四、图像的频域变换——傅立叶变换
约瑟夫·傅立叶（Joseph Fourier）——法国数学家、物理学家，1807年提出傅立叶变换。傅立叶变换是最早研究与应用的酉变换；60年代出现快速傅立叶变换；傅立叶变换域也称为频域。
调谐信号（欧拉公式）：
傅立叶积分：
f(x)为连续可积函数，其傅立叶变换定义为：
其反变换为：
通常f(x)的傅立叶变换为复数，可有通用表示式为： ， 、 分别称为傅立叶变换 的实部和虚部。
可进一步写为指数形式：
其中： 称之为 的幅度谱、振幅谱或傅立叶谱； 称之为 的相位谱、相位角。
一维离散傅立叶变换公式为：
逆变换为：
逆变换的另一种表达形式：
二维傅立叶变换由一维傅立叶变换推广而来：
逆变换：
幅度谱：
相位谱：
对于二维傅立叶变换，其离散形式为：
逆变换为：
幅频谱、相位谱：
1）线性性质（加法定理）：
2）比例性质（相似性定理）：
比例性质表明：信号在时域中压缩（k>1，变化速度加快）等效于在频域扩展（频带加宽）；反之亦然。
3）可分离性：
二维DFT可分离为两次一维DFT。
4）空间位移（位移定理）：
空间位移特性表明：信号在时域中沿时间轴平移一个常数时，等效于频谱函数的相位谱改变，而幅度谱不变。
5）频率位移：
函数的频率位移相当于傅立叶变换的坐标原点平移，而幅度谱和相位谱不变。
6）周期性：
离散傅立叶变换DFT和它的逆变换是以N为周期的函数。
7）共轭对称性：若f(x,y)为实函数，F(u,v)为其傅立叶变换，则
图像的傅立叶变换结果是以原点为中心的共轭对称函数。
8）旋转不变性：
旋转特性描述：如果f(x,y)旋转了一个角度α，那么f(x,y)旋转后图像的傅立叶变换也旋转了相同的角度α。
结论：对图像的旋转变换和傅立叶变换的顺序是可交换的。
9）平均值：
离散函数的均值等于该函数傅立叶变换在(0,0)点的值。
10）卷积定理：空域中的卷积等价于频域中的相乘。
11）相关定理：空域中f(x,y)与g(x,y)的相关等价于频域中F(u,v)的共轭与G(u,v)相乘。
互相关：
自相关：
12）拉普拉斯函数：
其傅立叶变换为：
这个定理将在图像的边界提取中用到。
按照标准的傅立叶变换公式，其幅度谱的强度分布具有下列特性：
在光学傅立叶变换中，人们已习惯于变化领域中的低谱部分位于中央。使频域的频谱分布中间低、周围高，有利于对频谱的解释和进行各种计算与分析。
为了达到上述要求——图像中心化，借助于傅立叶变换的周期性与频率位移性质，对频域进行换位：
使频域的中心位移 ：
相当于对原始图像f(x,y)乘以 ，再进行傅立叶变换：
对应于 的反变换不等于f(x,y)：
二维傅立叶变换域分布特性：
图像信号的傅立叶变换包含幅度与相位两部分；幅度谱具有较明显的信号结构特征和易于解释；实验证明，幅度本身只包含有图像本身含有的周期结构，并不表示其在何处；相位谱类似随机图案，一般难以进行解释；物体在空间的移动，相当于频域的相位移动，相位谱具有同样重要的意义。
单凭幅度或相位信息，均不足以恢复原图像。
快速傅立叶变换的基本思想就是分解-征服，即将大的问题分解成诸多小问题，再一一解决这些小问题，从而最终解决大问题。
1）将变换公式分解为奇数项和偶数项之和。令：
DFT可表为：
令：N=2M
由于：
可得到：
进一步分析：
还可以得到：
算法思想：用正向变换计算逆向变换。
设 ，可有：
即：对F(u)取共轭，利用正向FFT进行变换计算，其结果取共轭后再乘以N，即可得到f(x)。
利用傅立叶变换的分离性质，对二维FFT进行2次的一维FFT变换：
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