高等数学定积分奇偶性，计算 高数，运用函数的奇偶性计算定积分
\u6570\u5b66\uff0c\u9ad8\u7b49\u6570\u5b66\uff0c\u7528\u5947\u5076\u6027\u6c42\u5b9a\u79ef\u5206\u3002\u3002\u3002\u5f0f\u5b50\u53ef\u4ee5\u5206\u6210\u4e24\u4e2a\u90e8\u5206\uff0c\u7136\u540e\u5206\u522b\u8003\u5bdf\u5947\u5076\u6027\u548c\u51e0\u4f55\u610f\u4e49\u3002
i=\u222bxdx
-
\u222b\u221a
dx
=0
-
\u03c0*2²/2
=-2\u03c0
\u222bxdx
\u88ab\u79ef\u51fd\u6570\u4e3a\u5947\u51fd\u6570\uff0c\u5bf9\u79f0\u533a\u95f4\u4e0a\u5b9a\u79ef\u5206\u4e3a0\uff1b
\u222b\u221a
dx
\u53ef\u4ee5\u770b\u505a\u662f\u4e0a\u534a\u5706
x²+y²=4\u7684\u9762\u79ef.
\u8ddf\u5b9a\u79ef\u5206\u539f\u7406\u4e00\u6837
\u5728[-a,a]\u4e0a
\u82e5f(x)\u4e3a\u5947\u51fd\u6570\uff0cf(-x)=-f(x)
\u222b(-a,a) f(x) dx\uff0c\u4ee4x=-u
=\u222b(a,-a) f(-u)*(-du)
=\u222b(-a,a) f(-u) du
=\u222b(-a,a) -f(u) du
=-\u222b(-a,a) f(x) dx\uff0c\u79fb\u9879\u5f97
\u222b(-a,a) f(x) dx=0
\u540c\u7406\u222b(-a,a) f(x) dx = 2\u222b(0,a) f(x) dx\u82e5f(x)\u4e3a\u5076\u51fd\u6570
\u81f3\u4e8e\u4e8c\u91cd\u79ef\u5206
\u82e5D\u5173\u4e8ex\u8f74\u548cy\u8f74\u90fd\u662f\u5bf9\u79f0\u7684
\u800c\u4e14\u88ab\u79ef\u51fd\u6570\u662f\u5173\u4e8ex\u6216y\u662f\u5947\u51fd\u6570\u7684\u8bdd\uff0c\u7ed3\u679c\u4e00\u6837\u662f0
\u4f8b\u5982D\u4e3ax^2+y^2=1
\u5219x\uff0cx^3\uff0cxy\uff0cxy^3\uff0cy^5\uff0cx^3y^3\u7b49\u7b49\u7684\u7ed3\u679c\u90fd\u662f0
\u4e0d\u8981\u4ee5\u4e3axy\u548cx^3y^3\u662f\u5076\u51fd\u6570\uff0c\u5947\u5076\u6027\u662f\u5bf9\u5355\u4e00\u81ea\u53d8\u91cf\u6709\u6548\u7684
\u8ba1\u7b97x\u65f6\u628ay\u5f53\u4f5c\u5e38\u6570\uff0c\u6240\u4ee5\u5bf9x\u7684\u79ef\u5206\u7ed3\u679c\u662f0\u65f6\uff0c\u518d\u6ca1\u5fc5\u8981\u5bf9y\u79ef\u5206\u4e86
x是奇函数，积分为0
所以
原式=2∫(0,2)-√(4-x²)dx （几何意义，4分之1圆的面积）
=-2×π×2²÷4
=-2π
或：
式子可以分成两个部分，分别考察奇偶性和几何意义。
I=∫xdx - ∫√ dx
=0 - π*2²/2
=-2π
∫xdx 被积函数为奇函数，对称区间上定积分为0；
∫√ dx 可以看做是上半圆 x²+y²=4的面积.
扩展资料：
定积分是把函数在某个区间上的图象[a,b]分成n份，用平行于y轴的直线把其分割成无数个矩形，再求当n→+∞时所有这些矩形面积的和。
用黎曼自己的话来说，就是把直角坐标系上的函数的图象用平行于y轴的直线把其分割成无数个矩形，然后把某个区间[a,b]上的矩形累加起来，所得到的就是这个函数的图象在区间[a,b]的面积。实际上，定积分的上下限就是区间的两个端点a,b。
参考资料来源：百度百科-定积分
跟定积分原理一样
在[-a,a]上
若f(x)为奇函数，f(-x)=-f(x)
∫(-a,a) f(x) dx，令x=-u
=∫(a,-a) f(-u)*(-du)
=∫(-a,a) f(-u) du
=∫(-a,a) -f(u) du
=-∫(-a,a) f(x) dx，移项得
∫(-a,a) f(x) dx=0
同理∫(-a,a) f(x) dx = 2∫(0,a) f(x) dx若f(x)为偶函数
至于二重积分
若D关于x轴和y轴都是对称的
而且被积函数是关于x或y是奇函数的话，结果一样是0
例如D为x^2+y^2=1
则x，x^3，xy，xy^3，y^5，x^3y^3等等的结果都是0
不要以为xy和x^3y^3是偶函数，奇偶性是对单一自变量有效的
计算x时把y当作常数，所以对x的积分结果是0时，再没必要对y积分了
式子可以分成两个部分，然后分别考察奇偶性和几何意义。
I=∫xdx - ∫√ dx
=0 - π*2²/2
=-2π
∫xdx 被积函数为奇函数，对称区间上定积分为0；
∫√ dx 可以看做是上半圆 x²+y²=4的面积.
x是奇函数，积分为0
所以
原式=2∫(0,2)-√(4-x²)dx （几何意义，4分之1圆的面积）
=-2×π×2²÷4
=-2π
看被积函数，x为奇函数所以定积分为0。后面的为偶函数正常算就好了
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