证明两整数a,b互质的充分与必要条件是:存在两个整数S,T满足条件 as+bt=1 求整数s,t,使253s+449t=(253,449)。初等...
\u521d\u7b49\u6570\u8bba\u95ee\u9898\uff0ca,b\u662f\u4e24\u4e2a\u4e0d\u5168\u4e3a\u96f6\u7684\u6574\u6570\uff0c\u5219\u5b58\u5728\u4e24\u4e2a\u6574\u6570s,t\u4f7f\u5f97as+bt=(a,b)\u6211\u4eec\u5148\u8bc1\u660e\u4e24\u6574\u6570a,b\u4e92\u8d28\u7684\u5145\u5206\u4e0e\u5fc5\u8981\u6761\u4ef6\u662f:\u5b58\u5728\u4e24\u4e2a\u6574\u6570S,T\u6ee1\u8db3\u6761\u4ef6 as+bt=1
\u8bc1\u660e\uff1a1)\u5145\u5206\u6027\uff1a\u56e0\u4e3aas+bt=1,\u8bbec=(a,b),\u5219c\u6574\u9664a\u548cb,\u6240\u4ee5c\u6574\u9664as+bt,\u5373c\u6574\u96641,\u6240\u4ee5c=1,\u5373a\u548cb\u4e92\u8d28
2)\u5fc5\u8981\u6027\uff1a\u56e0\u4e3aa\u548cb\u4e92\u8d28\uff0c\u6240\u4ee5(a,b)=1\u3002
\u8003\u8651\u975e\u7a7a\u96c6\u5408A={as+bt\u2502s,t\u4e3a\u4efb\u610f\u6574\u6570},\u4e0d\u59a8\u8bbea0\u662fA\u4e2d\u6700\u5c0f\u6b63\u6574\u6570\u4e14a0=as0+bt0,y\u662fA\u4e2d\u4efb\u610f\u4e00\u4e2a\u5143\u7d20\uff0c\u7531\u5e26\u4f59\u9664\u6cd5y=as+bt=q(as0+bt0)+r,0<=r<a0,\u5219r=a(s-qs0)+b(t-qt0)\u5c5e\u4e8eA\uff0c\u82e5r\u975e\u96f6\u5219r\u662fA\u4e2d\u6bd4a0\u66f4\u5c0f\u4e4b\u6b63\u6574\u6570\uff0c\u77db\u76fe\uff0c\u6240\u4ee5r=0,\u4ece\u800ca0\u6574\u9664y,\u7279\u522b\u5730\u6709a0\u6574\u9664a,a0\u6574\u9664b,\u6240\u4ee5a0\u6574\u9664(a,b)=1,\u56e0\u6b64a0=1,\u6240\u4ee5\u5b58\u5728\u6574\u6570s0\u548ct0\u4f7f\u5f97as0+bt0=1
\u8bc1\u6bd5\u3002
\u5bf9\u4e8e\u4f60\u7684\u90a3\u4e2a\u9898\u76ee a,b\u53ef\u4ee5\u540c\u65f6\u5148\u63d0\u53d6\u6700\u5927\u516c\u56e0\u5b50,\u5c31\u8f6c\u5316\u4e3a\u4e86\u4f60\u7684\u9898\u76ee
\u5e0c\u671b\u5bf9\u4f60\u6709\u5e2e\u52a9 \u795d\u5b66\u4e60\u8fdb\u6b65
\u6784\u9020\u6574\u6570\u77e9\u9635A=(253 1 0
449 0 1)\u7136\u540e\u901a\u8fc7\u521d\u7b49\u884c\u53d8\u6362\uff0c\u6c42\u5f97\u6700\u5927\u516c\u56e0\u6570\uff0c\u6700\u5927\u516c\u56e0\u6570\u6240\u5728\u7684\u90a3\u4e00\u884c\u7684\u6570\u5c31\u662fs,t
证明如下图：
必要条件是数学中的一种关系形式。如果没有A，则必然没有B；如果有A而未必有B，则A就是B的必要条件，记作B→A，读作“B含于A”。数学上简单来说就是如果由结果B能推导出条件A，我们就说A是B的必要条件。
假设A是条件，B是结论：
（1）由A可以推出B，由B可以推出A，则A是B的充要条件(A=B)
（2）由A可以推出B，由B不可以推出A，则A是B的充分不必要条件(A⊆B)
（3）由A不可以推出B，由B可以推出A，则A是B的必要不充分条件(B⊆A)
（4）由A不可以推出B，由B不可以推出A，则A是B的既不充分也不必要条件(A⊄B且B⊄A)
证明：1)充分性：因为as+bt=1,设c=(a,b),则c整除a和b,所以c整除as+bt,即c整除1,所以c=1,即a和b互质
2)必要性：因为a和b互质，所以(a,b)=1。
考虑非空集合A={as+bt│s,t为任意整数},不妨设a0是A中最小正整数且a0=as0+bt0,y是A中任意一个元素，由带余除法y=as+bt=q(as0+bt0)+r,0<=r<a0,则r=a(s-qs0)+b(t-qt0)属于A，若r非零则r是A中比a0更小之正整数，矛盾，所以r=0,从而a0整除y,特别地有a0整除a,a0整除b,所以a0整除(a,b)=1,因此a0=1,所以存在整数s0和t0使得as0+bt0=1
证毕。
证明：1)充分性：因为as+bt=1,设c=(a,b),则c整除a和b,所以c整除as+bt,即c整除1,所以c=1,即a和b互质
2)必要性：因为a和b互质，所以(a,b)=1。
考虑非空集合A={as+bt│s,t为任意整数},不妨设a0是A中最小正整数且a0=as0+bt0,y是A中任意一个元素，由带余除法y=as+bt=q(as0+bt0)+r,0<=r<a0,则r=a(s-qs0)+b(t-qt0)属于A，若r非零则r是A中比a0更小之正整数，矛盾，所以r=0,从而a0整除y,特别地有a0整除a,a0整除b,所以a0整除(a,b)=1,因此a0=1,所以存在整数s0和t0使得as0+bt0=1
这是有名的裴蜀定理
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