数列求和，1^2+2^2+…+n^2=？ 数列an=n/2^（n+1）求和再求极限
\u6570\u5217Sn=1^2+2^2+3^2+4^2+....n^2\u6c42\u548c\u5229\u7528\u7acb\u65b9\u5dee\u516c\u5f0f
n^3-(n-1)^3=1*[n^2+(n-1)^2+n(n-1)]
=n^2+(n-1)^2+n^2-n
=2*n^2+(n-1)^2-n
2^3-1^3=2*2^2+1^2-2
3^3-2^3=2*3^2+2^2-3
4^3-3^3=2*4^2+3^2-4
\u2026\u2026
n^3-(n-1)^3=2*n^2+(n-1)^2-n
\u5404\u7b49\u5f0f\u5168\u76f8\u52a0
n^3-1^3=2*(2^2+3^2+...+n^2)+[1^2+2^2+...+(n-1)^2]-(2+3+4+...+n)
n^3-1=2*(1^2+2^2+3^2+...+n^2)-2+[1^2+2^2+...+(n-1)^2+n^2]-n^2-(2+3+4+...+n)
n^3-1=3*(1^2+2^2+3^2+...+n^2)-2-n^2-(1+2+3+...+n)+1
n^3-1=3(1^2+2^2+...+n^2)-1-n^2-n(n+1)/2
3(1^2+2^2+...+n^2)=n^3+n^2+n(n+1)/2=(n/2)(2n^2+2n+n+1)
=(n/2)(n+1)(2n+1)
1^2+2^2+3^2+...+n^2=n(n+1)(2n+1)/6
\u628a\u8fd9\u4e2a\u5f0f\u5b50n*(n+1)\u91cc\u7684n\u4e58\u8fdb\u53bb\uff0c\u5f97\u5230n^2+n\uff0c\u518d\u5229\u7528\u5e73\u65b9\u548c\u516c\u5f0f1^2\uff0b2^2\uff0b3^2\uff0b4^2\uff0b\u2026\u2026\uff0bn^2=n
(n\uff0b1)\uff082n\uff0b1\uff09\u00d71/6\uff0c1\uff0b2\uff0b3\uff0b4\uff0b\u2026\u2026\uff0bn=n(n\uff0b1)/2\uff0c\u6700\u540e\u7ed3\u679c\u662f[n
(n\uff0b1)\uff082n\uff0b1\uff09\u00d71/6]+[n(n\uff0b1)/2]\uff0c\u6240\u5f97\u7ed3\u679c\u518d\u9664\u4ee52\u5c31\u884c\u4e86\u3002
an = n²
= 1² + 2² + 3² + .+ n²
=1^2+2^2+.+n^2 (n+1)^3-n^3
= 3n^2+3n+1 n^3-(n-1)^3
= 3(n-1)^2+3(n-1)+1 ... .. ... 2^3-1^3
= 3*1^2+3*1+1
=1^2+2^2+……+n^2
=(n^3+3n^2+3n)/3-n(n+1)/2-n/3
=n(n+1)(2n+1)/6
扩展资料
数列求和公式：
式一为等差数列求和公式，式二、三为等比数列求和公式。其中d为等差数列的公差，q为等比数列的公比，Sn为数列前n项和。
性质：
①数列是一种特殊的函数。其特殊性主要表现在其定义域和值域上。数列可以看作一个定义域为正整数集N*或其有限子集{1，2，3，…，n}的函数，其中的{1，2，3，…，n}不能省略。
②用函数的观点认识数列是重要的思想方法，一般情况下函数有三种表示方法，数列也不例外，通常也有三种表示方法：a.列表法；b。图像法；c.解析法。其中解析法包括以通项公式给出数列和以递推公式给出数列。
③函数不一定有解析式，同样数列也并非都有通项公式。
公式：1^2+2^2+3^2+...+n^2=n(n+1)(2n+1)/6
证明：
给个算术的差量法求解：
我们知道(m+1)^3-m^3=3m^2+3m+1，可以得到下列等式：
2^3 - 1^3 = 3*1^2 + 3*1 + 1
3^3 - 2^3 = 3*2^2 + 3*2 + 1
4^3 - 3^3 = 3*3^2 + 3*3 + 1
.........
(n+1)^3 - n^3 = 3.n^2 + 3*n + 1
以上式子相加得到
(n+1)^3 - 1 = 3*Sn + 3*n(n+1)/2 + n
其中Sn = 1^2 + 2^2 + 3^2 + ...... + n^2
化简整理得到：
Sn = n*(n + 1)*(2n + 1)/6
如果不懂，请Hi我，祝学习愉快！
证明1^2+2^2+3^2+......+n^2=n(n+1)(2n+1)/6
证法一
n^2=n(n+1)-n
1^2+2^2+3^2+......+n^2
=1*2-1+2*3-2+....+n(n+1)-n
=1*2+2*3+...+n(n+1)-(1+2+...+n)
由于n(n+1)=[n(n+1)(n+2)-(n-1)n(n+1)]/3
所以1*2+2*3+...+n(n+1)
=[1*2*3-0+2*3*4-1*2*3+....+n(n+1)(n+2)-(n-1)n(n+1)]/3
[前后消项]
=[n(n+1)(n+2)]/3
所以1^2+2^2+3^2+......+n^2
=[n(n+1)(n+2)]/3-[n(n+1)]/2
=n(n+1)[(n+2)/3-1/2]
=n(n+1)[(2n+1)/6]
=n(n+1)(2n+1)/6
证法二
利用立方差公式
n^3-(n-1)^3
=1*[n^2+(n-1)^2+n(n-1)]
=n^2+(n-1)^2+n^2-n
=2*n^2+(n-1)^2-n
2^3-1^3=2*2^2+1^2-2
3^3-2^3=2*3^2+2^2-3
4^3-3^3=2*4^2+3^2-4
......
n^3-(n-1)^3=2*n^2+(n-1)^2-n
各等式全部相加
n^3-1^3=2*(2^2+3^2+...+n^2)+[1^2+2^2+...+(n-1)^2]-(2+3+4+...+n)
n^3-1=2*(1^2+2^2+3^2+...+n^2)-2+[1^2+2^2+...+(n-1)^2+n^2]-n^2-(2+3+4+...+n)
n^3-1=3*(1^2+2^2+3^2+...+n^2)-2-n^2-(1+2+3+...+n)+1
n^3-1=3(1^2+2^2+...+n^2)-1-n^2-n(n+1)/2
3(1^2+2^2+...+n^2)
=n^3+n^2+n(n+1)/2
=(n/2)(2n^2+2n+n+1)
=(n/2)(n+1)(2n+1)
1^2+2^2+3^2+...+n^2=n(n+1)(2n+1)/6
设S=1^2+2^2+....+n^2
(n+1)^3-n^3 = 3n^2+3n+1
n^3-(n-1)^3 = 3(n-1)^2+3(n-1)+1
...
..
...
2^3-1^3 = 3*1^2+3*1+1
把上面n个式子相加得：(n+1)^3-1 = 3* [1^2+2^2+...+n^2] +3*[1+2+....+n] +n
所以S= (1/3)*[(n+1)^3-1-n-(1/2)*n(n+1)] = (1/6)n(n+1)(2n+1)
1^2+2^2+3^2+.+n^2=n(n+1)(2n+1)/6
证法一
n^2=n(n+1)-n
1^2+2^2+3^2+.+n^2
=1*2-1+2*3-2+.+n(n+1)-n
=1*2+2*3+...+n(n+1)-(1+2+...+n)
由于n(n+1)=[n(n+1)(n+2)-(n-1)n(n+1)]/3
所以1*2+2*3+...+n(n+1)
=[1*2*3-0+2*3*4-1*2*3+.+n(n+1)(n+2)-(n-1)n(n+1)]/3
[前后消项]
=[n(n+1)(n+2)]/3
所以1^2+2^2+3^2+.+n^2
=[n(n+1)(n+2)]/3-[n(n+1)]/2
=n(n+1)[(n+2)/3-1/2]
=n(n+1)[(2n+1)/6]
=n(n+1)(2n+1)/6
证法二
利用立方差公式
n^3-(n-1)^3
=1*[n^2+(n-1)^2+n(n-1)]
=n^2+(n-1)^2+n^2-n
=2*n^2+(n-1)^2-n
2^3-1^3=2*2^2+1^2-2
3^3-2^3=2*3^2+2^2-3
4^3-3^3=2*4^2+3^2-4
.
n^3-(n-1)^3=2*n^2+(n-1)^2-n
各等式全部相加
n^3-1^3=2*(2^2+3^2+...+n^2)+[1^2+2^2+...+(n-1)^2]-(2+3+4+...+n)
n^3-1=2*(1^2+2^2+3^2+...+n^2)-2+[1^2+2^2+...+(n-1)^2+n^2]-n^2-(2+3+4+...+n)
n^3-1=3*(1^2+2^2+3^2+...+n^2)-2-n^2-(1+2+3+...+n)+1
n^3-1=3(1^2+2^2+...+n^2)-1-n^2-n(n+1)/2
3(1^2+2^2+...+n^2)
=n^3+n^2+n(n+1)/2
=(n/2)(2n^2+2n+n+1)
=(n/2)(n+1)(2n+1)
1^2+2^2+3^2+...+n^2=n(n+1)(2n+1)/6
绛旓細Sn=1²+2²+...+n²锛 鏄敤绔嬫柟鏉姹傚拰鐨勩傝Tn=1+2+...+n=n(n+1)/2 鐢辩珛鏂瑰樊鍏紡锛(n+1)³-n³=3n²+3n+1 浠ｅ叆n=1, 2, ...,n寰楋細2³-1³=3*1²+3*1+1 3³-2³=3*2²+3*2+1 ...(n+1)&#...
绛旓細1脳1锛2脳2锛3脳3锛嬧︹︼紜n脳n=n(n锛1)(2n锛1)/6 鏉ュ巻鏄:鐢ㄥ畬鍏ㄧ珛鏂瑰叕寮忓拰绛夊樊鏁板垪姹傚拰鍏紡鎺ㄥ 鍥犱负:(n锛1)^3=n^3+3n^2+3n+1 鍦ㄨ繖涓瓑寮忎腑,璁╀緷娆″彇浠1寮濮嬬殑n涓繛缁殑鑷劧鏁,灏卞緱鍒皀涓浉瀵瑰簲鐨勭瓑寮,2^3=1^3+3脳1^2+3脳1+1 3^3=2^3+3脳2^2+3脳2+1 4^3=3^3...
绛旓細鍒欙紙n+1锛塣3-n^3=3n^2+3n+1 n^3-锛坣-1锛塣3=3锛坣-1锛塣2+3锛坣-1锛+1 ...3^3-2^3=3*2^3+3*2+1 2^3-1^3=3*1^3+3*1+1 鎶婄瓑寮忎袱杈瑰悓鏃姹傚拰寰楋紝锛坣+1锛塣3-1^3 =锛3n^2+3锛坣-1锛塣2+...+3*2^2+3*1^2锛+锛3n+3锛坣-1锛+...+3*2+3*1锛+n =...
绛旓細an = n²= 1² + 2² + 3² + .+ n²=1^2+2^2+.+n^2 (n+1)^3-n^3 = 3n^2+3n+1 n^3-(n-1)^3 = 3(n-1)^2+3(n-1)+1 ... .. ... 2^3-1^3 = 3*1^2+3*1+1 =1^2+2^2+鈥︹+n^2 =(n^3+3n^2+3n)/3-n(n+1)...
绛旓細n^2=[(n+1)^3-n^3]/3-n-1/3 涓よ竟閮戒粠1鍒皀姹傚拰 宸﹁竟涓烘墍姹 鍙宠竟=[(n+1)^3]/3-n*(n+1)/2-n/3 =n*(n+1)*(2*n+1)/6 鏂规硶2锛氭暟瀛﹀綊绾虫硶 鏂规硶3锛氬緟瀹氱郴鏁版硶 璁1^2+2^2+...+n^2=a*n^3+b*n^2+c*n 灏唍=1銆2銆3鍒嗗埆浠ｅ叆锛岃В鏂圭▼缁勫彲寰梐=1/3 b=1/2 c...
绛旓細1^2+2^2+3^2+...+n^2=n(n+1)(2n+1)/6 璇佹硶涓 n^2=n(n+1)-n 1^2+2^2+3^2+...+n^2 =1*2-1+2*3-2+...+n(n+1)-n =1*2+2*3+...+n(n+1)-(1+2+...+n)鐢变簬n(n+1)=[n(n+1)(n+2)-(n-1)n(n+1)]/3 鎵浠1*2+2*3+...+n(n+1)=[...
绛旓細鏁板褰掔撼娉曞彲浠ヨ瘉 涔熷彲浠ュ涓嬪仛 姣旇緝鏈夋妧宸ф n^2=n(n+1)-n 1^2+2^2+3^2+...+n^2 =1*2-1+2*3-2+...+n(n+1)-n =1*2+2*3+...+n(n+1)-(1+2+...+n)鐢变簬n(n+1)=[n(n+1)(n+2)-(n-1)n(n+1)]/3 鎵浠1*2+2*3+...+n(n+1)=[1*2*3-0+2*3...
绛旓細1^2+2^2+鈥+n^2鐨姹傚拰鍏紡鏄痭(n+1)(2n+1)/6 璇佹槑杩囩▼濡傚浘锛氬悗闈㈢殑鏋侀檺灏卞緢瀹规槗浜嗐
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绛旓細璁鹃椤逛负a1,鍏樊涓篸鐨勭瓑宸鏁板垪鍚勯」骞虫柟鐨勫拰涓猴細=a1²+(a1+d)²+(a1+2d)²+---+[a1+(n-1)d]²=na1²+[2+4+6+---+2(n-1)]d+[1²+2²+3²+---+(n-1)²]d²=na1²+n(n-1)d+n(n-1)(2n-1)d²绛...
