高等数学函数极限问题
\u9ad8\u7b49\u6570\u5b66\u51fd\u6570\u6781\u9650\u95ee\u9898\u4e0d\u4e00\u5b9a\uff0c\u6bd4\u5982f(x)=x\uff0c\u6ee1\u8db3f(0)=0
\u4f46limf(x²)/f(x)=limx²/x=limx=0\u22601\uff0cx->0
但是这需要你分开的两个式子的极限相减有意义才行
此处不然
其次看着你的等价无穷小有错
tanx~x
sinx~x
注意分母是(sinx)^3~x^3
因为
tanx/(sinx)^3 ~ x/x^3=1/x^2极限是正无穷
sinx/(sinx)^3 ~ x/x^3=1/x^2极限是正无穷
正无穷-正无穷是不定型
2.如果直接taylor展开到一定阶数也是可以的（一般不用）
但是由于分母的阶是x^3
你分子必须至少展开到x^3,才能保证不犯错。
3.正确做法:
tanx=sinx/cosx
原式上下同乘cosx
=(sinx-sinxcosx)/[(sinx)^3 cosx]
同除sinx (因为取极限，x≠0，只是趋向于0)
=(1-cosx)/[(sinx)^2 cosx]
此时再用等价无穷小
1-cosx~x^2/2
sinx~x
cosx~1
=(x^2/2)/[x^2*1]
=1/2
所以先尽可能化简，然后再等价无穷小，注意只有乘除可以用等价无穷小。
无穷小不能直接减无穷小
此题如果用等价无穷小，可以这么做：
tanx=x+x^3/3+...
sinx=x-x^3/3!+
tanx-sinx=(1/3+1/6)x^3=1/2*x^3
(sinx)^3= x^3
这样两者相除，即得1/2.
你错在两个无穷大的差不一定是“0”，比如n和n^2
正确做法，(tanx-sinx)/(sinx)^3=sinx（1-cosx）/(sinx)^3cosx=（1-cosx）/(sinx)^2cosx
=1/2x^2/x^2=1/2
先拆开的话变为了无穷减无穷型，显然不行。
这个题有很多方法，一是将tanx写为sinx/cosx来算，通分即可。而是将tanx在0处做泰勒展示，tanx==x+x^3/3+2x^5/15+.....，sinx也做泰勒展示。
(tanx-sinx)/(sinx)^3=sinx（1-cosx）/(sinx)^3cosx=（1-cosx）/(sinx)^2cosx
=1/2x^2/x^2=1/2
用 tanx-sinx=sinx(1-cosx)/cosx 然后再用等价无穷小 可追问
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