sin²πx在0到1上的定积分 求sin²x在0到π的定积分
\u7b54\u6848\u4e2d\u6709\u4e00\u6b65\u5173\u4e8exsin²x\u57280\u5230\u03c0\u4e0a\u7684\u5b9a\u79ef\u5206\u770b\u4e0d\u61c2\u5b9a\u79ef\u5206\u503c= -\u03c0/3 +\u03c0= 2\u03c0/3\u3002
\u89e3\u9898\u8fc7\u7a0b\u5982\u4e0b\uff1a
\u222bx *(sinx)^3 dx
=-\u222b x *(sinx)^2 d(cosx)
= \u222b x *(cosx)^2 -x d(cosx)
\u800c\u663e\u7136
\u222b x *(cosx)^2 d(cosx)
=1/3 *\u222b x d(cosx)^3
= x/3 *(cosx)^3 -\u222b1/3 *(cosx)^3dx
= x/3 *(cosx)^3 -\u222b1/3 *(cosx)^2 d(sinx)
= x/3 *(cosx)^3 -\u222b1/3 -(sinx)^2 /3 d(sinx)
= x/3 *(cosx)^3 -1/3 *sinx +1/9 *(sinx)^3
\u222b-x d(cosx)
= -x *cosx +\u222bcosx dx
= -x *cosx +sinx
\u4e8c\u8005\u76f8\u52a0\u5f97\u5230
\u222bx *(sinx)^3 dx
= x/3 *(cosx)^3 +2/3 *sinx +1/9 *(sinx)^3 -x *cosx
\u4ee3\u5165\u4e0a\u4e0b\u9650\u03c0\u548c0\uff0c
\u5b9a\u79ef\u5206\u503c= -\u03c0/3 +\u03c0= 2\u03c0/3
\u4e0d\u5b9a\u79ef\u5206\u7684\u516c\u5f0f
1\u3001\u222b a dx = ax + C\uff0ca\u548cC\u90fd\u662f\u5e38\u6570
2\u3001\u222b x^a dx = [x^(a + 1)]/(a + 1) + C\uff0c\u5176\u4e2da\u4e3a\u5e38\u6570\u4e14 a \u2260 -1
3\u3001\u222b 1/x dx = ln|x| + C
4\u3001\u222b a^x dx = (1/lna)a^x + C\uff0c\u5176\u4e2da > 0 \u4e14 a \u2260 1
5\u3001\u222b e^x dx = e^x + C
6\u3001\u222b cosx dx = sinx + C
7\u3001\u222b sinx dx = - cosx + C
8\u3001\u222b cotx dx = ln|sinx| + C = - ln|cscx| + C
\u222b(0\uff0c\u03c0)sin²xdx
=\u222b(0\uff0c\u03c0)[1-cos(2x)]/2 dx
=\u222b(0\uff0c\u03c0)[1-cos(2x)]/4 d(2x)
=(1/4)\u222b(0\uff0c\u03c0)[1-cos(2x)]d(2x)
=(1/4) [2x-sin(2x)/2] |(0\uff0c\u03c0)
=(1/4)[2\u03c0-sin(2\u03c0)/2-2\u00d70-sin(0)/2]
=(1/4)(2\u03c0)
=\u03c0/2
\u63d0\u793a\uff1a\u5229\u7528\u4e09\u89d2\u51fd\u6570\u516c\u5f0fcos(2x)=1-2sin²x\uff0c\u518d\u5c06d(x)\u6362\u6210(1/2)d(2x)\uff0c\u5269\u4e0b\u7684\u5c31\u597d\u529e\u4e86\u3002
具体回答如下：
∫(0,1)sin²xdx
=∫(0,1)[1-cos(2x)]/2 dx
=∫(0,1)[1-cos(2x)]/4 d(2x)
=(1/4)∫(0,1)[1-cos(2x)]d(2x)
=(1/4) [2x-sin(2x)/2] |(0,1)
=(1/4)[2π-sin(2)/2-2×0-sin(0)/2]
=(1/4)(2)
=1/2
定积分的意义：
定积分是把函数在某个区间上的图象[a,b]分成n份，用平行于y轴的直线把其分割成无数个矩形，再求当n→+∞时所有这些矩形面积的和。习惯上，我们用等差级数分点，即相邻两端点的间距
习惯上，我们用等差级数分点，即相邻两端点的间距是相等的。但是必须指出，即使不相等，积分值仍然相同。
具体回答如下：
∫(0,1)sin²xdx
=∫(0,1)[1-cos(2x)]/2 dx
=∫(0,1)[1-cos(2x)]/4 d(2x)
=(1/4)∫(0,1)[1-cos(2x)]d(2x)
=(1/4) [2x-sin(2x)/2] |(0,1)
=(1/4)[2π-sin(2)/2-2×0-sin(0)/2]
=(1/4)(2)
=1/2
定积分定义：
设函数f(x) 在区间[a,b]上连续，将区间[a,b]分成n个子区间[x0,x1], (x1,x2], (x2,x3], …, (xn-1,xn]，其中x0=a，xn=b。
可知各区间的长度依次是：△x1=x1-x0，在每个子区间(xi-1,xi]中任取一点ξi（1,2,...,n），作和式 。该和式叫做积分和，设λ=max{△x1, △x2, …, △xn}（即λ是最大的区间长度）。
如果当λ→0时，积分和的极限存在，则这个极限叫做函数f(x) 在区间[a,b]的定积分，记为 ，并称函数f(x)在区间[a,b]上可积。
其中：a叫做积分下限，b叫做积分上限，区间[a, b]叫做积分区间，函数f(x)叫做被积函数，x叫做积分变量，f(x)dx 叫做被积表达式，∫ 叫做积分号。
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