1^3+2^3+3^3+……+n^3=1/4n^2(n+1)^2,用数学归纳法证明 1^3+2^3+3^3+...+n^3=?

\u6570\u5b66\u8bc1\u660e\u9898:1^3+2^3+3^3+\u2026\u2026+n^3=[n(n+1)/2]^2.\u6c42\u8be6\u7ec6\u8fc7\u7a0b.

1^3+2^3+3^3+\u2026\u2026+n^3=[n(n+1)/2]^2
\u8bc1\u660e\uff1a
\u5229\u7528\u7acb\u65b9\u5dee\u516c\u5f0f\uff1a
(n+1)^4-n^4=[(n+1)^2+n^2][(n+1)^2-n^2]
=(2n^2+2n+1)(2n+1)
=4n^3+6n^2+4n+1

2^4-1^4=4*1^3+6*1^2+4*1+1
3^4-2^4=4*2^3+6*2^2+4*2+1
4^4-3^4=4*3^3+6*3^2+4*3+1
......
(n+1)^4-n^4=4*n^3+6*n^2+4*n+1

\u5404\u5f0f\u76f8\u52a0\u6709
(n+1)^4-1=4*(1^3+2^3+3^3...+n^3)+6*(1^2+2^2+...+n^2)+4*(1+2+3+...+n)+n

4*(1^3+2^3+3^3+...+n^3)=(n+1)^4-1+6*[n(n+1)(2n+1)/6]+4*[(1+n)n/2]+n
=[n(n+1)]^2

1^3+2^3+...+n^3=[n(n+1)]^2/4

1^3+2^3+.....+n^3=n^2(n+1)^2/4=[n(n+1)/2]^2
\u63a8\u5bfc\u8fc7\u7a0b\uff1a
(n+1)^4-n^4=[(n+1)^2+n^2][(n+1)^2-n^2]
=(2n^2+2n+1)(2n+1)
=4n^3+6n^2+4n+1
2^4-1^4=4*1^3+6*1^2+4*1+1
3^4-2^4=4*2^3+6*2^2+4*2+1
4^4-3^4=4*3^3+6*3^2+4*3+1
......
(n+1)^4-n^4=4*n^3+6*n^2+4*n+1
\u5404\u5f0f\u76f8\u52a0\u6709
(n+1)^4-1=4*(1^3+2^3+3^3...+n^3)+6*(1^2+2^2+...+n^2)+4*(1+2+3+...+n)+n
4*(1^3+2^3+3^3+...+n^3)=(n+1)^4-1+6*[n(n+1)(2n+1)/6]+4*[(1+n)n/2]+n
=[n(n+1)]^2
1^3+2^3+...+n^3=[n(n+1)/2]^2

当n=1时，左边=1�0�6=1，右边=1�0�5（1+1）�0�5/4=1，左边=右边，所以等式成立；假设当n=k时，等式成立即1�0�6+2�0�6+3�0�6+…+k�0�6=k�0�5(k+1)�0�5/4；当n=k+1时，左边=1�0�6+2�0�6+3�0�6+…+k�0�6+（k+1)�0�6=k�0�5(k+1)�0�5/4+（k+1)�0�6=（k+1)�0�5[k�0�5+4（k+1)]/4=（k+1)�0�5（k+2)�0�5/4=（k+1)�0�5[(k+1)+1]�0�5/4，右边=（k+1)�0�5[(k+1)+1]�0�5/4，所以当n=k+1时，等式成立；所以综上所述，等式成立。

一般方法可以证明但是相当繁琐
证明如下:当n=1时，左边=1^3=1；右边=1/4n^2(n+1)^2=1/4*1^2(1+1)^2=1于是就有左边=1^3=1=右边=1/4n^2(n+1)^2=1/4*1^2(1+1)^2=1；当n=2时，左边=1^3+2^3=9；右边=1/4n^2(n+1)^2=1/4*2^2(2+1)^2=9；于是就有左边=1^3+2^3=9=右边=1/4*2^2(2+1)^2=9；当n=2时，左边=1^3+2^3+3^3=36；右边=1/4n^2(n+1)^2=1/4*3^2(3+1)^2=36；于是就有左边=1^3+2^3+3^3=36=右边=1/4*3^2(3+1)^2=36；假设n=k时，命题成立，那么就有1^3+2^3+3^3+……+k^3=1/4k^2(k+1)^2…………………………（n*）当n=k+1时就有，n+1相=1/4k^2(k+1)^2+（k+1）^3=1/4（k+1）^2【(k+1)+1】^2………………（n+1*）（n+1*）相和n*通过整理可以达到形式的一致行，即n＝k+1等式成立
(4)根据数学归纳法，对于n∈N，都有1^3+2^3+3^3+……+n^3=1/4n^2(n+1)^2

n^3-(n-1)^3=1*[n^2+(n-1)^2+n(n-1)]
=n^2+(n-1)^2+n^2-n
=2*n^2+(n-1)^2-n
2^3-1^3=2*2^2+1^2-2
3^3-2^3=2*3^2+2^2-3
4^3-3^3=2*4^2+3^2-4
......
n^3-(n-1)^3=2*n^2+(n-1)^2-n
各等式全相加
n^3-1^3=2*(2^2+3^2+...+n^2)+[1^2+2^2+...+(n-1)^2]-(2+3+4+...+n)
n^3-1=2*(1^2+2^2+3^2+...+n^2)-2+[1^2+2^2+...+(n-1)^2+n^2]-n^2-(2+3+4+...+n)
n^3-1=3*(1^2+2^2+3^2+...+n^2)-2-n^2-(1+2+3+...+n)+1
n^3-1=3(1^2+2^2+...+n^2)-1-n^2-n(n+1)/2
3(1^2+2^2+...+n^2)=n^3+n^2+n(n+1)/2=(n/2)(2n^2+2n+n+1)
=(n/2)(n+1)(2n+1)

1^3+2^3+3^3+……+n^3=[n(n+1)/2]^2
(n+1)^4-n^4=[(n+1)^2+n^2][(n+1)^2-n^2]
=(2n^2+2n+1)(2n+1)
=4n^3+6n^2+4n+1
2^4-1^4=4*1^3+6*1^2+4*1+1
3^4-2^4=4*2^3+6*2^2+4*2+1
4^4-3^4=4*3^3+6*3^2+4*3+1
......
(n+1)^4-n^4=4*n^3+6*n^2+4*n+1
各式相加有
(n+1)^4-1=4*(1^3+2^3+3^3...+n^3)+6*(1^2+2^2+...+n^2)+4*(1+2+3+...+n)+n
4*(1^3+2^3+3^3+...+n^3)=(n+1)^4-1+6*[n(n+1)(2n+1)/6]+4*[(1+n)n/2]+n
=[n(n+1)]^2
1^3+2^3+...+n^3=[n(n+1)/2]^2

1+2^3+3^3+鈥︹+100^3=
绛旓細绠鍗曞垎鏋愪竴涓嬶紝璇︽儏濡傚浘鎵绀

1^3+2^3+鈥+ n^3=?
绛旓細S3=1^3+2^3+3^3=36=6^2=(1+2+3)^2 S4=1^3+2^3+3^3+4^3=100=10^2=(1+2+3+4)^2 S5=1^3+2^3+3^3+4^3+5^3=15^2=(1+2+3+4+5)^2 鍋囪褰搉=k鏃讹紝鏈塖k=1^3+2^3+...+k^3=(1+2+...+k)^2 鍒欏綋n=(k+1)鏃讹紝S(k+1)=Sk+ak=(1+2+...+k)...

1+2+3...+N绛変簬澶氬皯?
绛旓細瑙ｉ杩囩▼锛1+2+3+4+5...+n =锛坣+1锛+锛2+n-1锛+锛3+n-2锛+鈥︹︼紙n/2+n/2+1锛夈愰灏剧浉鍔犮=锛坣+1锛塶/2銆愰灏剧浉鍔犲緱鍒扮殑鏁扮浉绛,姝ゆ椂鍏辨湁n/2涓粍鍚,鍥犳缁撴灉涓哄叾涔樼Н銆

1^2+2^2+3^2+鈥︹+n^2鎬庝箞绠,姹傝繃绋
绛旓細1^2+2^2+3^2+...+n^2=n(n+1)(2n+1)/6銆傝В棰樿繃绋嬪涓嬶細瑙ｏ細鍥犱负锛坣+1锛塣3=n^3+3n^2+3n+1 鍒欙紙n+1锛塣3-n^3=3n^2+3n+1 n^3-锛坣-1锛塣3=3锛坣-1锛塣2+3锛坣-1锛+1 ...3^3-2^3=3*2^3+3*2+1 2^3-1^3=3*1^3+3*1+1 鎶婄瓑寮忎袱杈瑰悓鏃舵眰鍜屽緱锛岋紙n+1...

1*1+2*2+3*3+4*4+...+n*n鎬庝箞绠
绛旓細缁撴灉涓猴細n(n+1)(2n+1)/6 瑙ｉ杩囩▼濡備笅锛

鐢ㄦ暟瀛﹀綊绾虫硶璇佹槑:1^3+2^3+3^3鈥︹+n^3=[(1/2)n(n+1)]^2 鎴戝彧鎯崇煡閬...
绛旓細n=k+1鏃讹紝1^3+2^3+3^3鈥︹+k^3+(k+1)^3=[(1/2)k(k+1)]^2+(k+1)^3 =(1/4)k^2(k+1)^2+(k+1)(k+1)^2=(1/4)(k^2+4k+4)(k+1)^2 =[(1/2)(k+1)(k+2)]^2

鏁板垪姹傚拰,1^2+2^2+鈥+n^2=?
绛旓細+ 3² + .+ n²=1^2+2^2+.+n^2 (n+1)^3-n^3 = 3n^2+3n+1 n^3-(n-1)^3 = 3(n-1)^2+3(n-1)+1 ... .. ... 2^3-1^3 = 3*1^2+3*1+1 =1^2+2^2+鈥︹+n^2 =(n^3+3n^2+3n)/3-n(n+1)/2-n/3 =n(n+1)(2n+1)/6 ...

3+3鐨勫钩鏂+3鐨勭珛鏂+鈥+3鐨2022娆℃柟鏈熬鏄嚑?
绛旓細9銆7銆1锛屽惊鐜簡505娆★紝鍏跺拰涓猴細锛3+9+7+1锛壝505=10100.3^2021鐨勬湯灏炬暟搴旇鏄3锛3^2022鐨勬湯灏炬暟搴旇鏄9锛3+9=12 3+3^2+3^3+3^4+路路路+3^2021+3^2022鐨勬湯灏炬暟鍜 =10100+12 =10112 鍗筹細3+3^2+3^3+3^4+路路路+3^2021+3^2022鐨勬湯灏炬暟鏄2....

鎬庝箞璇佹槑1^2+2^2+3^2+鈥︹+n^2鐨勬眰鍜屽叕寮?
绛旓細1^2+2^2+3^2+.+n^2=n(n+1)(2n+1)/6銆傝瘉鏄庤繃绋嬪涓嬶細n^2=n(n+1)-n 1^2+2^2+3^2+.+n^2 =1*2-1+2*3-2+.+n(n+1)-n =1*2+2*3+...+n(n+1)-(1+2+...+n)鐢变簬n(n+1)=[n(n+1)(n+2)-(n-1)n(n+1)]/3 鎵浠1*2+2*3+...+n(n+1)=[1*...

1^2+2^2+3^2+...+n^2=?鐨勫叕寮忔帹瀵
绛旓細瑙ｉ杩囩▼濡備笅锛

扩展阅读：外痔肉球1度2度3度图片 ... 中专3+3是直接升大专吗 ... 公办中专3+4学校有哪些 ... 多少分能上3+2学校 ... 中专3+3是什么学历 ... 高中分科3+1+2图解 ... 公办3+2专本连读学校 ... 3+2专升本有哪些学校 ... 3+2多少分能考上 ...