0f\u6cd5\u548c\u914d\u65b9\u6cd5\u662f\u6700\u91cd\u8981\u7684\u65b9\u6cd5\u3002\u516c\u5f0f\u6cd5\u9002\u7528\u4e8e\u4efb\u4f55\u4e00\u5143\u4e8c\u6b21\u65b9\u7a0b\uff08\u6709\u4eba\u79f0\u4e4b\u4e3a\u4e07\u80fd\u6cd5\uff09\uff0c\u5728\u4f7f\u7528\u516c\u5f0f\u6cd5\u65f6\uff0c\u4e00\u5b9a\u8981\u628a\u539f\u65b9\u7a0b\u5316\u6210\u4e00\u822c\u5f62\u5f0f\uff0c\u4ee5\u4fbf\u786e\u5b9a\u7cfb\u6570\uff0c\u800c\u4e14\u5728\u7528\u516c\u5f0f\u524d\u5e94\u5148\u8ba1\u7b97\u5224\u522b\u5f0f\u7684\u503c\uff0c\u4ee5\u4fbf\u5224\u65ad\u65b9\u7a0b\u662f\u5426\u6709\u89e3\u3002 \u3000\u3000\u914d\u65b9\u6cd5\u662f\u63a8\u5bfc\u516c\u5f0f\u7684\u5de5\u5177\uff0c\u638c\u63e1\u516c\u5f0f\u6cd5\u540e\u5c31\u53ef\u4ee5\u76f4\u63a5\u7528\u516c\u5f0f\u6cd5\u89e3\u4e00\u5143\u4e8c\u6b21\u65b9\u7a0b\u4e86\uff0c\u6240\u4ee5\u4e00\u822c\u4e0d\u7528\u914d\u65b9\u6cd5 \u3000\u3000\u89e3\u4e00\u5143\u4e8c\u6b21\u65b9\u7a0b\u3002\u4f46\u662f\uff0c\u914d\u65b9\u6cd5\u5728\u5b66\u4e60\u5176\u4ed6\u6570\u5b66\u77e5\u8bc6\u65f6\u6709\u5e7f\u6cdb\u7684\u5e94\u7528\uff0c\u662f\u521d\u4e2d\u8981\u6c42\u638c\u63e1\u7684\u4e09\u79cd\u91cd\u8981\u7684\u6570\u5b66\u65b9\u6cd5\u4e4b\u4e00\uff0c\u4e00\u5b9a\u8981\u638c\u63e1\u597d\u3002\uff08\u4e09\u79cd\u91cd\u8981\u7684\u6570\u5b66\u65b9\u6cd5\uff1a\u6362\u5143\u6cd5\uff0c\u914d\u65b9\u6cd5\uff0c\u5f85\u5b9a\u7cfb\u6570\u6cd5\uff09\u3002
例1．解方程（1）(3x+1)^2;=7 （2）9x^2;-24x+16=11 分析：（1）此方程显然用直接开平方法好做，（2）方程左边是完全平方式(3x-4)^2;，右边=11>0，所以此方程也可用直接开平方法解。 （1）解：(3x+1)^2=7 ∴(3x+1)^2=7 ∴3x+1=±√7(注意不要丢解符号) ∴x= ﹙﹣1±√7﹚/3 ∴原方程的解为x?=﹙√7﹣1﹚/3,x?=﹙﹣√7-1﹚/3 （2）解： 9x^2-24x+16=11 ∴(3x-4)^2=11 ∴3x-4=±√11 ∴x=﹙ 4±√11﹚/3 ∴原方程的解为x?=﹙4﹢√11﹚/3,x?= ﹙4﹣√11﹚/3 2．配方法：用配方法解方程ax^2+bx+c=0 (a≠0) 先将常数c移到方程右边：ax^2+bx=-c 将二次项系数化为1：x^2+b/ax=- c/a 方程两边分别加上一次项系数的一半的平方：x^2+b/ax+( b/2a)^2=- c/a+( b/2a)^2; 方程左边成为一个完全平方式：(x+b/2a )2= -c/a﹢﹙b/2a﹚² 当b²-4ac≥0时，x+b/2a =±√﹙﹣c/a﹚﹢﹙b/2a﹚² ∴x=﹛﹣b±[√﹙b²﹣4ac﹚]﹜/2a(这就是求根公式) 例2．用配方法解方程 3x²-4x-2=0 解：将常数项移到方程右边 3x²-4x=2 将二次项系数化为1：x²-﹙4/3﹚x= ? 方程两边都加上一次项系数一半的平方：x²-﹙4/3﹚x+( 4/6)²=? +(4/6 )² 配方：(x-4/6)²= ? +(4/6 )² 直接开平方得：x-4/6=± √[? +(4/6 )² ] ∴x= 4/6± √[? +(4/6 )² ] ∴原方程的解为x?=4/6﹢√﹙10/6﹚,x?=4/6﹣√﹙10/6﹚ . 3．公式法：把一元二次方程化成一般形式，然后计算判别式△=b²-4ac的值，当b²-4ac≥0时，把各项系数a, b, c的值代入求根公式x=[-b±√(b²-4ac)]/(2a) , (b²-4ac≥0)就可得到方程的根。 例3．用公式法解方程 2x²-8x=-5 解：将方程化为一般形式：2x²-8x+5=0 ∴a=2, b=-8, c=5 b²-4ac=(-8)²-4×2×5=64-40=24>0 ∴x=[(-b±√(b²-4ac)]/(2a) ∴原方程的解为x?=,x?= . 4．因式分解法：把方程变形为一边是零，把另一边的二次三项式分解成两个一次因式的积的形式，让两个一次因式分别等于零，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程所得到的根，就是原方程的两个根。这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法。 例4．用因式分解法解下列方程： (1) (x+3)(x-6)=-8 (2) 2x²+3x=0 (3) 6x²+5x-50=0 (选学） (4)x2-2( + )x+4=0 （选学） (1)解：(x+3)(x-6)=-8 化简整理得 x2-3x-10=0 (方程左边为二次三项式，右边为零) (x-5)(x+2)=0 (方程左边分解因式) ∴x-5=0或x+2=0 (转化成两个一元一次方程) ∴x1=5,x2=-2是原方程的解。 (2)解：2x2+3x=0 x(2x+3)=0 (用提公因式法将方程左边分解因式) ∴x=0或2x+3=0 (转化成两个一元一次方程) ∴x1=0，x2=-是原方程的解。 注意：有些同学做这种题目时容易丢掉x=0这个解，应记住一元二次方程有两个解。 (3)解：6x2+5x-50=0 (2x-5)(3x+10)=0 (十字相乘分解因式时要特别注意符号不要出错) ∴2x-5=0或3x+10=0 ∴x1=, x2=- 是原方程的解。 (4)解：x2-2(+ )x+4 =0 （∵4 可分解为2 ·2 ，∴此题可用因式分解法） (x-2)(x-2 )=0 ∴x1=2 ,x2=2是原方程的解。例1．解方程（1）(3x+1)^2;=7 （2）9x^2;-24x+16=11
分析：（1）此方程显然用直接开平方法好做，
（2）方程左边是完全平方式(3x-4)^2;，右边=11>0，所以此方程也可用直接开平方法解。 （1）解：(3x+1)^2=7
∴(3x+1)^2=7
∴3x+1=±√7(注意不要丢解符号)
∴x= ﹙﹣1±√7﹚/3
∴原方程的解为x?=﹙√7﹣1﹚/3,x?=﹙﹣√7-1﹚/3
（2）解： 9x^2-24x+16=11
∴(3x-4)^2=11 ∴3x-4=±√11
∴x=﹙ 4±√11﹚/3 ∴原方程的解为x?=﹙4﹢√11﹚/3,x?= ﹙4﹣√11﹚/3
2．配方法：用配方法解方程ax^2+bx+c=0 (a≠0)
先将常数c移到方程右边：ax^2+bx=-c
将二次项系数化为1：x^2+b/ax=- c/a
方程两边分别加上一次项系数的一半的平方：x^2+b/ax+( b/2a)^2=- c/a+( b/2a)^2;
方程左边成为一个完全平方式：(x+b/2a )2= -c/a﹢﹙b/2a﹚²
当b²-4ac≥0时，x+b/2a =±√﹙﹣c/a﹚﹢﹙b/2a﹚²
∴x=﹛﹣b±[√﹙b²﹣4ac﹚]﹜/2a(这就是求根公式)
例2．用配方法解方程 3x²-4x-2=0
解：将常数项移到方程右边 3x²-4x=2
将二次项系数化为1：x²-﹙4/3﹚x= ?
方程两边都加上一次项系数一半的平方：x²-﹙4/3﹚x+( 4/6)²=? +(4/6 )²
配方：(x-4/6)²= ? +(4/6 )²
直接开平方得：x-4/6=± √[? +(4/6 )² ]
∴x= 4/6± √[? +(4/6 )² ]
∴原方程的解为x?=4/6﹢√﹙10/6﹚,x?=4/6﹣√﹙10/6﹚ .
3．公式法：
例3．用公式法解方程 2x²-8x=-5
解：将方程化为一般形式：2x²-8x+5=0
∴a=2, b=-8, c=5
b²-4ac=(-8)²-4×2×5=64-40=24>0
∴x=[(-b±√(b²-4ac)]/(2a)
∴原方程的解为x?=,x?= .
4．因式分解法：
例4．用因式分解法解下列方程：
(1) (x+3)(x-6)=-8 (2) 2x²+3x=0 (3) 6x²+5x-50=0 (选学） (4)x2-2( + )x+4=0 （选学） (1)解：(x+3)(x-6)=-8 化简整理得
x2-3x-10=0 (方程左边为二次三项式，右边为零)
(x-5)(x+2)=0 (方程左边分解因式)
∴x-5=0或x+2=0 (转化成两个一元一次方程)
∴x1=5,x2=-2是原方程的解。
(2)解：2x2+3x=0
x(2x+3)=0 (用提公因式法将方程左边分解因式)
∴x=0或2x+3=0 (转化成两个一元一次方程)
∴x1=0，x2=-是原方程的解。
注意：有些同学做这种题目时容易丢掉x=0这个解，应记住一元二次方程有两个解。
(3)解：6x2+5x-50=0
(2x-5)(3x+10)=0 (十字相乘分解因式时要特别注意符号不要出错)
∴2x-5=0或3x+10=0
∴x1=, x2=- 是原方程的解。
(4)解：x2-2(+ )x+4 =0 （∵4 可分解为2 ·2 ，∴此题可用因式分解法）
(x-2)(x-2 )=0
∴x1=2 ,x2=2是原方程的解。
1, 配方法
2，求根公式法
3，因式分解法
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