当x趋向于x0时，某个函数的左极限右极限分别是x0左右两端趋向x0。想问如果当x趋向无穷大时，某个 用极限定义证明，函数f(x)当x趋向于x0时极限存在的充要条...

\u5982\u679c\u4e00\u4e2a\u51fd\u6570\u5f53x\u8d8b\u8fd1\u4e8ex0\u65f6\uff0c\u5de6\u6781\u9650\u548c\u53f3\u6781\u9650\u4e0d\u76f8\u7b49\uff0c\u90a3\u662f\u4e0d\u662f\u8bf4x0\u5904\u65e0\u6781\u9650\uff1f

\u4e00\u822c\u6765\u8bf4\uff1a\u662f\u7684\u3002

\u4f46\u662f\u8981\u6ce8\u610f\uff0c\u5c24\u5176\u662f\u4e0b\u9762\u7684\u7b2c\u4e8c\u6761\u7684C\u3002

1\u3001\u6781\u9650\u5b58\u5728\uff0c\u662f\u6307\u5de6\u53f3\u6781\u9650\u5b58\u5728\u5e76\u4e14\u76f8\u7b49\uff1b
2\u3001\u5982\u679c\u6709\u5de6\u53f3\u6781\u9650\u5b58\u5728\u4f46\u4e0d\u76f8\u7b49\uff0c\u6211\u4eec\u53ef\u4ee5\u8bf4\uff1a
A\u3001\u6781\u9650\u4e0d\u5b58\u5728\uff1b(\u8fd9\u662f\u4e00\u822c\u7684\u7ed3\u8bba)
B\u3001\u4f60\u4e5f\u53ef\u4ee5\u5355\u72ec\u8bf4\u51fa\u5de6\u6781\u9650\uff0c\u5355\u72ec\u8bf4\u51fa\u53f3\u6781\u9650\uff0c
\u8001\u5e08\u4e00\u5b9a\u903c\u4f60\u8bf4\u51fa\u4e00\u822c\u6027\u7684\u7ed3\u8bba\uff0c\u90a3\u5c31\u662f\u4e0d\u5b58\u5728\u3002
C\u3001\u4f5c\u4e3a\u89e3\u51b3\u5b9e\u9645\u95ee\u9898\uff0c\u6bd4\u5982\u5b9a\u79ef\u5206\u7684\u8ba1\u7b97\uff0c\u5c31\u7ecf\u5e38
\u9047\u5230\u8ba1\u7b97\u5355\u4fa7\u7684\u6781\u9650\uff0c\u5c31\u4e0d\u8981\u8f7b\u6613\u5730\u8bf4\u79ef\u5206\u4e0d\u5b58\u5728\uff01

\u5728\u5b9a\u79ef\u5206\u9700\u8981\u8ba1\u7b97\u5355\u4fa7\u6781\u9650\u65f6\uff0c\u5355\u4fa7\u5b58\u5728\u5c31\u662f\u5b58\u5728\uff01

\u8bbelim[x\u2192x0+] f(x)=A\uff0clim[x\u2192x0-] f(x)=A
\u7531lim[x\u2192x0+] f(x)=A\uff0c\u5219\u5bf9\u4e8e\u4efb\u610f\u03b5>0\uff0c\u5b58\u5728\u03b41>0\uff0c\u5f5300\uff0c\u5f53 -\u03b42x0\uff0c\u52190<|x-x0|<\u03b4\u2264\u03b41\u6210\u7acb\uff0c
\u82e5x0\uff0c\u5b58\u5728\u03b4>0\uff0c\u5f530<|x-x0|<\u03b4\u65f6\uff0c\u6709|f(x)-A|<\u03b5\u6210\u7acb
\u6b64\u65f6\u6709\uff1a0
\u540c\u7406\uff0c\u6b64\u65f6\u6709\uff1a-\u03b4<x-x0<0 \u65f6\uff0c|f(x)-a|
\u6269\u5c55\u8d44\u6599\u7528\u6781\u9650\u601d\u60f3\u89e3\u51b3\u95ee\u9898\u7684\u4e00\u822c\u6b65\u9aa4\u53ef\u6982\u62ec\u4e3a\uff1a
\u5bf9\u4e8e\u88ab\u8003\u5bdf\u7684\u672a\u77e5\u91cf\uff0c\u5148\u8bbe\u6cd5\u6b63\u786e\u5730\u6784\u601d\u4e00\u4e2a\u4e0e\u5b83\u7684\u53d8\u5316\u6709\u5173\u7684\u53e6\u5916\u4e00\u4e2a\u53d8\u91cf\uff0c\u786e\u8ba4\u6b64\u53d8\u91cf\u901a\u8fc7\u65e0\u9650\u53d8\u5316\u8fc7\u7a0b\u7684\u2019\u5f71\u54cd\u2018\u8d8b\u52bf\u6027\u7ed3\u679c\u5c31\u662f\u975e\u5e38\u7cbe\u5bc6\u7684\u7ea6\u7b49\u4e8e\u6240\u6c42\u7684\u672a\u77e5\u91cf\uff1b\u7528\u6781\u9650\u539f\u7406\u5c31\u53ef\u4ee5\u8ba1\u7b97\u5f97\u5230\u88ab\u8003\u5bdf\u7684\u672a\u77e5\u91cf\u7684\u7ed3\u679c\u3002
\u6781\u9650\u601d\u60f3\u662f\u5fae\u79ef\u5206\u7684\u57fa\u672c\u601d\u60f3\uff0c\u662f\u6570\u5b66\u5206\u6790\u4e2d\u7684\u4e00\u7cfb\u5217\u91cd\u8981\u6982\u5ff5\uff0c\u5982\u51fd\u6570\u7684\u8fde\u7eed\u6027\u3001\u5bfc\u6570\uff08\u4e3a0\u5f97\u5230\u6781\u5927\u503c\uff09\u4ee5\u53ca\u5b9a\u79ef\u5206\u7b49\u7b49\u90fd\u662f\u501f\u52a9\u4e8e\u6781\u9650\u6765\u5b9a\u4e49\u7684\u3002\u5982\u679c\u8981\u95ee\uff1a\u201c\u6570\u5b66\u5206\u6790\u662f\u4e00\u95e8\u4ec0\u4e48\u5b66\u79d1?\u201d\u90a3\u4e48\u53ef\u4ee5\u6982\u62ec\u5730\u8bf4\uff1a\u201c\u6570\u5b66\u5206\u6790\u5c31\u662f\u7528\u6781\u9650\u601d\u60f3\u6765\u7814\u7a76\u51fd\u6570\u7684\u4e00\u95e8\u5b66\u79d1\uff0c\u5e76\u4e14\u8ba1\u7b97\u7ed3\u679c\u8bef\u5dee\u5c0f\u5230\u96be\u4e8e\u60f3\u50cf\uff0c\u56e0\u6b64\u53ef\u4ee5\u5ffd\u7565\u4e0d\u8ba1\u3002

设函数y=f(x)在点a左右近旁都有定义,当x无限趋近a时（记作x→a）,函数值无限接近一个确定的常数A,则称A为当x无限趋近a时函数f(x)的极限.记作lim f(x)=A ,x→a.
这里描述的是 存在常数A。
也就是当x趋向无穷大时，要转换成某个常数，比如当x趋向无穷大时，1/x无限接近于0，否则没有极限的。

浠涔堟槸宸︽瀬闄愬彸鏋侀檺?
绛旓細宸︽瀬闄愬氨鏄鍑芥暟浠庝竴涓偣鐨勫乏渚ф棤闄愰潬杩戣鐐规椂鎵鍙栧埌鐨勬瀬闄愬硷紝涓旇宸彲浠ュ皬鍒版垜浠换鎰忔寚瀹氱殑绋嬪害锛屽彧闇瑕佸彉閲忎粠鍧愭爣鍏呭垎闈犺繎浜庤鐐广傚彸鏋侀檺灏辨槸鍑芥暟浠庝竴涓偣鐨勫彸渚ф棤闄愰潬杩戣鐐规椂鎵鍙栧埌鐨勬瀬闄愬硷紝涓旇宸彲浠ュ皬鍒版垜浠换鎰忔寚瀹氱殑绋嬪害锛屽彧闇瑕佸彉閲忎粠鍧愭爣鍏呭垎闈犺繎浜庤鐐广傚乏鏋侀檺涓庡彸鏋侀檺缁熺О鍗曚晶鏋侀檺銆

x瓒嬩簬x0鏃, f(x)鏈変粈涔闂存柇鐐
绛旓細褰搙瓒嬪悜浜巟0鏃讹紝f锛坸锛夎秼鍚戜簬鏃犵┓澶э紝鏁厁=x0涓烘棤绌烽棿鏂偣锛岃屼笖鍙宸﹀彸鏋侀檺涓紝浠绘剰涓涓瀬闄愮瓑浜庢棤绌峰ぇ锛岄偅涔堣繖涓偣灏辨槸鏃犵┓闂存柇鐐广傞棿鏂偣鍒嗕负鍙幓闂存柇鐐广佽烦璺冮棿鏂偣銆佹棤绌烽棿鏂偣銆侀渿鑽￠棿鏂偣锛屽叾涓彲鍘婚棿鏂偣鍜岃烦璺冮棿鏂偣灞炰簬绗竴绫婚棿鏂偣銆傜浜岀被闂存柇鐐癸細鍑芥暟鐨宸﹀彸鏋侀檺鑷冲皯鏈変竴涓笉瀛樺湪銆傚畾涔...

鍥剧墖涓鍑芥暟 褰搙瓒嬩簬0鏃,宸鏋侀檺鍜屽彸鏋侀檺鐨勬眰娉,闇瑕佹柟娉,璋㈣阿
绛旓細鍥炵瓟锛x鈫0-鏃,limf(x)=(0-1)/(0+1)=-1 x鈫0+鏃,e^1/x鈫+鈭,limf(x)=1 鎵浠ユ槸璺宠穬闂存柇鐐

鏋侀檺鍑芥暟鏋侀檺
绛旓細鍑芥暟鐨宸﹀彸鏋侀檺鍒嗗埆鎸囦粠x0涓や晶瓒嬭繎鐨勬儏鍐碉紝宸︽瀬闄愯浣渪鈫抶0-limf(x)=a锛屽彸鏋侀檺璁颁綔x鈫抶0+limf(x)=a銆傝嫢宸﹀彸鏋侀檺涓嶄竴鑷达紝鍑芥暟鍦▁0澶勪笉瀛樺湪鏋侀檺銆傛瀬闄愪笌鍑芥暟鍦ㄦ煇鐐规槸鍚﹀畾涔夋棤鍏筹紝鍙璇ョ偣闄勮繎鏈夊畾涔夊嵆鍙備袱涓噸瑕佺殑鏋侀檺渚嬪瓙鍖呮嫭褰搙瓒嬭繎浜0鏃讹紝sin(x)/x鐨勬瀬闄愪负1锛屼互鍙(1 + x)^1/x瓒嬭繎...

鍑芥暟寰楀乏鍙虫瀬闄愭庝箞鐞嗚В銆傚彲鍚﹁瑙ｅ悗涓句竴涓緥瀛
绛旓細鍑芥暟鐨鍙虫瀬闄愶細浠庝竴涓湴鏂(姣斿鍧愭爣杞)鐨勫彸渚ф棤闄瓒嬪悜浜甯告暟a鎵鍙栫殑鏋侀檺鍊(x鈫抋+)锛屾垨鑰呬粠0鏃犻檺瓒嬪悜浜庤繖涓湴鏂圭殑鍙充晶鎵鍙栫殑鏋侀檺鍊(x鈫掆垶+)锛屽垯绉颁负鍑芥暟鐨勫彸鏋侀檺銆傚e^(1/x)锛屽垽鏂畠鍦▁鈫0鏃鏄惁瀛樺湪鏋侀檺銆褰搙鈫0-鏃讹紝lim[x鈫0-]e^(1/x)=0锛涘綋x鈫0+鏃讹紝lim[x鈫0+]e^(1/x)=...

寰Н鍒嗛噷鐨勪袱涓噸瑕佹瀬闄愭寚浠涔
绛旓細寰Н鍒嗛噷鐨勪袱涓噸瑕佹瀬闄愭寚锛1銆佸鏋褰搙浠庣偣x绛変簬x0鐨勫乏渚ф棤闄瓒嬭繎浜巟0鏃讹紝鍑芥暟鏃犻檺瓒嬭繎浜庡父鏁癮锛屽氨璇碼鏄嚱鏁板湪鐐瑰鐨勫乏鏋侀檺銆2銆佸鏋滃綋x浠庣偣x绛変簬x0鍙充晶鏃犻檺瓒嬭繎浜庣偣x0鏃讹紝鍑芥暟鏃犻檺瓒嬭繎浜庡父鏁癮锛屽氨璇碼鏄嚱鏁板湪鐐瑰鐨勫彸鏋侀檺銆傛瀬闄愭槸寰Н鍒嗕腑鐨勫熀纭姒傚康锛屽畠鎸囩殑鏄彉閲忓湪涓瀹氱殑鍙樺寲杩囩▼涓紝浠庢...

浠涔堟槸鏃犵┓闂存柇鐐
绛旓細褰搙瓒嬪悜浜巟0鏃讹紝f锛坸锛夎秼鍚戜簬鏃犵┓澶э紝鏁厁=x0涓烘棤绌烽棿鏂偣锛岃屼笖鍙宸﹀彸鏋侀檺涓紝浠绘剰涓涓瀬闄愮瓑浜庢棤绌峰ぇ锛岄偅涔堣繖涓偣灏辨槸鏃犵┓闂存柇鐐广傞棿鏂偣鍒嗕负鍙幓闂存柇鐐广佽烦璺冮棿鏂偣銆佹棤绌烽棿鏂偣銆侀渿鑽￠棿鏂偣锛屽叾涓彲鍘婚棿鏂偣鍜岃烦璺冮棿鏂偣灞炰簬绗竴绫婚棿鏂偣銆傜浜岀被闂存柇鐐癸細鍑芥暟鐨宸﹀彸鏋侀檺鑷冲皯鏈変竴涓笉瀛樺湪銆

鏃犵┓闂存柇鐐规槸绗簩绫婚棿鏂偣鍚
绛旓細瀵圭殑銆傜浜岀被闂存柇鐐规槸鎸鍑芥暟鐨宸﹀彸鏋侀檺鑷冲皯鏈変竴涓笉瀛樺湪銆傜浜岀被闂存柇鐐规湁闈炲父澶氱锛屽鏃犵┓闂存柇鐐癸紝鎸崱闂存柇鐐癸紝鍗曚晶闂存柇鐐癸紝鐙勫埄鍏嬮浄鍑芥暟闂存柇鐐圭瓑绛夈褰搙瓒嬪悜浜巟0鏃讹紝f锛坸锛夎秼鍚戜簬鏃犵┓澶э紝鏁厁=x0涓烘棤绌烽棿鏂偣銆傞棿鏂偣鏄寚锛氬湪闈炶繛缁嚱鏁皔=f(x)涓煇鐐瑰xo澶勬湁涓柇鐜拌薄锛岄偅涔堬紝xo灏辩О涓哄嚱鏁扮殑...

涓轰粈涔堝乏鏋侀檺=0,鍙虫瀬闄=0
绛旓細姣斿:y=鈭鈭ｏ紱褰搙鈮0鏃y=-x锛涘綋x鈮0鏃秠=x锛涘湪x=0澶勭殑宸﹀彸鏋侀檺閮芥槸0锛屼笖绛変簬鍑芥暟鐨勫畾涔夛紱浣嗗乏瀵兼暟=-1锛涘彸瀵兼暟=1锛涘乏鍙冲鏁颁笉鐩哥瓑锛屽洜姝ゅ湪x=0澶勪笉鍙銆鍑芥暟鐨勫乏鏋侀檺锛氫粠涓涓湴鏂(姣斿鍧愭爣杞)鐨勫乏渚ф棤闄瓒嬪悜浜甯告暟a鎵鍙栫殑鏋侀檺鍊(x鈫抋-)锛屾垨鑰呬粠0鏃犻檺瓒嬪悜浜庤繖涓湴鏂圭殑宸︿晶鎵鍙栫殑鏋侀檺鍊...

x瓒嬪悜浜巟0涓烘棤绌烽棿鏂偣鍚?
绛旓細褰搙瓒嬪悜浜巟0鏃讹紝f锛坸锛夎秼鍚戜簬鏃犵┓澶э紝鏁厁=x0涓烘棤绌烽棿鏂偣锛岃屼笖鍙宸﹀彸鏋侀檺涓紝浠绘剰涓涓瀬闄愮瓑浜庢棤绌峰ぇ锛岄偅涔堣繖涓偣灏辨槸鏃犵┓闂存柇鐐广傞棿鏂偣鍒嗕负鍙幓闂存柇鐐广佽烦璺冮棿鏂偣銆佹棤绌烽棿鏂偣銆侀渿鑽￠棿鏂偣锛屽叾涓彲鍘婚棿鏂偣鍜岃烦璺冮棿鏂偣灞炰簬绗竴绫婚棿鏂偣銆傜浜岀被闂存柇鐐癸細鍑芥暟鐨宸﹀彸鏋侀檺鑷冲皯鏈変竴涓笉瀛樺湪銆

扩展阅读：∫xe xdx ... 原函数对照表 ... sin tan cos函数表 ... 函数y=x^2 ... 设函数y f x 在x x0 ... 函数生成器 ... 函数公式大全及图解 ... 当x趋于∞时怎么求极限 ... x 0 ...