傅立叶变换和拉普拉斯变换的区别及应用。 请问傅里叶变换和拉普拉斯变换的条件各是什么？
\u62c9\u6c0f\u53d8\u6362\u4e0e\u5085\u6c0f\u53d8\u6362\u533a\u522b\u548c\u8054\u7cfb\u62c9\u6c0f\u53d8\u6362\uff0c\u5373\u4e3a\u62c9\u666e\u62c9\u65af\u53d8\u6362\uff1b\u5085\u6c0f\u53d8\u6362\uff0c\u5373\u4e3a\u5085\u91cc\u53f6\u53d8\u6362\u3002
\u4e00\u3001\u62c9\u666e\u62c9\u65af\u53d8\u6362\u4e0e\u5085\u91cc\u53f6\u53d8\u6362\u7684\u8054\u7cfb
\u62c9\u666e\u62c9\u65af\u53d8\u6362\u662f\u5085\u91cc\u53f6\u53d8\u6362\u7684\u63a8\u5e7f\uff0c\u662f\u4e00\u79cd\u66f4\u666e\u904d\u7684\u8868\u8fbe\u5f62\u5f0f\u3002\u5728\u8fdb\u884c\u4fe1\u53f7\u4e0e\u7cfb\u7edf\u7684\u5206\u6790\u8fc7\u7a0b\u4e2d\uff0c\u53ef\u4ee5\u5148\u5f97\u5230\u62c9\u666e\u62c9\u65af\u53d8\u6362\u8fd9\u79cd\u66f4\u666e\u904d\u7684\u7ed3\u679c\uff0c\u7136\u540e\u518d\u5f97\u5230\u5085\u91cc\u53f6\u53d8\u6362\u8fd9\u79cd\u7279\u6b8a\u7684\u7ed3\u679c\u3002
\u4e8c\u3001\u62c9\u666e\u62c9\u65af\u53d8\u6362\u4e0e\u5085\u91cc\u53f6\u53d8\u6362\u7684\u533a\u522b
1\u3001\u63d0\u51fa\u65f6\u95f4\u4e0d\u540c
\u62c9\u666e\u62c9\u65af\u53d8\u6362\uff1a\u62c9\u666e\u62c9\u65af\u53d8\u6362\u662f1812\u5e74\u63d0\u51fa\u7684\u3002
\u5085\u91cc\u53f6\u53d8\u6362\uff1a\u5085\u91cc\u53f6\u53d8\u6362\u662f1807\u5e74\u63d0\u51fa\u7684\u3002
2\u3001\u5e94\u7528\u5b66\u79d1\u4e0d\u540c
\u62c9\u666e\u62c9\u65af\u53d8\u6362\uff1a\u62c9\u666e\u62c9\u65af\u53d8\u6362\u7684\u5e94\u7528\u5b66\u79d1\u662f\u6570\u5b66\u3001\u5de5\u7a0b\u6570\u5b66\u3002
\u5085\u91cc\u53f6\u53d8\u6362\uff1a\u5085\u91cc\u53f6\u53d8\u6362\u7684\u5e94\u7528\u5b66\u79d1\u662f\u6570\u5b57\u4fe1\u53f7\u5904\u7406\u3002
3\u3001\u9002\u7528\u9886\u57df\u8303\u56f4\u4e0d\u540c
\u62c9\u666e\u62c9\u65af\u53d8\u6362\uff1a\u62c9\u666e\u62c9\u65af\u53d8\u6362\u7684\u9002\u7528\u9886\u57df\u8303\u56f4\u662f\u4fe1\u53f7\u7cfb\u7edf\u3001\u7535\u5b50\u5de5\u7a0b\u3001\u8f68\u9053\u4ea4\u901a\u3001\u81ea\u52a8\u5316\u7b49\u3002
\u5085\u91cc\u53f6\u53d8\u6362\uff1a\u5085\u91cc\u53f6\u53d8\u6362\u7684\u9002\u7528\u9886\u57df\u8303\u56f4\u662f\u7535\u5de5\u5b66\u3001\u4fe1\u53f7\u5904\u7406\u3002
\u53c2\u8003\u8d44\u6599\u6765\u6e90\uff1a\u767e\u5ea6\u767e\u79d1-\u62c9\u666e\u62c9\u65af\u53d8\u6362
\u767e\u5ea6\u767e\u79d1-\u5085\u91cc\u53f6\u53d8\u6362
1\u3001\u5085\u91cc\u53f6\u53d8\u6362\u7684\u6761\u4ef6\uff1a\u5728\u4e00\u4e2a\u4ee52T\u4e3a\u5468\u671f\u5185f(X)\u8fde\u7eed\u6216\u53ea\u6709\u6709\u9650\u4e2a\u7b2c\u4e00\u7c7b\u95f4\u65ad\u70b9\uff0c\u9644f\uff08x\uff09\u5355\u8c03\u6216\u53ef\u5212\u5206\u6210\u6709\u9650\u4e2a\u5355\u8c03\u533a\u95f4\uff0c\u5219F\uff08x\uff09\u4ee52T\u4e3a\u5468\u671f\u7684\u5085\u91cc\u53f6\u7ea7\u6570\u6536\u655b\uff0c\u548c\u51fd\u6570S\uff08x\uff09\u4e5f\u662f\u4ee52T\u4e3a\u5468\u671f\u7684\u5468\u671f\u51fd\u6570\uff0c\u4e14\u5728\u8fd9\u4e9b\u95f4\u65ad\u70b9\u4e0a\uff0c\u51fd\u6570\u662f\u6709\u9650\u503c\uff1b\u5728\u4e00\u4e2a\u5468\u671f\u5185\u5177\u6709\u6709\u9650\u4e2a\u6781\u503c\u70b9\uff1b\u7edd\u5bf9\u53ef\u79ef\u3002
2\u3001\u62c9\u666e\u62c9\u65af\u53d8\u6362\u7684\u6761\u4ef6\uff1at>=0\u51fd\u6570\u503c\u4e0d\u4e3a\u96f6\u7684\u8fde\u7eed\u65f6\u95f4\u51fd\u6570x(t)\u3002
\u6269\u5c55\u8d44\u6599\uff1a
1\u3001\u5085\u91cc\u53f6\u53d8\u6362\u7684\u5e94\u7528\uff1a
\uff081\uff09\u5085\u91cc\u53f6\u53d8\u6362\u662f\u7ebf\u6027\u7b97\u5b50\uff0c\u82e5\u8d4b\u4e88\u9002\u5f53\u7684\u8303\u6570\uff0c\u5b83\u8fd8\u662f\u9149\u7b97\u5b50\uff1b
\uff082\uff09\u5085\u91cc\u53f6\u53d8\u6362\u7684\u9006\u53d8\u6362\u5bb9\u6613\u6c42\u51fa\uff0c\u800c\u4e14\u5f62\u5f0f\u4e0e\u6b63\u53d8\u6362\u975e\u5e38\u7c7b\u4f3c\uff1b
\uff083\uff09\u6b63\u5f26\u57fa\u51fd\u6570\u662f\u5fae\u5206\u8fd0\u7b97\u7684\u672c\u5f81\u51fd\u6570\uff0c\u4ece\u800c\u4f7f\u5f97\u7ebf\u6027\u5fae\u5206\u65b9\u7a0b\u7684\u6c42\u89e3\u53ef\u4ee5\u8f6c\u5316\u4e3a\u5e38\u7cfb\u6570\u7684\u4ee3\u6570\u65b9\u7a0b\u7684\u6c42\u89e3.\u5728\u7ebf\u6027\u65f6\u4e0d\u53d8\u7684\u7269\u7406\u7cfb\u7edf\u5185\uff0c\u9891\u7387\u662f\u4e2a\u4e0d\u53d8\u7684\u6027\u8d28\uff0c\u4ece\u800c\u7cfb\u7edf\u5bf9\u4e8e\u590d\u6742\u6fc0\u52b1\u7684\u54cd\u5e94\u53ef\u4ee5\u901a\u8fc7\u7ec4\u5408\u5176\u5bf9\u4e0d\u540c\u9891\u7387\u6b63\u5f26\u4fe1\u53f7\u7684\u54cd\u5e94\u6765\u83b7\u53d6\u3002
2\u3001\u62c9\u666e\u62c9\u65af\u53d8\u6362\u7684\u5e94\u7528\uff1a
\u5728\u7ecf\u5178\u63a7\u5236\u7406\u8bba\u4e2d\uff0c\u5bf9\u63a7\u5236\u7cfb\u7edf\u7684\u5206\u6790\u548c\u7efc\u5408\uff0c\u90fd\u662f\u5efa\u7acb\u5728\u62c9\u666e\u62c9\u65af\u53d8\u6362\u7684\u57fa\u7840\u4e0a\u7684\u3002\u5f15\u5165\u62c9\u666e\u62c9\u65af\u53d8\u6362\u7684\u4e00\u4e2a\u4e3b\u8981\u4f18\u70b9\uff0c\u662f\u53ef\u91c7\u7528\u4f20\u9012\u51fd\u6570\u4ee3\u66ff\u5e38\u7cfb\u6570\u5fae\u5206\u65b9\u7a0b\u6765\u63cf\u8ff0\u7cfb\u7edf\u7684\u7279\u6027\u3002
\u8fd9\u5c31\u4e3a\u91c7\u7528\u76f4\u89c2\u548c\u7b80\u4fbf\u7684\u56fe\u89e3\u65b9\u6cd5\u6765\u786e\u5b9a\u63a7\u5236\u7cfb\u7edf\u7684\u6574\u4e2a\u7279\u6027\u3001\u5206\u6790\u63a7\u5236\u7cfb\u7edf\u7684\u8fd0\u52a8\u8fc7\u7a0b\uff0c\u4ee5\u53ca\u63d0\u4f9b\u63a7\u5236\u7cfb\u7edf\u8c03\u6574\u7684\u53ef\u80fd\u6027\u3002
\u53c2\u8003\u8d44\u6599\u6765\u6e90\uff1a\u767e\u5ea6\u767e\u79d1-\u62c9\u666e\u62c9\u65af\u53d8\u6362
\u53c2\u8003\u8d44\u6599\u6765\u6e90\uff1a\u767e\u5ea6\u767e\u79d1-\u5085\u91cc\u53f6\u53d8\u6362
区别：
1、 积分域与变换核
傅里叶变换与拉普拉斯变换都属于积分变换，是两种常见的数学变换手段，而所谓的积分变换就是通过积分运算，把一个函数变成另一个函数的变换，其作用就是将复杂的函数运算变成简单的函数运算，当选取不同的积分域和变换核时，就得到不同名称的积分变换，傅里叶变换与拉普拉斯变换就是因取不同的积分域与变换核得来的。
2、频域和复频域
傅里叶变换是拉普拉斯变换的特例。拉普拉斯变换是将时域信号变换到“复频域”，与变换的“频域”有所区别。
应用：
1、拉普拉斯变换主要用于电路分析，作为解微分方程的强有力工具（将微积分运算转化为乘除运算）。
2、傅里叶变换在物理学、电子类学科、数论、组合数学、信号处理、概率论、统计学、密码学、声学、光学、海洋学、结构动力学等领域都有着广泛的应用（例如在信号处理中，傅里叶变换的典型用途是将信号分解成幅值谱——显示与频率对应的幅值大小）。则随着FFT算法的发展已经成为最重要的数学工具应用于数字信号处理领域。
拓展资料：
傅立叶变换，表示能将满足一定条件的某个函数表示成三角函数（正弦和/或余弦函数）或者它们的积分的线性组合。在不同的研究领域，傅立叶变换具有多种不同的变体形式，如连续傅立叶变换和离散傅立叶变换。最初傅立叶分析是作为热过程的解析分析的工具被提出的。
拉普拉斯变换是对于t>=0函数值不为零的连续时间函数x(t)通过关系式
(式中-st为自然对数底e的指数)变换为复变量s的函数X(s)。它也是时间函数x(t)的“复频域”表示方式。
参考资料：傅里叶变换-百度百科 拉普拉斯变换
傅立叶变换，表示能将满足一定条件的某个函数表示成三角函数（正弦和/或余弦函数）或者它们的积分的线性组合。fourier变换是将连续的时间域信号转变到频率域。
在不同的研究领域，傅立叶变换具有多种不同的变体形式，如连续傅立叶变换和离散傅立叶变换。最初傅立叶分析是作为热过程的解析分析的工具被提出的。
拉普拉斯变换是工程数学中常用的一种积分变换，又名拉氏变换。 拉氏变换是一个线性变换，可将一个有参数实数t（t≥ 0）的函数转换为一个参数为复数s的函数。
拉普拉斯变换在许多工程技术和科学研究领域中有着广泛的应用，特别是在力学系统、电学系统、自动控制系统、可靠性系统以及随机服务系统等系统科学中都起着重要作用。
拓展资料：
一般情况下，若“傅里叶变换”一词的前面未加任何限定语，则指的是“连续傅里叶变换”。“连续傅里叶变换”将平方可积的函数表示成复指数函数的积分形式：
上式其实表示的是连续傅里叶变换的逆变换，即将时间域的函数表示为频率域的函数的积分。反过来，其正变换恰好是将频率域的函数。表示为时间域的函数的积分形式。
一般可称函数为原函数，而称函数为傅里叶变换的像函数，原函数和像函数构成一个傅里叶变换对（transform pair）。
当为奇函数（或偶函数）时，其余弦（或正弦）分量为零，而可以称这时的变换为余弦变换（或正弦变换）。
傅立叶变换是拉普拉斯变换的一种特例，在拉普拉斯变换中，只要令Re[s]=1,就得到傅立叶变换。当然，两者可以转换的前提是信号的拉普拉斯变换的收敛域要包含单位圆（即包含圆周上的点）。
很多信号都不一定有傅立叶变换，因为狄力克雷条件比较苛刻，而绝大多数信号都有拉普拉斯变换。故对于连续信号，拉普拉斯变换比傅立叶变换用得更广泛。
傅立叶变换
中文译名
Transformée de Fourier有多种中文译名，常见的有“傅里叶变换”、“傅立叶变换”、“付立叶变换”、“富里叶变换”、“富里哀变换”等等。为方便起见，本文统一写作“傅里叶变换”。
应用
傅里叶变换在物理学、数论、组合数学、信号处理、概率论、统计学、密码学、声学、光学、海洋学、结构动力学等领域都有着广泛的应用（例如在信号处理中，傅里叶变换的典型用途是将信号分解成幅值分量和频率分量）。
概要介绍
* 傅里叶变换能将满足一定条件的某个函数表示成三角函数（正弦和/或余弦函数）或者它们的积分的线性组合。在不同的研究领域，傅里叶变换具有多种不同的变体形式，如连续傅里叶变换和离散傅里叶变换。最初傅里叶分析是作为热过程的解析分析的工具被提出的（参见：林家翘、西格尔著《自然科学中确定性问题的应用数学》，科学出版社，北京。原版书名为 C. C. Lin & L. A. Segel, Mathematics Applied to Deterministic Problems in the Natural Sciences, Macmillan Inc., New York, 1974）。
* 傅里叶变换属于谐波分析。
* 傅里叶变换的逆变换容易求出,而且形式与正变换非常类似;
* 正弦基函数是微分运算的本征函数,从而使得线性微分方程的求解可以转化为常系数的代数方程的求解.在线性时不变的物理系统内,频率是个不变的性质,从而系统对于复杂激励的响应可以通过组合其对不同频率正弦信号的响应来获取;
* 卷积定理指出:傅里叶变换可以化复杂的卷积运算为简单的乘积运算,从而提供了计算卷积的一种简单手段;
* 离散形式的傅里叶变换可以利用数字计算机快速的算出(其算法称为快速傅里叶变换算法(FFT)).
基本性质
线性性质
两函数之和的傅里叶变换等于各自变换之和。数学描述是：若函数f \left( x\right )和g \left(x \right)的傅里叶变换\mathcal[f]和\mathcal[g]都存在，α 和 β 为任意常系数，则\mathcal[\alpha f+\beta g]=\alpha\mathcal[f]+\beta\mathcal[g]；傅里叶变换算符\mathcal可经归一化成为么正算符；
频移性质
若函数f \left( x\right )存在傅里叶变换，则对任意实数 ω0，函数f(x) e^{i \omega_ x}也存在傅里叶变换，且有\mathcal[f(x)e^{i \omega_ x}]=F(\omega + \omega _0 ) 。式中花体\mathcal是傅里叶变换的作用算子，平体F表示变换的结果（复函数），e 为自然对数的底，i 为虚数单位\sqrt；
微分关系
若函数f \left( x\right )当|x|\rightarrow\infty时的极限为0，而其导函数f'(x)的傅里叶变换存在，则有\mathcal[f'(x)]=-i \omega \mathcal[f(x)] ，即导函数的傅里叶变换等于原函数的傅里叶变换乘以因子 − iω 。更一般地，若f(\pm\infty)=f'(\pm\infty)=\ldots=f^{(k-1)}(\pm\infty)=0，且\mathcal[f^{(k)}(x)]存在，则\mathcal[f^{(k)}(x)]=(-i \omega)^ \mathcal[f] ，即 k 阶导数的傅里叶变换等于原函数的傅里叶变换乘以因子( − iω)k。
卷积特性
若函数f \left( x\right )及g \left( x\right )都在(-\infty,+\infty)上绝对可积，则卷积函数f*g=\int_{-\infty}^{+\infty} f(x-\xi)g(\xi)d\xi的傅里叶变换存在，且\mathcal[f*g]=\mathcal[f]\cdot\mathcal[g] 。卷积性质的逆形式为\mathcal^[F(\omega)G(\omega)]=\mathcal^[F(\omega)]*\mathcal^[G(\omega)] ，即两个函数乘积的傅里叶逆变换等于它们各自的傅里叶逆变换的卷积。
Parseval定理
若函数f \left( x\right )可积且平方可积，则\int_{-\infty}^{+\infty} f^2 (x)dx = \frac{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty} |F(\omega)|^d\omega 。其中 F(ω) 是 f(x) 的傅里叶变换。
傅里叶变换的不同变种
连续傅里叶变换
主条目：连续傅立叶变换
一般情况下,若“傅立叶变换”一词的前面未加任何限定语，则指的是“连续傅里叶变换”。“连续傅里叶变换”将平方可积的函数f(t) 表示成复指数函数的积分或级数形式。
f(t) = \mathcal^[F(\omega)] = \frac{\sqrt{2\pi}} \int\limits_{-\infty}^\infty F(\omega) e^{i\omega t}\,d\omega.
上式其实表示的是连续傅里叶变换的逆变换，即将时间域的函数f(t)表示为频率域的函数F(ω)的积分。反过来,其正变换恰好是将频率域的函数F(ω)表示为时间域的函数f(t)的积分形式。一般可称函数f(t)为原函数,而称函数F(ω)为傅里叶变换的像函数,原函数和像函数构成一个傅立叶变换对(transform pair)。
一种对连续傅里叶变换的推广称为分数傅里叶变换（Fractional Fourier Transform）。
当f(t)为奇函数(或偶函数)时,其余弦(或正弦)分量将消亡,而可以称这时的变换为余弦转换(cosine transform) 或 正弦转换(sine transform).
另一个值得注意的性质是,当f(t) 为纯实函数时,F(−ω) = F(ω)*成立.
傅里叶级数
主条目：傅里叶级数
连续形式的傅里叶变换其实是傅里叶级数的推广，因为积分其实是一种极限形式的求和算子而已。对于周期函数，其傅里叶级数是存在的：
f(x) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} F_n \,e^ ,
其中Fn 为复振幅。对于实值函数，函数的傅里叶级数可以写成：
f(x) = \fraca_0 + \sum_{n=1}^\infty\left[a_n\cos(nx)+b_n\sin(nx)\right],
其中an和bn是实频率分量的振幅。
离散时间傅里叶变换
主条目：离散时间傅里叶变换
离散傅里叶变换是离散时间傅里叶变换（DTFT）的特例（有时作为后者的近似）。DTFT在时域上离散，在频域上则是周期的。DTFT可以被看作是傅里叶级数的逆。
离散傅里叶变换
主条目：离散傅里叶变换
为了在科学计算和数字信号处理等领域使用计算机进行傅里叶变换，必须将函数xn 定义在离散点而非连续域内，且须满足有限性或周期性条件。这种情况下, 使用离散傅里叶变换，将函数 xn 表示为下面的求和形式：
x_n = \frac1 \sum_{k=0}^ X_k e^{i\frac{2\pi} kn} \qquad n = 0,\dots,N-1
其中Xk是傅里叶振幅。直接使用这个公式计算的计算复杂度为\mathcal(n^2)，而快速傅里叶变换（FFT）可以将复杂度改进为\mathcal(n \log n)。计算复杂度的降低以及数字电路计算能力的发展使得DFT成为在信号处理领域十分实用且重要的方法。
在阿贝尔群上的统一描述
以上各种傅里叶变换可以被更统一的表述成任意局部紧致的阿贝尔群上的傅里叶变换。这一问题属于调和分析的范畴。在调和分析中, 一个变换从一个群变换到它的对偶群(dual group)。此外，将傅里叶变换与卷积相联系的卷积定理在调和分析中也有类似的结论。傅里叶变换的广义理论基础参见庞特里雅金对偶性（英文版）中的介绍。
时频分析变换
主条目：时频分析变换
小波变换，chirplet转换和分数傅里叶转换试图得到时间信号的频率信息。同时解析频率和时间的能力在数学上受不确定性原理的限制。
傅里叶变换家族
下表列出了傅里叶变换家族的成员. 容易发现,函数在时(频)域的离散对应于其像函数在频(时)域的周期性.反之连续则意味着在对应域的信号的非周期性.
变换 时间 频率
连续傅里叶变换 连续, 非周期性 连续, 非周期性
傅里叶级数 连续, 周期性 离散, 非周期性
离散时间傅里叶变换 离散, 非周期性 连续, 周期性
离散傅里叶变换 离散, 周期性 离散, 周期性
傅里叶变换的基本思想首先由法国学者傅里叶系统提出，所以以其名字来命名以示纪念。
从现代数学的眼光来看，傅里叶变换是一种特殊的积分变换。它能将满足一定条件的某个函数表示成正弦基函数的线性组合或者积分。在不同的研究领域，傅里叶变换具有多种不同的变体形式，如连续傅里叶变换和离散傅里叶变换。
傅立叶变换属于调和分析的内容。"分析"二字，可以解释为深入的研究。从字面上来看，"分析"二字，实际就是"条分缕析"而已。它通过对函数的"条分缕析"来达到对复杂函数的深入理解和研究。从哲学上看，"分析主义"和"还原主义"，就是要通过对事物内部适当的分析达到增进对其本质理解的目的。比如近代原子论试图把世界上所有物质的本源分析为原子，而原子不过数百种而已，相对物质世界的无限丰富，这种分析和分类无疑为认识事物的各种性质提供了很好的手段。
在数学领域，也是这样，尽管最初傅立叶分析是作为热过程的解析分析的工具，但是其思想方法仍然具有典型的还原论和分析主义的特征。"任意"的函数通过一定的分解，都能够表示为正弦函数的线性组合的形式，而正弦函数在物理上是被充分研究而相对简单的函数类，这一想法跟化学上的原子论想法何其相似！奇妙的是,现代数学发现傅立叶变换具有非常好的性质,使得它如此的好用和有用,让人不得不感叹造物的神奇:
1. 傅立叶变换是线性算子,若赋予适当的范数,它还是酉算子;
2. 傅立叶变换的逆变换容易求出,而且形式与正变换非常类似;
3. 正弦基函数是微分运算的本征函数,从而使得线性微分方程的求解可以转化为常系数的代数方程的求解.在线性时不变的物理系统内,频率是个不变的性质,从而系统对于复杂激励的响应可以通过组合其对不同频率正弦信号的响应来获取;
4. 著名的卷积定理指出:傅立叶变换可以化复杂的卷积运算为简单的乘积运算,从而提供了计算卷积的一种简单手段;
5. 离散形式的傅立叶变换可以利用数字计算机快速的算出(其算法称为快速傅立叶变换算法(FFT)).
正是由于上述的良好性质,傅里叶变换在物理学、数论、组合数学、信号处理、概率、统计、密码学、声学、光学等领域都有着广泛的应用。
拉普拉斯变换
拉普拉斯变换（英文：Laplace Transform)，是工程数学中常用的一种积分变换。
如果定义：
f(t),是一个关于t,的函数，使得当t<0,时候，f(t)=0,；
s, 是一个复变量；
mathcal 是一个运算符号，它代表对其对象进行拉普拉斯积分int_0^infty e^ ,dt；F(s),是f(t),的拉普拉斯变换结果。
则f(t),的拉普拉斯变换由下列式子给出：
F(s),=mathcal left =int_ ^infty f(t),e^ ,dt
拉普拉斯逆变换，是已知F(s),，求解f(t),的过程。用符号 mathcal ^ ,表示。
拉普拉斯逆变换的公式是：
对于所有的t>0,；
f(t)
= mathcal ^ left
=frac int_ ^ F(s),e^ ,ds
c,是收敛区间的横坐标值，是一个实常数且大于所有F(s),的个别点的实部值。
为简化计算而建立的实变量函数和复变量函数间的一种函数变换。对一个实变量函数作拉普拉斯变换，并在复数域中作各种运算，再将运算结果作拉普拉斯反变换来求得实数域中的相应结果，往往比直接在实数域中求出同样的结果在计算上容易得多。拉普拉斯变换的这种运算步骤对于求解线性微分方程尤为有效，它可把微分方程化为容易求解的代数方程来处理，从而使计算简化。在经典控制理论中，对控制系统的分析和综合，都是建立在拉普拉斯变换的基础上的。引入拉普拉斯变换的一个主要优点，是可采用传递函数代替微分方程来描述系统的特性。这就为采用直观和简便的图解方法来确定控制系统的整个特性（见信号流程图、动态结构图）、分析控制系统的运动过程（见奈奎斯特稳定判据、根轨迹法），以及综合控制系统的校正装置（见控制系统校正方法）提供了可能性。
用 f(t)表示实变量t的一个函数，F(s)表示它的拉普拉斯变换，它是复变量s＝σ＋j&owega;的一个函数，其中σ和&owega; 均为实变数,j2＝-1。F(s)和f(t)间的关系由下面定义的积分所确定：
如果对于实部σ ＞σc的所有s值上述积分均存在，而对σ ≤σc时积分不存在，便称 σc为f(t)的收敛系数。对给定的实变量函数 f(t)，只有当σc为有限值时，其拉普拉斯变换F(s)才存在。习惯上,常称F(s)为f(t)的象函数,记为F(s)＝L[f(t)];称f(t)为F(s)的原函数,记为ft＝L-1[F(s)]。
函数变换对和运算变换性质 利用定义积分，很容易建立起原函数 f(t)和象函数 F(s)间的变换对，以及f(t)在实数域内的运算与F(s)在复数域内的运算间的对应关系。表1和表2分别列出了最常用的一些函数变换对和运算变换性质。
傅立叶变换可以看做拉普拉斯变换的特殊形式。拉氏变换就是将原时域函数乘上一个与 σ相关的衰减因子（因为傅氏变换要求绝对可积，但实际上很多函数不满足，乘上衰减因子之后就基本都可以了。）之后做傅氏变换得来。假如这个 σ为0就还是傅立叶变换。
另一个角度来看，傅立叶变换是将时域的函数变换到频域，即ω域。 拉普拉斯变换是推广到了复频域，即s域。 如果这个复数的实部为0，那么就回到单纯的频域。
fourier变换是将连续的时间域信号转变到频率域；它可以说是laplace变换的特例,laplace变换是fourier变换的推广,存在条件比fourier变换要宽,是将连续的时间域信号变换到复频率域（整个复平面,而fourier变换此时可看成仅在jΩ轴）；z变换则是连续信号经过理想采样之后的离散信号的laplace变换,再令z=e^sT时的变换结果（T为采样周期）,所对应的域为数字复频率域,此时数字频率ω=ΩT.
绛旓細鍌呴噷鍙跺彉鎹鏄湪棰戝煙鍒嗘瀽锛屾媺姘忔槸瀵硅繛缁俊鍙风殑S鍩熷垎鏋愶紝Z鍙樻崲鏄绂绘暎淇″彿鐨勫彉鎹㈠煙鍒嗘瀽锛屽倕姘忔槸鍚庝袱鑰呯殑鍩虹锛屽悗涓よ呬綔鐢ㄦ潯浠舵瘮鍌呮皬瀹芥澗锛屽彲浠ョ敤浜庝笉鏀舵暃鐨勪俊鍙峰垎鏋
绛旓細鍌呯珛鍙跺彉鎹鏄鎷夋櫘鎷夋柉鍙樻崲鐨绠鍖栫増鏈傚彧淇濈暀浜唖鍩熻櫄杞(鍗砳蠅)瀵瑰簲鐨勫垎閲忋傚倕绔嬪彾鍙樻崲鑸嶅純浜嗙灛鎬佽В锛屽彧淇濈暀浜嗙ǔ鎬佽В銆傜ǔ鎬佽В鍦ㄥ熀纭鐢靛伐瀛︼紝鍔涘绛夊绉戜腑锛屽緢甯哥敤锛岃冻澶熸弧瓒宠В鍐冲疄闄呴棶棰樼殑闇瑕併倆鍙樻崲鍒欐槸鍙︿竴绉嶅彉鎹㈠煙鏂规硶锛岀敤浜庤В鍐冲樊鍒嗘柟绋嬨傚樊鍒嗘槸寰垎鐨勮繎浼硷紝鏂逛究璁＄畻鏈哄鐞嗭紝鐢ㄩ斾篃鏄潪甯稿箍娉涖倆鍙樻崲...
绛旓細鎷夋櫘鎷夋柉鍙樻崲娉 鎷夋櫘鎷夋柉鍙樻崲鏄竴绉嶅父瑙佺殑鏁板宸ュ叿锛屽彲浠ュ皢鏃跺煙鍑芥暟杞崲涓洪鍩熷嚱鏁般傚湪鎺у埗绯荤粺涓紝鍙互浣跨敤鎷夋櫘鎷夋柉鍙樻崲鏉ユ眰瑙ｇ郴缁熺殑浼犻掑嚱鏁般傚叿浣撶殑姝ラ鏄紝灏嗙郴缁熺殑寰垎鏂圭▼閫氳繃鎷夋櫘鎷夋柉鍙樻崲杞崲涓轰唬鏁版柟绋嬶紝鐒跺悗灏嗚緭鍏ュ拰杈撳嚭涔嬮棿鐨勫叧绯昏〃绀轰负浼犻掑嚱鏁扮殑褰㈠紡銆鍌呴噷鍙跺彉鎹娉 鍌呴噷鍙跺彉鎹㈡槸灏嗕俊鍙蜂粠鏃跺煙杞崲鍒...
绛旓細淇″彿鐨勬椂鍩熸弿杩颁笌棰戝煙鎻忚堪,灏卞儚涓鏋氱‖甯佺殑涓ら潰,鐪嬭捣鏉ヨ櫧鐒舵湁鎵涓嶅悓,浣嗗疄闄呬笂閮芥槸鍚屼竴涓笢瑗裤傛鍥犱负濡傛,鍦ㄩ氬父鐨勪俊鍙蜂笌绯荤粺鐨勫垎鏋愯繃绋嬩腑,鎴戜滑闈炲父鍏冲績鍌呴噷鍙跺彉鎹銆 鏃㈢劧浜轰滑鍙叧蹇冧俊鍙风殑棰戝煙琛ㄧず,閭ｄ箞Z鍙樻崲鍙堟槸鎬庝箞鍥炰簨鍛?瑕佽鍒癦鍙樻崲,鍙兘杩樿鍏堣拷婧埌鎷夋櫘鎷夋柉鍙樻崲銆傛媺鏅媺鏂彉鎹㈡槸浠ユ硶鍥芥暟瀛﹀鎷夋櫘鎷夋柉鍛藉悕鐨勪竴绉...
绛旓細鍌呴噷鍙跺彉鎹㈠拰鎷夋櫘鎷夋柉鍙樻崲閮芥槸鏁板涓殑閲嶈宸ュ叿锛岀敤浜庡垎鏋愬拰澶勭悊淇″彿鍜岀郴缁熴傚倕閲屽彾鍙樻崲鍙互灏嗕竴涓椂闂村煙涓婄殑淇″彿鍒嗚В鎴涓嶅悓棰戠巼鐨勬寮﹀拰浣欏鸡娉紝浠庤屾洿濂藉湴鐞嗚В淇″彿鍦ㄩ鍩熶笂鐨勭壒鎬с傚畠鍦ㄤ俊鍙峰鐞嗐佸浘鍍忓鐞嗐侀氫俊绯荤粺绛夐鍩熶腑鏈夌潃骞挎硾鐨勫簲鐢ㄣ傝屾媺鏅媺鏂彉鎹㈠垯鏄竴绉嶆洿涓洪氱敤鐨勫彉鎹㈡柟娉曪紝瀹冨彲浠ュ皢涓涓...
绛旓細鎷夋櫘鎷夋柉閫鍙樻崲鐨鍏紡鏄細瀵逛簬鎵鏈夌殑t>0,锛沠(t)= mathcal ^ left =frac int_^ F(s),e^ ,ds c,鏄敹鏁涘尯闂寸殑妯潗鏍囧硷紝鏄竴涓疄甯告暟涓斿ぇ浜庢墍鏈塅(s),鐨勪釜鍒偣鐨勫疄閮ㄥ笺鍌呴噷鍙跺彉鎹鑳藉皢婊¤冻涓瀹氭潯浠剁殑鏌愪釜鍑芥暟琛ㄧず鎴愪笁瑙掑嚱鏁帮紙姝ｅ鸡鍜/鎴栦綑寮﹀嚱鏁帮級鎴栬呭畠浠殑绉垎鐨勭嚎鎬х粍鍚堛傚湪涓嶅悓鐨勭爺绌...
绛旓細鎷夋皬鍙樻崲灏辨槸鎷夋櫘鎷夋柉鍙樻崲锛岄鍏堬紝鍌呴噷鍙跺彉鎹銆佹媺鏅媺鏂彉鎹亃鍙樻崲閮芥槸绉垎鍙樻崲锛屾媺鏅媺鏂鍙樻崲涓z鍙樻崲涓ょ鍙樻崲閮芥槸鍙嗙殑 锛屽垎涓烘鍙樺寲鍜岄嗗彉鎹傚倕閲屽彾鍙樻崲瀵瑰簲涓涓椂闂磋繛缁彲绉殑淇″彿锛屽倕閲屽彾鍙樻崲鏄鎷夋櫘鎷夋柉鍙樻崲鐨鐗逛緥锛寊鍙樻崲鏈川涓婃槸鎷夋櫘鎷夋柉鍙樻崲鐨勭鏁ｅ舰寮忥紝瀵硅繛缁俊鍙疯繘琛屾娊鏍峰彉鎹㈠氨寰楀埌浜嗗師鍑芥暟鐨勭鏁...
绛旓細fourier鍙樻崲鏄皢杩炵画鐨勬椂闂村煙淇″彿杞彉鍒伴鐜囧煙锛涘畠鍙互璇存槸laplace鍙樻崲鐨鐗逛緥锛宭aplace鍙樻崲鏄痜ourier鍙樻崲鐨勬帹骞匡紝瀛樺湪鏉′欢姣攆ourier鍙樻崲瑕佸锛屾槸灏嗚繛缁殑鏃堕棿鍩熶俊鍙峰彉鎹㈠埌澶嶉鐜囧煙锛堟暣涓骞抽潰锛岃宖ourier鍙樻崲姝ゆ椂鍙湅鎴愪粎鍦╦惟杞达級锛泎鍙樻崲鍒欐槸杩炵画淇″彿缁忚繃鐞嗘兂閲囨牱涔嬪悗鐨勭鏁ｄ俊鍙风殑laplace鍙樻崲锛屽啀浠=e^sT...
绛旓細DFT鏄鍌呴噷鍙跺彉鎹鐨勭鏁ｅ舰寮忥紝涔熷嵆灏唜(t)杩涜鍌呴噷鍙跺彉鎹㈠悗杩涜绂绘暎閲囨牱寰楃殑鍑芥暟X[jw]鍌呴噷鍙跺彉鎹粎浠呮槸瀵瑰叾杩涜e^(jwt)鐨勫彉鎹㈡搷浣滐紝鑰屾媺鏅媺鏂彉鎹㈠垯鏄e^(st)鐨勬搷浣滐紝涓よ涓嶅悓鍦ㄤ簬鍌呴噷鍙跺彉鎹㈡槸鎷夋櫘鎷夋柉鍙樻崲鐨鐗规畩鎯呭喌锛屾槸瀵圭函铏氭暟鍙樻崲鐨勬儏鍐碉紱锛堝紩鍏ユ媺鏅媺鏂彉鎹㈣鏄庝笅闈㈢殑Z鍙樻崲锛塟鍙樻崲鏄鏁ｆ椂闂村倕...
绛旓細鍌呴噷鍙跺彉鎹鏄鎷夋皬鍙樻崲鐨鐗逛緥锛屽倕姘忓彉鎹㈡槸涔樹笂涓涓滅函铏氭暟鈥濓紝灏辨槸e^-iwt鐨勬寚鏁板彧鏄釜绾櫄鏁-iwt锛岃屾媺姘忓彉鎹㈢殑鎸囨暟鏄釜澶嶆暟e^a-iwt
