不定积分怎么算？
1、不定积分，indefinite integral，就是将积分中的一部分
做一个代换，当成一个新的变量；
换元法 = 变量代换法 = substitution
2、分部积分法，integral by parts
是由积的求导法则推导出来的积分法，由先对一部分积分，
然后对另一部分积分。
3、分别列举两例如下：
（图片均可点击放大，放大后更加清晰）
下面的也是分部积分法：
- 根式换元法：
设√(x+2)=t，则x=(t^2-2),代入得：
∫x√(x+2)dx
=∫t*(t^2-2)d(t^2-2),
=2∫t^2*(t^2-2)dt,
=2∫(t^4-2t^2)dt,
=2/5*t^5-4/3*t^3+C,
=2/5*(x+2)^(5/2)-4/3*(x+2)^(3/2)+C,
- 凑分法不定积分：
∫x√(2x^2+1)^3dx
=(1/2)∫√(2x^2+1)^3dx^2
=(1/4)∫√(2x^2+1)^3d2x^2
=(1/4)∫(2x^2+1)^(3/2)d(2x^2+1)
=(1/4)*(2/5)* (2x^2+1)^(5/2)+C.
=(1/10)* (2x^2+1)^(5/2)+C.
- 分部积分法计算不定积分：
∫x^4 (lnx)^2dx
=(1/5)∫(lnx)^2dx^a11，以下第一次使用分部积分法，
=(1/5) (lnx)^2*x^5-(1/5)∫x^5d(lnx)^2
=(1/5) (lnx)^2*x^5-(2/5)∫x^5*lnx*(1/x)dx
=(1/5) (lnx)^2*x^5-(2/5)∫x^4*lnxdx
=(1/5) (lnx)^2*x^5-(2/25)∫lnxdx^5,以下第二次使用分部积分法，
=(1/5) (lnx)^2*x^5-(2/25)lnx*x^5+(2/25)∫x^5dlnx
=(1/5) (lnx)^2*x^5-(2/25)lnx*x^5+(2/25)∫x^5*1/xdx
=(1/5) (lnx)^2*x^5-(2/25)lnx*x^5+(2/25)∫x^adx
=(1/5) (lnx)^2*x^5-(2/25)lnx*x^5+(2/125)x^5+c
=x^5 [(1/5) (lnx)^2-(2/25)lnx+(2/125)]+c
=(1/125)x^5 [25 (lnx)^2-10lnx+2]+c.
- 凑分及分部积分法
∫(10x^2+x+1)lnxdx
=∫lnxd(10x^3/3+x^2/2+x),对幂函数部分进行凑分，
=lnx*(10x^3/3+x^2/2+x)-∫(10x^3/3+x^2/2+x)dlnx
=lnx*(10x^3/3+x^2/2+x)-∫(10x^3/3+x^2/2+x)dx/x
=lnx*(10x^3/3+x^2/2+x)-∫(10x^2/3+x/2+1)dx
=lnx*(10x^3/3+x^2/2+x)-(10x^3/9+x^2/4+x)+C。
- 不定积分概念
设F(x)是函数f(x)的一个原函数，我们把函数f(x)的所有原函数F(x)+ C(其中，C为任意常数）叫做函数f(x)的不定积分，又叫做函数f(x)的反导数，记作∫f(x)dx或者∫f（高等微积分中常省去dx），即∫f(x)dx=F(x)+C。
其中∫叫做积分号，f(x)叫做被积函数，x叫做积分变量，f(x)dx叫做被积式，C叫做积分常数或积分常量，求已知函数的不定积分的过程叫做对这个函数进行不定积分。
- 不定积分的计算
求函数f(x)的不定积分，就是要求出f(x)的所有的原函数，由原函数的性质可知，只要求出函数f(x)的一个原函数，再加上任意的常数C就得到函数f(x)的不定积分。
不定积分的主要计算方法有:凑分法、公式法、第一类换元法、第二类换元法、分部积分法和泰勒公式展开近似法等。
绛旓細鍩烘湰鍏紡 1銆佲埆0dx=c 2銆佲埆x^udx=(x^u+1)/(u+1)+c 3銆佲埆1/xdx=ln|x|+c 4銆佲埆a^xdx=(a^x)/lna+c 5銆佲埆e^xdx=e^x+c 6銆佲埆sinxdx=-cosx+c 7銆佲埆cosxdx=sinx+c 8銆佲埆1/(cosx)^2dx=tanx+c 9銆佲埆1/(sinx)^2dx=-cotx+c 涓嶅畾绉垎锛氫笉瀹氱Н鍒嗙殑绉垎鍏紡涓昏鏈夊涓嬪嚑...
绛旓細4銆涓嶅畾绉垎鐨勫惈涔夛細涓嶅畾绉垎姹傝В鐨勬槸鍑芥暟鐨鍘熷嚱鏁闆嗗悎銆傞氳繃涓嶅畾绉垎锛屾垜浠彲浠ュ緱鍒颁竴涓嚱鏁扮殑鍙樺寲瑙勫緥鍜岃秼鍔匡紝鑰屼笉鏄竴涓叿浣撶殑鏁板肩粨鏋溿備笉瀹氱Н鍒嗙殑缁撴灉鍙互鐪嬩綔鏄竴涓嚱鏁版棌锛屽叾涓殑姣忎釜鍑芥暟閮芥槸鍘熷嚱鏁般備笉瀹氱Н鍒嗘ц川鍜璁＄畻鏂规硶鐨勫簲鐢 1銆佹ц川锛氫笉瀹氱Н鍒嗗叿鏈夌嚎鎬фц川锛屽嵆瀵瑰嚱鏁扮殑绾挎х粍鍚堝彲浠ュ垎瑙ｄ负...
绛旓細涓嶅畾绉垎鐨勫叕寮忓涓嬶細鈭 a dx = ax + C锛宎鍜孋閮芥槸甯告暟锛涒埆 x^a dx = [x^(a + 1)]/(a + 1) + C锛屽叾涓璦涓哄父鏁颁笖 a 鈮 -1锛涒埆 1/x dx = ln|x| + C锛涒埆 a^x dx = (1/lna)a^x + C锛屽叾涓璦 > 0 涓 a 鈮 1锛涒埆 e^x dx = e^x + C锛涒埆 cosx dx = sinx...
绛旓細涓嶅畾绉垎锛氫笉瀹氱Н鍒嗙殑绉垎鍏紡涓昏鏈夊涓嬪嚑绫伙細鍚玜x+b鐨勭Н鍒嗐佸惈鈭氾紙a+bx锛夌殑绉垎銆佸惈鏈墄^2卤伪^2鐨勭Н鍒嗐佸惈鏈塧x^2+b锛坅>0锛夌殑绉垎銆佸惈鏈夆垰锛坅²+x^2锛 锛坅>0锛夌殑绉垎銆佸惈鏈夆垰锛坅^2-x^2锛 锛坅>0锛夌殑绉垎銆佸惈鏈夆垰锛坾a|x^2+bx+c锛 锛坅鈮0锛夌殑绉垎銆佸惈鏈変笁瑙掑嚱鏁扮殑绉垎銆...
绛旓細鈭 lnydy = ylny-鈭 ydlny = ylny-鈭 y*(1/y)dy = ylny-鈭 dy = ylny-y+C 娉細杩欓噷閲囩敤鐨勬柟娉曞彨鍒嗛儴绉垎娉曘傚垎閮ㄧН鍒嗘硶锛氳u=u(x)鍙妚=(x)鏄袱涓叧浜巟鐨勫嚱鏁帮紝鍚勮嚜鍏锋湁杩炵画瀵兼暟u'=u'(x)鍙妚'=v'(x)锛屼笖涓嶅畾绉垎鈭玼'(x)v(x)dx瀛樺湪锛屾寜鐓т箻绉嚱鏁版眰寰垎娉曞垯锛屽垯鏈夆埆u(x)...
绛旓細3銆涓嶅畾绉垎鐨璁＄畻鏂规硶涓昏鏈変袱绉嶏紝鐩存帴绉垎娉曞拰鍑戝井鍒嗘硶銆傜洿鎺ョН鍒嗘硶鏄氳繃瑙傚療鍑芥暟鐨勬ц川锛岀洿鎺ュ埄鐢ㄤ笉瀹氱Н鍒嗙殑璁＄畻鍏紡鏉ユ眰瑙ｃ傝屽噾寰垎娉曞垯鏄氳繃灏嗗鏉傜殑鍑芥暟杞寲涓虹畝鍗曠殑鍑芥暟锛屽啀鍒╃敤鍩烘湰鍒濈瓑鍑芥暟鐨勬ц川鏉ユ眰瑙ｃ傚嚱鏁扮Н鍒嗙殑鐩稿叧鐭ヨ瘑 1銆佸嚱鏁扮Н鍒嗘槸寰Н鍒嗗涓殑涓涓噸瑕佹蹇碉紝瀹冩槸瀵瑰嚱鏁拌繘琛岀Н鍒嗚繍绠楃殑...
绛旓細鈭玜rctan2xdx=x*arctan2x-鈭玿 darctan2x =x arctan2x-鈭2x/(1+4x^2)dx =x arctan2x-1/4鈭1/(1+4x^2)d(1+4x^2) x arctan2x-1/4 ln(1+4x^2)+c銆傚湪寰Н鍒嗕腑锛屼竴涓嚱鏁癴 鐨涓嶅畾绉垎锛屾垨鍘熷嚱鏁锛屾垨鍙嶅鏁帮紝鏄竴涓鏁扮瓑浜巉 鐨勫嚱鏁 F 锛屽嵆F 鈥 = f銆備笉瀹氱Н鍒嗗拰瀹氱Н鍒...
绛旓細1銆佲埆0dx=c 涓嶅畾绉垎鐨勫畾涔 2銆佲埆x^udx=(x^(u+1))/(u+1)+c 3銆佲埆1/xdx=ln|x|+c 4銆佲埆a^xdx=(a^x)/lna+c 5銆佲埆e^xdx=e^x+c 6銆佲埆sinxdx=-cosx+c 7銆佲埆cosxdx=sinx+c 8銆佲埆1/(cosx)^2dx=tanx+c 9銆佲埆1/(sinx)^2dx=-cotx+c 10銆佲埆1/鈭氾紙1-x^2) dx=arc...
绛旓細3銆佸垎閮ㄧН鍒嗘硶銆傚垎閮ㄧН鍒嗘硶鏄竴绉嶉氳繃鎶婁竴涓嚱鏁板垎瑙ｆ垚涓や釜鎴栬呮洿澶氫釜绠鍗曠殑鍑芥暟锛岀劧鍚庡啀杩涜绉垎鐨勬柟娉曘傚畠鐨勪富瑕佹濇兂鏄氳繃鎶婁竴涓鏉傜殑鍑芥暟鍒嗚В鎴愪竴浜涚畝鍗曠殑鍑芥暟锛岀劧鍚庡埄鐢ㄨ繖浜涚畝鍗曞嚱鏁扮殑绉垎鍏紡鏉璁＄畻鍘熷嚱鏁鐨勭Н鍒嗐涓嶅畾绉垎鐨勮绠楅渶瑕佹敞鎰忕殑缁嗚妭锛1銆佺Н鍒嗗彉閲忕殑閫夋嫨锛氬湪閫夋嫨绉垎鍙橀噺鏃讹紝搴旇閫夋嫨瀹规槗...
绛旓細渚嬪涓夌鏂瑰紡璁＄畻涓嶅畾绉垎鈭玿鈭(x+2)dx銆備富瑕佸唴瀹癸細閫氳繃鏍瑰紡鎹㈠厓銆佸垎椤瑰噾鍒嗕互鍙婂垎閮ㄧН鍒嗘硶绛夌浉鍏崇煡璇嗭紝浠嬬粛涓嶅畾绉垎鈭玿鈭(x+2)dx鐨勪笁绉嶈绠楁柟娉曞拰姝ラ銆傝鐐瑰嚮杈撳叆鍥剧墖鎻忚堪 鏍瑰紡鎹㈠厓娉曪細璁锯垰(x+2)=t锛屽垯x=(t^2-2),浠ｅ叆寰楋細鈭玿鈭(x+2)dx =鈭玹*(t^2-2)d(t^2-2),=2鈭玹^2*(t^...
