高数，运用函数的奇偶性计算定积分 高等数学定积分奇偶性，计算

\u5927\u4e00\u9ad8\u6570\u5b9a\u79ef\u5206 \u5229\u7528\u51fd\u6570\u7684\u5947\u5076\u6027\u8ba1\u7b97\u4e0b\u5217\u5b9a\u79ef\u5206

\uff081\uff09\u2235\u66f2\u7ebfC1\u7684\u6781\u5750\u6807\u65b9\u7a0b\u4e3a\u03c1\uff082cos\u03b8+5sin\u03b8\uff09-4=0\uff0c\u53732\u03c1cos\u03b8+5\u03c1sin\u03b8-4=0\uff0c
\u2234\u66f2\u7ebfC1\u7684\u666e\u901a\u65b9\u7a0b\u4e3a2x+5y-4=0\uff0c
\u2235\u66f2\u7ebfC2\u7684\u53c2\u6570\u65b9\u7a0b\u4e3a
x\uff1d2cos\u03b8y\uff1d2sin\u03b8
\uff08\u03b8\u4e3a\u53c2\u6570\uff09\uff0c
\u2234\u66f2\u7ebfC2\u7684\u666e\u901a\u65b9\u7a0b\u4e3ax2+y2=4\uff0c
\u6545\u66f2\u7ebfC1\u548c\u66f2\u7ebfC2\u7684\u666e\u901a\u65b9\u7a0b\u5206\u522b\u4e3a2x+5y-4=0\uff0cx2+y2=4\uff1b
\uff082\uff09\u7531\uff081\uff09\u53ef\u77e5\uff0c\u66f2\u7ebfC1\u662f\u65b9\u7a0b\u4e3a2x+5y-4=0\u7684\u76f4\u7ebf\uff0c\u66f2\u7ebfC2\u662f\u65b9\u7a0b\u4e3ax2+y2=4\u7684\u5706\uff0c
\u66f2\u7ebfC2\u7684\u5706\u5fc3\u662f\uff080\uff0c0\uff09\uff0c\u534a\u5f84\u662fr=2\uff0c

x\u662f\u5947\u51fd\u6570\uff0c\u79ef\u5206\u4e3a0
\u6240\u4ee5
\u539f\u5f0f=2\u222b(0,2)-\u221a(4-x²)dx \uff08\u51e0\u4f55\u610f\u4e49\uff0c4\u5206\u4e4b1\u5706\u7684\u9762\u79ef\uff09
=-2\u00d7\u03c0\u00d72²\u00f74
=-2\u03c0
\u6216\uff1a
\u5f0f\u5b50\u53ef\u4ee5\u5206\u6210\u4e24\u4e2a\u90e8\u5206\uff0c\u5206\u522b\u8003\u5bdf\u5947\u5076\u6027\u548c\u51e0\u4f55\u610f\u4e49\u3002
I=\u222bxdx - \u222b\u221a dx
=0 - \u03c0*2²/2
=-2\u03c0
\u222bxdx \u88ab\u79ef\u51fd\u6570\u4e3a\u5947\u51fd\u6570\uff0c\u5bf9\u79f0\u533a\u95f4\u4e0a\u5b9a\u79ef\u5206\u4e3a0\uff1b
\u222b\u221a dx \u53ef\u4ee5\u770b\u505a\u662f\u4e0a\u534a\u5706 x²+y²=4\u7684\u9762\u79ef.
\u6269\u5c55\u8d44\u6599\uff1a
\u5b9a\u79ef\u5206\u662f\u628a\u51fd\u6570\u5728\u67d0\u4e2a\u533a\u95f4\u4e0a\u7684\u56fe\u8c61[a,b]\u5206\u6210n\u4efd\uff0c\u7528\u5e73\u884c\u4e8ey\u8f74\u7684\u76f4\u7ebf\u628a\u5176\u5206\u5272\u6210\u65e0\u6570\u4e2a\u77e9\u5f62\uff0c\u518d\u6c42\u5f53n\u2192+\u221e\u65f6\u6240\u6709\u8fd9\u4e9b\u77e9\u5f62\u9762\u79ef\u7684\u548c\u3002
\u7528\u9ece\u66fc\u81ea\u5df1\u7684\u8bdd\u6765\u8bf4\uff0c\u5c31\u662f\u628a\u76f4\u89d2\u5750\u6807\u7cfb\u4e0a\u7684\u51fd\u6570\u7684\u56fe\u8c61\u7528\u5e73\u884c\u4e8ey\u8f74\u7684\u76f4\u7ebf\u628a\u5176\u5206\u5272\u6210\u65e0\u6570\u4e2a\u77e9\u5f62\uff0c\u7136\u540e\u628a\u67d0\u4e2a\u533a\u95f4[a,b]\u4e0a\u7684\u77e9\u5f62\u7d2f\u52a0\u8d77\u6765\uff0c\u6240\u5f97\u5230\u7684\u5c31\u662f\u8fd9\u4e2a\u51fd\u6570\u7684\u56fe\u8c61\u5728\u533a\u95f4[a,b]\u7684\u9762\u79ef\u3002\u5b9e\u9645\u4e0a\uff0c\u5b9a\u79ef\u5206\u7684\u4e0a\u4e0b\u9650\u5c31\u662f\u533a\u95f4\u7684\u4e24\u4e2a\u7aef\u70b9a,b\u3002
\u53c2\u8003\u8d44\u6599\u6765\u6e90\uff1a\u767e\u5ea6\u767e\u79d1-\u5b9a\u79ef\u5206

跟定积分原理一样
在[-a,a]上
若f(x)为奇函数，f(-x)=-f(x)
∫(-a,a) f(x) dx，令x=-u
=∫(a,-a) f(-u)*(-du)
=∫(-a,a) f(-u) du
=∫(-a,a) -f(u) du
=-∫(-a,a) f(x) dx，移项得
∫(-a,a) f(x) dx=0
同理∫(-a,a) f(x) dx = 2∫(0,a) f(x) dx若f(x)为偶函数

至于二重积分
若D关于x轴和y轴都是对称的
而且被积函数是关于x或y是奇函数的话，结果一样是0
例如D为x^2+y^2=1
则x，x^3，xy，xy^3，y^5，x^3y^3等等的结果都是0
不要以为xy和x^3y^3是偶函数，奇偶性是对单一自变量有效的
计算x时把y当作常数，所以对x的积分结果是0时，再没必要对y积分了

如图

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