什么是分解因式?该怎么写? 什么是分解因式?可以给我举个例子,写在纸上嘛?

\u4ec0\u4e48\u53eb\u56e0\u5f0f\u5206\u89e3?\u5206\u89e3\u56e0\u5f0f\u7684\u65b9\u6cd5\u6709\u54ea\u4e9b?

\u628a\u4e00\u4e2a\u591a\u9879\u5f0f\u5316\u4e3a\u51e0\u4e2a\u6700\u7b80\u6574\u5f0f\u7684\u4e58\u79ef\u7684\u5f62\u5f0f\uff0c\u8fd9\u79cd\u53d8\u5f62\u53eb\u505a\u628a\u8fd9\u4e2a\u56e0\u5f0f\u5206\u89e3\uff08\u4e5f\u53eb\u4f5c\u5206\u89e3\u56e0\u5f0f\uff09\u3002\u5b83\u662f\u4e2d\u5b66\u6570\u5b66\u4e2d\u6700\u91cd\u8981\u7684\u6052\u7b49\u53d8\u5f62\u4e4b\u4e00\uff0c\u5b83\u88ab\u5e7f\u6cdb\u5730\u5e94\u7528\u4e8e\u521d\u7b49\u6570\u5b66\u4e4b\u4e2d\uff0c\u662f\u6211\u4eec\u89e3\u51b3\u8bb8\u591a\u6570\u5b66\u95ee\u9898\u7684\u6709\u529b\u5de5\u5177\u3002
\u56e0\u5f0f\u5206\u89e3\u65b9\u6cd5\u7075\u6d3b\uff0c\u6280\u5de7\u6027\u5f3a\uff0c\u5b66\u4e60\u8fd9\u4e9b\u65b9\u6cd5\u4e0e\u6280\u5de7\uff0c\u4e0d\u4ec5\u662f\u638c\u63e1\u56e0\u5f0f\u5206\u89e3\u5185\u5bb9\u6240\u5fc5\u9700\u7684\uff0c\u800c\u4e14\u5bf9\u4e8e\u57f9\u517b\u5b66\u751f\u7684\u89e3\u9898\u6280\u80fd\uff0c\u53d1\u5c55\u5b66\u751f\u7684\u601d\u7ef4\u80fd\u529b\uff0c\u90fd\u6709\u7740\u5341\u5206\u72ec\u7279\u7684\u4f5c\u7528\u3002
\u5b9a\u4e49\uff1a\u628a\u4e00\u4e2a\u591a\u9879\u5f0f\u5316\u4e3a\u51e0\u4e2a\u6700\u7b80\u6574\u5f0f\u7684\u4e58\u79ef\u7684\u5f62\u5f0f\uff0c\u8fd9\u79cd\u53d8\u5f62\u53eb\u505a\u628a\u8fd9\u4e2a\u591a\u9879\u5f0f\u56e0\u5f0f\u5206\u89e3\uff08\u4e5f\u53eb\u4f5c\u5206\u89e3\u56e0\u5f0f\uff09\u3002
\u610f\u4e49\uff1a\u5b83\u662f\u4e2d\u5b66\u6570\u5b66\u4e2d\u6700\u91cd\u8981\u7684\u6052\u7b49\u53d8\u5f62\u4e4b\u4e00\uff0c\u5b83\u88ab\u5e7f\u6cdb\u5730\u5e94\u7528\u4e8e\u521d\u7b49\u6570\u5b66\u4e4b\u4e2d\uff0c\u662f\u6211\u4eec\u89e3\u51b3\u8bb8\u591a\u6570\u5b66\u95ee\u9898\u7684\u6709\u529b\u5de5\u5177\u3002\u56e0\u5f0f\u5206\u89e3\u65b9\u6cd5\u7075\u6d3b\uff0c\u6280\u5de7\u6027\u5f3a\uff0c\u5b66\u4e60\u8fd9\u4e9b\u65b9\u6cd5\u4e0e\u6280\u5de7\uff0c\u4e0d\u4ec5\u662f\u638c\u63e1\u56e0\u5f0f\u5206\u89e3\u5185\u5bb9\u6240\u5fc5\u9700\u7684\u3002
\u800c\u4e14\u5bf9\u4e8e\u57f9\u517b\u5b66\u751f\u7684\u89e3\u9898\u6280\u80fd\uff0c\u53d1\u5c55\u5b66\u751f\u7684\u601d\u7ef4\u80fd\u529b\uff0c\u90fd\u6709\u7740\u5341\u5206\u72ec\u7279\u7684\u4f5c\u7528\u3002\u5b66\u4e60\u5b83\uff0c\u65e2\u53ef\u4ee5\u590d\u4e60\u6574\u5f0f\u7684\u56db\u5219\u8fd0\u7b97\uff0c\u53c8\u4e3a\u5b66\u4e60\u5206\u5f0f\u6253\u597d\u57fa\u7840\uff1b\u5b66\u597d\u5b83\uff0c\u65e2\u53ef\u4ee5\u57f9\u517b\u5b66\u751f\u7684\u89c2\u5bdf\u3001\u601d\u7ef4\u53d1\u5c55\u6027\u3001\u8fd0\u7b97\u80fd\u529b\uff0c\u53c8\u53ef\u4ee5\u63d0\u9ad8\u5b66\u751f\u7efc\u5408\u5206\u6790\u548c\u89e3\u51b3\u95ee\u9898\u7684\u80fd\u529b\u3002
\u5206\u89e3\u56e0\u5f0f\u4e0e\u6574\u5f0f\u4e58\u6cd5\u4e92\u9006\u3002
\u540c\u65f6\u4e5f\u662f\u89e3\u4e00\u5143\u4e8c\u6b21\u65b9\u7a0b\u4e2d\u56e0\u5f0f\u5206\u89e3\u6cd5\u7684\u91cd\u8981\u6b65\u9aa4\u3002

\u6269\u5c55\u8d44\u6599

\u5404\u9879\u90fd\u542b\u6709\u7684\u516c\u5171\u7684\u56e0\u5f0f\u53eb\u505a\u8fd9\u4e2a\u591a\u9879\u5f0f\u5404\u9879\u7684\u516c\u56e0\u5f0f\uff0c\u516c\u56e0\u5f0f\u53ef\u4ee5\u662f\u5355\u9879\u5f0f\uff0c\u4e5f\u53ef\u4ee5\u662f\u591a\u9879\u5f0f\u3002
\u5982\u679c\u4e00\u4e2a\u591a\u9879\u5f0f\u7684\u5404\u9879\u6709\u516c\u56e0\u5f0f\uff0c\u53ef\u4ee5\u628a\u8fd9\u4e2a\u516c\u56e0\u5f0f\u63d0\u51fa\u6765\uff0c\u4ece\u800c\u5c06\u591a\u9879\u5f0f\u5316\u6210\u4e24\u4e2a\u56e0\u5f0f\u4e58\u79ef\u7684\u5f62\u5f0f\uff0c\u8fd9\u79cd\u5206\u89e3\u56e0\u5f0f\u7684\u65b9\u6cd5\u53eb \u505a\u63d0\u53d6\u516c\u56e0\u5f0f\u5206\u89e3\u56e0\u5f0f\u3002
\u5177\u4f53\u65b9\u6cd5\uff1a\u5f53\u5404\u9879\u7cfb\u6570\u90fd\u662f\u6574\u6570\u65f6\uff0c\u516c\u56e0\u5f0f\u7684\u7cfb\u6570\u5e94\u53d6\u5404\u9879\u7cfb\u6570\u7684\u6700\u5927\u516c\u7ea6\u6570\uff1b\u5b57\u6bcd\u53d6\u5404\u9879\u7684\u76f8\u540c\u7684\u5b57\u6bcd\uff0c\u800c\u4e14\u5404\u5b57\u6bcd\u7684\u6307\u6570\u53d6\u6b21\u6570\u6700\u4f4e\u7684\u3002
\u5f53\u5404\u9879\u7684\u7cfb\u6570\u6709\u5206\u6570\u65f6\uff0c\u516c\u56e0\u5f0f\u7cfb\u6570\u4e3a\u5404\u5206\u6570\u7684\u6700\u5927\u516c\u7ea6\u6570\u3002\u5982\u679c\u591a\u9879\u5f0f\u7684\u7b2c\u4e00\u9879\u662f\u8d1f\u7684\uff0c\u4e00\u822c\u8981\u63d0\u51fa\u201c-\u201d\u53f7\uff0c\u4f7f\u62ec\u53f7\u5185\u7684\u7b2c\u4e00\u9879\u7684\u7cfb\u6570\u6210\u4e3a\u6b63\u6570\u3002\u63d0\u51fa\u201c-\u201d\u53f7\u65f6\uff0c\u591a\u9879\u5f0f\u7684\u5404\u9879\u90fd\u8981\u53d8\u53f7\u3002
\u53e3\u8bc0\uff1a\u627e\u51c6\u516c\u56e0\u5f0f\uff0c\u4e00\u6b21\u8981\u63d0\u5c3d\uff1b\u5168\u5bb6\u90fd\u642c\u8d70\uff0c\u75591\u628a\u5bb6\u5b88\uff1b\u63d0\u8d1f\u8981\u53d8\u53f7\uff0c\u53d8\u5f62\u770b\u5947\u5076\u3002
\u53c2\u8003\u8d44\u6599\uff1a\u56e0\u5f0f\u5206\u89e3\u7684\u767e\u5ea6\u767e\u79d1

\u5206\u89e3\u56e0\u5f0f\u5c31\u662f\u5c06\u4e00\u4e2a\u591a\u9879\u5f0f\u5206\u89e3\u6210\u51e0\u4e2a\u5355\u56e0\u5f0f\u7684\u4e58\u79ef
\u6bd4\u5982\uff1aa^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)
a^2-b^2=(a+b)(a-b)

因式分解,也叫分解因式,
因式分解,是主谓短语,
分解因式,是动宾短语,
就是把多项式,变成一个个式子相乘的形式;

如果需要示意图,就看看汉字 “目”、“月” 和 “朋”、“用”,
“月” 和 “目” 就是长为 3,宽分别是 a、b 的两个长方形,
写成 3a + 3b 像 “朋” 就是一个两项式,
如果 “月” 和 “目” 拼成一个 “用”,就是 3(a + b) 的一个长方形,
把 3a + 3b 两项相加的式子变成 3(a+b) 乘积的式子,就是因式分解。

分解因式,也正如分解质因数,
分解质因数,是要把整数变成一个个质数的乘积,在因数中去掉合数;
分解因式,就是把整式变成一个个因式的乘积,尽量降低各个因式的次数,

具体方法,
第一步,提取公因式,
这也是最简单的方法,
公因式不仅有:系数、字母、单项式(这些我们都熟悉了),
而且,公因式还可能是一个式子,
例如 (a + b)(3m + 2n) + (2m + 3n)(a + b),公因式是 (a+b)
原式 = ( a + b )( 3m + 2n + 2m + 3n )
= ( a + b )( 5m + 5n ) ——这样再提取系数 5
= 5( a + b )( m + n )

第二步,公式法,
就是把整式乘法的公式倒过来用,
a" - b" = (a - b)(a + b) ——平方差,
a" + 2ab + b" = (a + b)" ——完全平方和,
a" - 2ab + b" = ( a - b )" ——完全平方差,
a"' + b"' = (a + b)(a" - ab + b") ——立方和,
a"' - b"' = ( a - b )(a" + ab + b") ——立方差,
熟悉公式,熟悉平方数、立方数是关键,

【平方差】还有两个完全平方相减的式子,
例如 9( x + y )" - 4( x + y - 1 )"
= [ 3(x + y) - 2(x + y - 1) ][ 3(x + y) + 2(x + y - 1) ]
= ( 3x + 3y - 2x - 2y + 2 )( 3x + 3y + 2x + 2y - 2 )
= ( x + y + 2 )( 5x + 5y - 2 )

【完全平方式】应该注意
( a - b )"
= [ - ( b - a ) ]" = ( b - a )"
= a" - 2ab + b" = b" - 2ab + a"
而且
( a - b )" = [ a + ( - b ) ]"
= a" - 2ab + b" = a" + 2a(-b) + (-b)"
公式或许就只有一个
( a + b )" = a" + 2ab + b"

【立方和、立方差】
原来两个三次项,分解因式变成五个项,
两个是一次项、三个是二次项,
a"' + b"' = ( a + b )( a" - ab + b" )
a"' - b"' = ( a - b )( a" + ab + b" )

我们看看特征,
两个一次项 a 和 b,正负与原来的三次项 a"' 和 b"' 一样;
三个二次项,除了中间项 ab 与一次项相反,其余 a" + b" 都是平方和。
或者,
立方和,分解因式的五个项,只有 ab 是减,其余全都是加;
立方差,除了一次项的因式是减,二次项的因式就全都是加。

为了熟悉公式,我们也应该取简单的数字算一算,
2"' - 1"' = 8 - 1
= 7 = 1 X 7
= ( 2 - 1 )( 4 + 2 + 1 )
= ( 2 - 1 )( 2" + 2 + 1 )
相信我们都知道,分解因式是这五个项,
相对困难就是正负符号,不知怎样确定,
这样只要算一算,就能够帮助自己确定符号了。

第三步,二次三项式,
我建议,十字相乘法,结合分组分解法一同使用,
正如 x" + (a + b)x + ab = ( x + a )( x + b )
把单项式 mx = (a+b)x ,拆开变成 ax + bx ,
就能够分组提公因式进行分解。

【】关键是看常数项的正负,决定一次项怎样一分为二,
常数项不变,只是一次项变成相反数,一次项一分为二的绝对值就不变;
一次项不变,只要常数项变成相反数,一次项就要改变一分为二的方式;

前面已经说过,完全平方,b" 必然都是 +b",
x" + 10x + 25 = ( x + 5 )"
x" - 10x + 25 = ( x - 5 )"
再看看 x" ± 10x ± 24,分解因式 4 种情况都有,

【】如果常数项是正数,
一次项就是拆开两个绝对值比原来小的两个项;
x" + 10x + 24
= x" + 4x + 6x + 24
= x( x + 4 ) + 6( x + 4 )
= ( x + 4 )( x + 6 )

常数项 +24 不变,一次项 ±10x 就都是拆开 4x 与 6x 的和,
x" - 10x + 24
= x" - 4x - 6x + 24
= x( x - 4 ) - 6( x - 4 )
= ( x - 4 )( x - 6 )

【】如果常数项是负数,
一次项系数就是分开两个项的相差数;
x" - 10x - 24
= x" - 12x + 2x - 24
= x( x - 12 ) + 2( x - 12 )
= ( x - 12 )( x + 2 )

常数项 -24 不变,一次项 ±10x 就都是拆开 12x 与 2x 的相差数,
x" + 10x - 24
= x" + 12x - 2x - 24
= x( x + 12 ) - 2( x + 12 )
= ( x + 12 )( x - 2 )

【】二次三项式,分解因式,
这样也是技巧、窍门,
关键就看 c 与 a 的正负,
只要熟悉这个方法,
x" + bx + c,
ax" + bx + c,
ax" + bxy + cy",
我们都同样做得方便。

最后,就要检验,
确保分解彻底,因式分解变形正确,
例如 x^6 - y^6,应该
= ( x"' - y'" )( x"' + y"' )
= ( x - y )( x + y )( x" - xy + y" )( x" + xy + y" )
相当于 64 - 1,
= ( 8 - 1 )( 8 + 1 )
= ( 2 - 1 )( 4 + 2 + 1 )( 2 + 1 )( 4 - 2 + 1 )
= 1 X 7 X 3 X 3
如果先用立方差,做成
= ( 4 - 1 )( 4" + 4 + 1 )
= ( 2 - 1 )( 2 + 1 )( 16 + 4 + 1 )
= 1 X 3 X 21
就还有 21 不是质因数,分解不彻底,也就不正确了。

正如现在的平方差,有两个完全平方式相减,
现在要求分解的式子都比较复杂,要想还原就不方便了,
各种类型的式子,我们就都要熟悉两三种解答方式,
看看不同的方式方法是不是同一个结果,
这样才能够相互检验,确保解答正确。

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