为什么正十七边形可尺规作图？ 困扰了数学家两千年之久的正十七边形尺规作图问题是什么
\u6b63\u5341\u4e03\u8fb9\u5f62\u7684\u5c3a\u89c4\u4f5c\u56fe\u6cd5\u8bbe\uff1a\u6b6317\u8fb9\u5f62\u5728\u5355\u4f4d\u5706\u4e0a\u7684\u9876\u70b9\u7684\u590d\u6570\u8868\u793a\u4e3a\uff0c
Zk=cos(2k\u0436/17)+isin(2k\u0436/17)
(k=0,1,2\u202616)
\u82e5\u8bb0\uff1a\u03c1=cos(2k\u0436/17)+isin(2\u0436/17),\u5219\u9664\u4e861\u4ee5\u5916\u7684\u5176\u4f5916\u4e2a\u9879\u4e3a\uff1a
\u03c11
\u03c12
\u03c13
\u03c14
\u03c15
\u03c16
\u03c17
\u03c18\uff1b\u03c1-1
\u03c1-2
\u03c1-3
\u03c1-4
\u03c1-5
\u03c1-6
\u03c1-7
\u03c1-8
\u82e5\u8bbe
P=\u03c1+\u03c12+\u3002\u3002\u3002+\u03c1-8
Q=\u03c13+\u03c15+\u2026+\u03c1-7
\u5219\uff1a
P+Q=\u03c1+\u03c12+\u3002\u3002\u3002+\u03c18+\u03c1-1+\u03c1-2+\u3002\u3002\u3002+\u03c1-8
=\uff081+\u03c1+\u03c12+\u3002\u3002\u3002+\u03c18+\u03c1-1+\u3002\u3002\u3002+\u03c1-8\uff09-1
=-1
P*Q=\uff08\u03c1+\u03c12+\u03c14+\u03c18+\u03c11+\u03c1-2+\u03c1-4+\u03c1-8\uff09*\uff08\u03c13+\u03c15+\u03c16+\u03c17+\u03c1-3+\u03c1-5+\u03c1-6+\u03c1-7\uff09
=4\uff08P+Q\uff09
=-4
\u6240\u4ee5\uff1aP\uff0cQ\u662f\u65b9\u7a0b
X*X+X-4=0\u7684\u6839
P=1/2\uff08-1+gen2\uff0817\uff09\uff09
Q=1/2\uff08-1-gen2\uff0817\uff09\uff09
\u663e\u7136P\uff0cQ\u53ef\u4ee5\u7528\u5c3a\u89c4\u4f5c\u51fa\u3002
\u53ef\u89c1cos\uff082\u0436/17\uff09\u53ef\u4ee5\u7528\u5c3a\u89c4\u4f5c\u51fa\u3002
\u4f5c\u56fe\u76845\u4e2a\u6b65\u9aa4\uff1a
1\uff09
\u4f5c\u51fa\u7ebf\u6bb5P\uff0cQ
2\uff09
\u4f5c\u51fa\u7ebf\u6bb5
u1\uff0cu2
3\uff09
\u4f5c\u51fa\u7ebf\u6bb5
V1
4\uff09
\u4f5c\u51fa\u5355\u4f4d\u5706\uff0c\u5e76\u5728\u5b9e\u8f74\u4e0a\u53bb\u4e00\u70b9v\uff0c\u4f7fOv=1/2V1\uff0c
\u8fc7v\u4f5c\u865a\u8f74\u7684\u5e73\u884c\u7ebf\u4ea4\u5355\u4f4d\u5706\u4e0eZ1\uff0c\u5219Z0Z1\uff08Z0=1\uff09\uff0c\u5373\u4e3a\u6b6317\u8fb9\u5f62\u7684\u4e00\u8fb9\u3002
5\uff09
\u4f5c\u51fa\u5176\u4f59\u6240\u6709\u9876\u70b9\uff0c\u5b8c\u6210\u6b6317\u8fb9\u5f62
\u6700\u65e9\u7684\u5341\u4e03\u8fb9\u5f62\u753b\u6cd5\u521b\u9020\u4eba\u662f\u9ad8\u65af\u30101801\u5e74\u6570\u5b66\u5bb6\u9ad8\u65af\u8bc1\u660e\uff1a\u5982\u679c\u8d39\u9a6c\u6570k\u4e3a\u8d28\u6570\uff0c\u90a3\u4e48\u5c31\u53ef\u4ee5\u7528\u76f4\u5c3a\u548c\u5706\u89c4\u5c06\u5706\u5468k\u7b49\u5206.\u4f46\u662f\uff0c\u9ad8\u65af\u672c\u4eba\u5b9e\u9645\u4e0a\u5e76\u4e0d\u4f1a\u505a\u6b63\u5341\u4e03\u8fb9\u5f62\u3002\u7b2c\u4e00\u4e2a\u771f\u6b63\u7684\u6b63\u5341\u4e03\u8fb9\u5f62\u5c3a\u89c4\u4f5c\u56fe\u6cd5\u76f4\u52301825\u5e74\u624d\u7531\u7ea6\u7ff0\u5c3c\u65af\u00b7\u5384\u94a6\u683c\uff08Johannes Erchinger\uff09\u7ed9\u51fa.\u3011[1] \u3002\u9ad8\u65af\uff081777\u25001855\u5e74\uff09\u5fb7\u56fd\u6570\u5b66\u5bb6\u3001\u7269\u7406\u5b66\u5bb6\u548c\u5929\u6587\u5b66\u5bb6\u3002\u9ad8\u65af\u5728\u7ae5\u5e74\u65f6\u4ee3\u5c31\u8868\u73b0\u51fa\u975e\u51e1\u7684\u6570\u5b66\u5929\u624d\u3002\u5e74\u4ec5\u4e09\u5c81\uff0c\u5c31\u5b66\u4f1a\u4e86\u7b97\u672f\uff0c\u516b\u5c81\u56e0\u8fd0\u7528\u7b49\u5dee\u6570\u5217\u6c42\u548c\u516c\u5f0f\u800c\u6df1\u5f97\u8001\u5e08\u548c\u540c\u5b66\u7684\u94a6\u4f69\u3002\u5927\u5b66\u4e8c\u5e74\u7ea7\u65f6\u5f97\u51fa\u6b63\u5341\u4e03\u8fb9\u5f62\u7684\u5c3a\u89c4\u4f5c\u56fe\u6cd5\uff0c\u5e76\u7ed9\u51fa\u4e86\u53ef\u7528\u5c3a\u89c4\u4f5c\u56fe\u7684\u6b63\u591a\u8fb9\u5f62\u7684\u6761\u4ef6\u3002\u89e3\u51b3\u4e86\u4e24\u5343\u5e74\u6765\u60ac\u800c\u672a\u51b3\u7684\u96be\u9898\uff0c1799\u5e74\u4ee5\u4ee3\u6570\u57fa\u672c\u5b9a\u7406\u7684\u56db\u4e2a\u6f02\u4eae\u8bc1\u660e\u83b7\u535a\u58eb\u5b66\u4f4d\u3002\u9ad8\u65af\u7684\u6570\u5b66\u6210\u5c31\u904d\u53ca\u5404\u4e2a\u9886\u57df\uff0c\u5728\u6570\u5b66\u8bb8\u591a\u65b9\u9762\u7684\u8d21\u732e\u90fd\u6709\u7740\u5212\u65f6\u4ee3\u7684\u610f\u4e49\u3002\u5e76\u5728\u5929\u6587\u5b66\uff0c\u5927\u5730\u6d4b\u91cf\u5b66\u548c\u78c1\u5b66\u7684\u7814\u7a76\u4e2d\u90fd\u6709\u6770\u51fa\u7684\u8d21\u732e
\u56e0\u4e3a360\u00b0/17\u224821\u00b010\u2032 ,\u5229\u7528sinA 21\u00b06\u2032=0.3600\u53ef\u5f97\u8fd1\u4f3c\u89d2\u3002\u7528\u8be5\u65b9\u6cd5\u4f5c\u6b63\u5341\u4e03\u8fb9\u5f62\u603b\u8bef\u5dee\u4e3a17*4\u2032=68\u2032\uff0c\u5728\u4e0d\u8981\u6c42\u5341\u5206\u7cbe\u786e\u7684\u60c5\u51b5\u4e0b\u8fd8\u662f\u53ef\u884c\u7684\u3002\u4f5c\u6cd5\u5982\u4e0b\uff1a1.\u5148\u753b\u4e00\u6761\u76f4\u7ebf\uff0c\u7528\u5706\u89c4\u5728\u4e0a\u9762\u622a\u53d65\u6761\u76f8\u7b49\u7ebf\u6bb5\uff0c(\u5c3d\u91cf\u8d8a\u77ed\u8d8a\u597d),\u518d\u622a\u53d6\u4e4b\u524d\u56db\u6761\u7ebf\u6bb5\u7684\u548c\uff0c\u63a5\u7eed\u4e4b\u524d\u753b\u7684\u7ebf\u6bb5\u3002\u8fd9\u6837\uff0c\u5982\u679c\u6bcf\u6761\u5c0f\u7ebf\u6bb5\u7b97\u4f5c0.1\u7684\u8bdd\uff0c\u90a3\u4e48\u6574\u6761\u7ebf\u6bb5\u5c31\u662f1.8\u30022.\u7528\u5706\u89c4\u622a\u53d6\u4e4b\u524d5\u6761\u5c0f\u7ebf\u6bb5\u7684\u957f\uff0c\u753b5\u6b21\uff0c\u8fd9\u6837\u8fd9\u6761\u7ebf\u6bb5\u5c31\u662f5\u30021.8/5=0.36\u3002\u51c6\u5907\u5de5\u4f5c\u5b8c\u6bd5\uff013.\u53e6\u4f5c\u4e00\u6761\u76f4\u7ebf\uff0c\u4f5c\u5782\u7ebf\uff0c1.8\u7684\u7ebf\u6bb5\u4f5c\u4e3a\u5bf9\u8fb9\uff0c5\u7684\u7ebf\u6bb5\u4f5c\u4e3a\u659c\u8fb9\uff0c\u90a3\u4e2a\u6700\u5c0f\u7684\u9510\u89d2\u5373\u662f\u8fd1\u4f3c\u7684360\u00b0/17\u7684\u89d2\u3002\u4ee5\u5176\u9876\u70b9\u4e3a\u5706\u5fc3\uff0c\u91cd\u590d\u4f5c\u89d2\u76f4\u81f3\u95ed\u5408\u3002\u753b\u4e00\u5927\u5706\uff0c\u8fde\u63a5\u5176\u4e0e17\u6761\u5c04\u7ebf\u7684\u4ea4\u70b9\uff0c\u5373\u53ef\u3002
不过，高斯的结果多少显得有些奇怪。他没有完成正七边形或正九边形等的作图，却偏偏隔下中间这一些直接完成了正十七边形。为什么第一个新做出的正多边形是正十七边形而不是正七、九边形呢？在高斯的伟大发现之后，问题仍然存在：正七边形或正九边形等是否可尺规完成？或者更清楚地阐述这个问题：正多边形的边数具有什么特征时，它才能用尺规做出？
在经过继续研究后，高斯最终在1801年对整个问题给出了一个漂亮的回答。高斯指出，如果仅用圆规和直尺，作圆内接正n边形，当n满足如下特征之一方可做出：
1) n=2^m；（ 为正整数）
2) 边数n为素数且形如 n=2^(2^t)+1（t=0 、1、2……）。简单说，为费马素数。
3) 边数 n具有n=2^mp1p2p3...pk ，其中p1、p2、p3…pk为互不相同的费马素数。
由高斯的结论，具有素数p条边的正多边形可用尺规作图的必要条件是p为费马数。由于我们现在得到的费马素数只有前五个费马数，那么可用尺规作图完成的正素数边形就只有3、5、17、257、65537。进一步，可以做出的有奇数条边的正多边形也就只能通过这五个数组合而得到。这样的组合数只有31种。而边数为偶数的可尺规做出的正多边形，边数或是2的任意次正整数幂或与这31个数相结合而得到。
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