极限的计算公式有哪些?
1、第一个重要极限的公式:
limsinx / x = 1 (x->0)当x→0时,sin / x的极限等于1。
特别注意的是x→∞时,1 / x是无穷小,根据无穷小的性质得到的极限是0。
2、第二个重要极限的公式:
lim (1+1/x) ^x = e(x→∞) 当 x→∞ 时,(1+1/x)^x的极限等于e;或当 x→0时,(1+x)^(1/x)的极限等于e。
极限的求法:
1、连续初等函数,在定义域范围内求极限,可以将该点直接代入得极限值,因为连续函数的极限值就等于在该点的函数值。
2、利用恒等变形消去零因子。
3、利用无穷大与无穷小的关系求极限。
4、利用无穷小的性质求极限。
5、利用等价无穷小替换求极限,可以将原式化简计算。
6、利用两个极限存在准则,求极限,有的题目也可以考虑用放大缩小,再用夹逼定理的方法求极限。
例如如下极限的计算举例:
1.计算lim(n→∞)(19n²-14)/(20n⁴+7n-1)
2.计算lim(n→∞)(9n-30n-33)/(19+16n-28n²)
3.求极限lim(x→1)(x³-17x+16)/(x⁴-26x+25)
解:观察所求极限特征,可知所求极限的分母此时为2,分子的次数为4,且分子分母没有可约的因子,则当n趋近无穷大时,所求极限等于0。
本题计算方法为分子分母同时除以n⁴,即:
lim(n→∞)(19n²-14)/(20n⁴+7n-1)
=lim(n→∞)(19/n-14/n⁴)/(20+7/n³-1/n⁴),
=0。
解:思路一:观察所求极限特征,可知所求极限的分子分母的次数相同均为2,且分子分母没有可约的因子,则分子分母同时除以n²,即:
lim(n→∞)(9n²-30n-33)/(19+16n-28n²)
=lim(n→∞)(9-30/n-33/n²)/(19/n+16/n-28),
=(9-0)/(0-28),
=-9/28。
思路二:本题所求极限符合洛必达法则,有:
lim(n→∞)( 9n²-30n-33)/(19+16n-28n²)
=lim(n→∞)(18n-30)/(16-56n),继续使用罗必塔法则,
=lim(n→∞)(18-0)/(0-56),
=-9/28。
解:观察极限特征,所求极限为定点x趋近于1,又分子分母含有公因式x-1,即x=1是极限函数的可去间断点,则:
lim(x→1)(x³-17x+16)/(x⁴-26x+25)
=lim(x→1)(x-1)(x²+x-16)/[(x-1)(x³+x²+x-25)],
=lim(x→1)(x²+x-16)/(x³+x²+x-25),
=(1+1-16)/(1+1+1-25),
=7/11。
绛旓細鏋侀檺鍏紡锛1銆乪^x-1锝瀤 (x鈫0)2銆 e^(x^2)-1锝瀤^2 (x鈫0)3銆1-cosx锝1/2x^2 (x鈫0)4銆1-cos(x^2)锝1/2x^4 (x鈫0)5銆乻inx~x (x鈫0)6銆乼anx~x (x鈫0)7銆乤rcsinx~x (x鈫0)8銆乤rctanx~x (x鈫0)9銆1-cosx~1/2x^2 (x鈫0)10銆乤^x-1~xlna (x鈫0)11...
绛旓細1銆佺涓涓噸瑕佹瀬闄愮殑鍏紡锛lim sinx / x = 1 (x->0)褰搙鈫0鏃讹紝sin / x鐨勬瀬闄愮瓑浜1銆傜壒鍒敞鎰忕殑鏄痻鈫掆垶鏃讹紝1 / x鏄棤绌峰皬锛屾棤绌峰皬鐨勬ц川寰楀埌鐨勬瀬闄愭槸0銆2銆佺浜屼釜閲嶈鏋侀檺鐨勫叕寮忥細lim (1+1/x) ^x = e锛坸鈫掆垶锛夊綋x鈫掆垶鏃讹紝锛1+1/x锛夛季x鐨勬瀬闄愮瓑浜巈锛涙垨褰搙鈫0鏃讹紝锛1+x...
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