傅立叶级数的展开步骤是什么？
第一步：计算傅里叶系数
根据周期函数的定积分性质，由以下公式计算函数f(x)在任意区间长度为2π的区间上的定积分.一般取为直接定义函数的一个周期区间。常取为[-π, π]，即
第二步：以傅里叶系数为系数，写出三角级数
第三步：基于狄利克雷收敛定理判定傅里叶级数的收敛性
狄利克雷收敛定理：如果周期为2π的周期函数f(x)在一个周期上分段连续，并且在一个周期上只有有限个极值点和有限个第一类间断点，则函数f(x)的傅立叶级数收敛，并且有
期函数f(x)在一个周期上分段连续，并且在一个周期上只有有限个极值点和有限个第一类间断点，则函数f(x)的傅立叶级数收敛，并且有
其中f(x+0)和f(x-0)分别为函数f(x)在点x处的右极限与左极限．即在连续点处傅里叶级数收敛于函数本身S(x)=f(x)；在间断点处收敛于该点左、右极限的算术平均值．
第四步：函数展开成傅里叶级数
依据定理得到和函数等于被展开函数f(x)的集合I，最终写出附带集合I的等式
注意点：
傅立叶级数的部分和有很好的整体逼近性质，幂级数的局部逼近性质比较好．幂级数展开需要函数有很好的“光滑性”，傅里叶级数对“光滑性”的要求较低。
如果函数为奇函数，则函数的傅里叶级数仅仅包含正弦项，则这样傅里叶级数称之为正弦级数，此时只需要计算傅里叶级数的系数bn(1，2，…)；如果函数为偶函数，则函数的傅里叶级数仅仅包含余弦项和常数项，则这样傅里叶级数称之为余弦级数，此时只需要计算傅里叶级数系数an(0，1，2，…)。
以上资料参考百度百科-傅里叶级数
绛旓細浠ュ懆鏈熶俊鍙峰嚱鏁颁綔涓虹ず鑼冿紝鐪嬬湅鍌呴噷鍙剁骇鍒嚱鏁板簲璇ユ庝箞鐢荤浉浣嶈氨鍜屽箙搴﹁氨 鍛ㄦ湡鍑芥暟锛氭渶缁鍌呴噷鍙剁骇鏁鍑芥暟鐨勫崟杈瑰浘銆佸弻杈瑰浘銆佺浉浣嶈氨銆佸箙搴﹁氨锛屽涓嬪浘鎵绀猴細骞呭害璋憋紝涔熷氨鏄璋憋紝浠庢瀯鎴愯繖涓尝褰㈢殑鍚勪釜棰戠巼鍒嗛噺鐨勪晶闈㈢湅杩囧幓锛屾瘡涓涓鐜囧垎閲忛兘浼氬湪渚ч潰鎶曞奖鎴愪竴涓珮搴︿负骞呭肩殑绾挎锛屾瀯鎴愰璋便傜浉浣嶈氨锛屽垯鏄粠棰戠巼...
绛旓細灏辨槸瀹冭嚜宸卞晩锛歴in((2N+1)x)=sin((2N+1)x)娉板嫆绾ф暟鏄敤鏍囧噯鐨勫厜婊戝嚱鏁帮細骞傚嚱鏁皒^n鐨勬棤绌峰拰鏉ユā鎷熶竴鑸殑鍏夋粦鍑芥暟锛岀郴鏁伴氳繃n闃跺鏁板緱鍒帮紱鑰鍌绔鍙剁骇鏁版槸鐢ㄦ爣鍑嗙殑鍛ㄦ湡鍑芥暟锛氫笁瑙掑嚱鏁皊in(nx),cos(nx)鐨勬棤绌峰拰鏉ユā鎷熶竴鑸殑鍛ㄦ湡鍑芥暟锛岀郴鏁伴氳繃鍜宻in(nx),cos(nx)涔樼Н鐨勭Н鍒嗗緱鍒般傜壒鍒湴锛屽鏋滃嚱鏁...
绛旓細鍌呴噷鍙跺睍寮寮忔槸鎸囩敤涓夎绾ф暟琛ㄧず鐨勫舰寮忥紝鍗充竴涓嚱鏁扮殑鍌呴噷鍙剁骇鏁鍦ㄥ畠鏀舵暃浜庢鍑芥暟鏈韩鏃剁殑涓绉嶇О鍛笺傝嫢鍑芥暟f(x)鐨勫倕閲屽彾绾ф暟澶勫鏀舵暃浜巉(x)锛屽垯姝ょ骇鏁扮О涓篺(x)鐨勫倕閲屽彾灞曞紑寮忋傚倕閲屽彾灞曞紑寮忕郴鏁板叕寮忔槸a0=蟺骞虫柟/3锛屽倕閲屽彾灞曞紑寮(Fourierexpansion)鏄寚鐢ㄤ笁瑙掔骇鏁拌〃绀虹殑褰㈠紡锛屽嵆涓涓嚱鏁扮殑鍌呴噷...
绛旓細鍦ㄦ暟瀛︾殑濂囧涓栫晫涓紝鍛ㄦ湡鍑芥暟鐨鍌呴噷鍙剁骇鏁板睍寮濡傚悓涓鏇茬敱鏃犻檺涓拰璋愰煶绗︾粍鎴愮殑浜ゅ搷涔愩傛兂璞′竴涓嬶紝涓涓懆鏈熶负 T 鐨勫嚱鏁 f(x)锛屽畠鐨勭绉橀潰璨屽彲浠ラ氳繃Fourier鍒嗘瀽鎻ず銆傝繖涓垎鏋愮殑鍩虹煶锛屼究鏄 Euler-Fourier 鍏紡锛屽畠鍍忎竴鎶婇挜鍖欙紝涓烘垜浠彮绀轰簡鍑芥暟鐨勫唴鍦ㄩ鐜囩粍鎴愩侳ourier绯绘暟鐨勬帰绱 璁╂垜浠厛鏉ュ畾涔夎繖涓叧閿...
绛旓細杩欐牱锛屽嚱鏁 f(x) 灞曞紑鎴 Fourier 绾ф暟 f(x) ~ a(0)/2 + 鈭憑n>=1}a(n)cos(nx) + b(n)sin(nx) = 鈥︹︼紝0<x<2蟺 涓旇绾ф暟鐨鍜屽嚱鏁帮紙鍏堝仛鍥撅紝鍙互鐪嬪埌寤舵嫇鍚庣殑鍑芥暟鍦ㄩ櫎 x=0 鍜 x=2蟺 澶栫殑鐐规槸澶勫杩炵画鐨勶級涓 S(x) = [f(x-0)+f(x+0)]/2 = 蟺-x锛0<x<2蟺锛...
绛旓細闇瑕佹敞鎰忕殑鏄紝鍌呴噷鍙剁骇鏁板彧閫傜敤浜庡懆鏈熷嚱鏁帮紝鍥犳鍦ㄤ娇鐢ㄨ繖涓叕寮忔椂闇瑕佺‘淇濇墍澶勭悊鐨勫嚱鏁版槸鍛ㄦ湡鍑芥暟銆傛澶栵紝鍌呴噷鍙剁骇鏁扮殑灞曞紑绯绘暟an鍜宐n鐨勮绠椾篃闇瑕佹牴鎹叿浣撴儏鍐佃繘琛岃绠椼傚倕閲屽彾绾ф暟鏄竴绉嶅皢鍛ㄦ湡鍑芥暟琛ㄧず涓烘棤绌风骇鏁扮殑鏂规硶锛屽叿鏈夊箍娉涚殑搴旂敤浠峰笺傞氳繃浣跨敤鍌呴噷鍙剁骇鏁帮紝鎴戜滑鍙互鏇存柟渚垮湴鍒嗘瀽鍜岀悊瑙ｅ嚱鏁扮殑鎬ц川锛...
绛旓細绠鍗曡绠椾竴涓嬪嵆鍙紝绛旀濡傚浘鎵绀
绛旓細鍌呴噷鍙剁骇鏁版槸涓绉嶅睍寮鍑芥暟鐨勬柟娉曪紝閫傜敤浜庡叿鏈夐傚綋鐨勫懆鏈熸ц川鐨勫嚱鏁般傚湪甯屽皵浼壒绌洪棿涓紝鍌呴噷鍙剁骇鏁扮殑姒傚康鍙互鎺ㄥ箍鍒扮壒瀹氱殑鍑芥暟绫伙紝濡傚钩鏂瑰彲绉嚱鏁般傛牴鎹珮鏂-缁寸撼瀹氱悊锛屽浜庡钩鏂瑰彲绉嚱鏁癴锛坱锛夋潵璇达紝濡傛灉f锛坱锛夌殑娉㈠舰鏄繛缁殑骞朵笖娌℃湁灏栫偣锛岄偅涔堝彲浠ュ皢f(t)灞曟垚鍌呴噷鍙剁骇鏁般鍌呴噷鍙剁骇鏁扮殑灞曞紑浣跨敤涓缁...
绛旓細瀵逛簬涓涓繛缁椂闂寸殑鍛ㄦ湡鍑芥暟f(x)锛屽彲浠ョ敤涓夎鍑芥暟鐨勭骇鏁板睍寮琛ㄧず锛氬叾涓璦n鍜宐n鏄郴鏁帮紝鍙互閫氳繃鍑芥暟)f(x)姹傚緱銆傝繖绉嶅睍寮鏂瑰紡绉颁负涓夎绾ф暟灞曞紑銆傛垜浠繕鍙互灏嗕笁瑙掑嚱鏁板啓鎴愬鎸囨暟褰㈠紡锛氬皢鍏朵唬鍏ヤ笂寮忓緱鍒帮細鍏朵腑锛歝n灏辨槸f(x)鐨勫倕閲屽彾绯绘暟锛屽弽杩囨潵锛鍌呴噷鍙剁骇鏁板睍寮寮忓彲浠ュ啓涓猴細杩欐牱锛屾垜浠氨寰楀埌浜嗗倕閲屽彾...
绛旓細鍒欑О涓哄璋愬嚱鏁版垨鍗婃尝瀵圭О鍑芥暟锛岃繖绫诲嚱鏁扮殑鍌呴噷鍙剁骇鏁板睍寮寮忎腑鍙惈鏈夋寮﹀拰浣欏鸡椤圭殑濂囨璋愭尝鍒嗛噺銆2銆佸伓璋愬嚱鏁 鑻ュ懆鏈熶俊鍙锋尝褰㈡部鏃堕棿杞村钩绉诲崐涓懆鏈熷悗涓庡師娉㈠舰瀹屽叏閲嶅彔锛屽嵆婊¤冻锛歠(t)=f(t+T/2)鍒欎负鍋惰皭鍑芥暟鎴栧崐鍛ㄦ湡閲嶅彔鍑芥暟锛屽叾鍌呴噷鍙剁骇鏁板睍寮寮忎腑鍙惈鏈夋寮﹀拰浣欏鸡娉㈢殑鍋舵璋愭尝鍒嗛噺銆
