初三数学题 初三数学题目？
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（1）、如图所示，连接OP、PB。
因为PA=PD，所以∠PAD=∠D，因为AB为圆O的直径，所以∠APB=90°，
因为∠ACP=∠ABP=60°，所以∠PAD=∠D=30°，
又因为OP=OB，所以△OBP为等边三角形，有∠POD=60°，
所以在△POD中∠OPD=180°-∠POD-∠D=180°-60°-30°=90°，
即OP⊥PD，所以PD是圆O的切线。
（2）①、
因为AB为圆O的直径，所以∠APB=∠ACB=90°，
则当∠PAC=90°时，四边形APBC即为矩形，
此时对角线AB=PC且互相平分，即点E与点O重合，
因为AB=4，所以在等边△OBP中有OB=EB=PB=2，∠ABP=60°，
而∠D=30°，所以∠BPD=∠D=30°，△BPD为等腰三角形，有BP=BD=2，
所以DE=EB+BD=2+2=4，
即当DE=4时，四边形APBC为矩形。
（2）②、
因为OC、OP为圆O半径且△OBP为等边三角形，所以OC=OB=OP=PB=2，
由“四边都相等的四边形是菱形”可知当OC=OP=PB=BC时四边形OPBC为菱形，
此时OB、PC互相垂直平分，即点E为OB中点，OE=BE=1，
因为在等边△OBP中∠OBP=60°，∠D=30°，所以∠BPD=∠D=30°，
△BPD为等腰三角形，有BP=BD=2，所以DE=BE+BD=1+2=3，
即当DE=3时，四边形OPBC为菱形。
⑴证明：∵P点在圆周上
∴∠APB=90°（半圆上的圆周角是直角）
∵∠ABP=∠ACP=60°（在同圆中，同弧所对的圆周角相等）
∴∠PAB=90°－60°=30°=∠OPA=∠D
∴∠DOP=∠OAP+∠OPA=30°+30°=60°
∴∠OPD=180°－（30°+60°）=90°
∴PD⊥OP
∴PD是⊙O的切线（经过半径外端且垂直半径的直线是圆的切线）
⑵如图：
①当C点在PO延长线上与⊙O交于一点C1时（如图红C1点）
则因PC1=AB，且PC1与AB被O点互相平分
∴四边形APBC是矩形（对角线互相平分且相等的四边形是矩形）
此时，因∠D=30° 所以E点（即O点）到D点的ED =2OP=AB=4
即：DE=4时，四边形APBC是矩形
②过P点作PC⊥AD交⊙O于一点C，则四边形OPBC即为菱形（证明略）
此时：∵AD=OA+OD=OA+2OP=2+4=6
DE=6÷2=3（等腰三角形底边上的高平分底边）
故所求：当DE=3时，四边形OPBC是菱形。
第一问连接PO，PB，利用直径所对的圆周角是直角，由已知还可得∠PBA=60°，从而推导出∠OPD=90°
第二问① 4 ② 3
过程如下…
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